数字障碍期权定价的有效树方法

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英文标题：
《Efficient tree methods for pricing digital barrier options》
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作者：
Elisa Appolloni and Andrea Ligori
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We propose an efficient lattice procedure which permits to obtain European and American option prices under the Black and Scholes model for digital options with barrier features. Numerical results show the accuracy of the proposed method.
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中文摘要：
我们提出了一种有效的格方法，可以在Black和Scholes模型下获得具有障碍特征的数字期权的欧式和美式期权价格。数值结果表明了该方法的准确性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Efficient_tree_methods_for_pricing_digital_barrier_options.pdf (655.78 KB)

2022-5-5 10:06:53 上传

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关键词：期权定价 障碍期权 Applications Quantitative Computation

为数字屏障选项定价的有效树方法。appolloni@uniroma1.itAndrea罗马大学。去Matematicaandrea。ligori@live.itAbstractWe提出一种高效的格点程序，该程序允许获得具有障碍特征的数字期权在Black和Scholes模型下的欧式和美式期权价格。数值结果表明了该方法的准确性。关键词：美式期权、数字屏障期权、二项式网格；1引言自Cox等人的开创性工作以来，研究了基于树的期权定价算法。（1979年）并被证明是非常简单和快速的，可以通过一个backardinduction来实现。一个重要的特点是，一旦欧洲病例得到治疗并得到良好的设置，这些程序就很容易包含美式特征，这使得这些程序很受欢迎。这使得晶格技术在实践中得到广泛应用，因为尽管在开发欧式期权价格的精确公式或其他数值程序（蒙特卡罗、有限差分等）方面取得了许多进展，但并未提供涉及控制问题的美国对应方。我们在这里考虑Black和Scholes模型，见Black&Scholes（1973）和Merton（1973），它要么是经典的，仍然广泛用于金融领域。这意味着基础资产价格过程演化为几何布朗运动。在这里，期权价格可以使用简单树方法计算，dueto Cox等人（1979）（CRR）。然而，金融衍生品已经变得越来越复杂，这意味着RR二叉树的标准实施会在Black and Scholes价格的近似值上带来进一步的误差。这就是为什么建立“高效树模式”变得重要的原因，即。

树方法，可以减少近似误差。本文提出了一种用于数字障碍期权定价的格子方案。具体而言，数字看涨期权是一种期权，如果标的资产在到期时高于预定水平（履约价格K）或其他任何情况，其支付等于固定金额（以下我们假设该金额等于1）。交易这些产品的从业者基本上预测了市场的方向，而不考虑相关资产价格的具体变动幅度。标准产品的好处之一是投资和回报是固定的，因此所涉及的风险和潜在损失是先验的。数字期权还可以包括障碍水平：如果基础资产价格过程达到特定合同规定的水平，则可以激活或取消数字期权。这个更复杂的选项可以用作嵌入复杂产品中的财务工具，如应计范围票据。这些票据是与汇率挂钩的金融证券，如果汇率保持在规定范围内，则支付固定的应计利息，除此之外什么都没有，见Wystup（2006）和Hui（1996）。具有障碍特征的欧洲数字期权对于单障碍和双障碍都有一个已知的封闭式定价公式，可以从标准情况下的相应公式中轻松推导出，对于后一种情况，我们可以参考Reiner&Rubinstein（1991）在单障碍情况下的定价公式，以及Keda&Kunitomo（1992）在双障碍情况下的定价公式。据我们所知，美国奇异期权的文献表明，数字障碍期权没有近似公式。我们的目标是利用格点技术来处理与这些期权相关的期权定价问题。

特别地，我们提出了一种有效的方法来定价具有单一障碍的欧洲数字看涨期权，因此，我们也得到了一种适用于美式期权的好方法。为此，我们首先需要找到经典CRR二项近似误差的显式渐近展开式，即使用CRR树计算的价格与Black和Scholes价格之间的差异。然后我们建立一个算法，使其表现“良好”，在这个意义上，渐近展开中最坏的贡献（结果是有序的）√n、 n在哪里∈ N是树的时间步数）为空。众所周知，连续支付函数上香草期权的CRR树的收敛速度为N阶，参见Walsh&Walsh（2002）、Diener&Diener（2004）和Chang&Palmer（2007）。此外，在处理障碍选项时，文献中已知的结果总是要求Payo-off函数的连续性。对于一般连续支付函数类的双障碍期权，我们可以参考Gobet（2001）和Lin&Palmer（2013）的更具体的认购期权案例。我们记得这里的收敛速度是有序的√nand这是因为合同壁垒不一定与树结构上的有效壁垒一致。另一方面，当假设支付不连续时，二项算法的收敛速度分析仅针对普通期权，见Walsh&Walsh（2002）和Chang&Palmer（2007）。

在这种情况下，收敛速度也是有序的√n、 但现在它是由格点上的Payoff函数的不连续点的位置引起的。在这个框架下，我们研究了带有单个障碍的数字期权的CRR二项式近似误差，得到了一个完整的理论结果，使我们能够构造一个有效的算法。特别是，我们将Appelloni等人（2013）提供的二项式插值晶格（BIL）算法应用于这种特殊情况。我们记得，BIL程序是基于二项式网格上的反向归纳法，再加上适当的插值，使得oneto能够获得非常精确的看涨期权和看跌期权的期权价格。我们将此方法应用于具有单障碍的数字看涨期权和看跌期权的情况，数值结果表明我们得到了非常可靠和准确的期权价格。论文的结构如下。在第2节中，我们描述了基础资产价格过程演变的连续时间模型。在第三节中，我们对具有障碍特征的欧式数字期权的CRR近似误差的渐近展开提出了理论贡献。数值结果见第4.2节模型。我们考虑的是[0，T]时间间隔内的市场模型，在该时间间隔内，天空资产（St）的演化∈[0，T]由Black-Scholes随机微分方程St=rdt+σdBt控制，S=S>0，（1）其中（Bt）T∈[0，T]是风险中性概率测度下的标准布朗运动。

非负常数r表示无风险利率，σ表示恒定波动率参数。数字看涨期权是一种合同，如果到期时的基础资产价格大于履约价格K，则其报酬等于1，除此之外没有其他。此外，回报还取决于潜在股票价格路径是否触及称为障碍的特定价格水平。一旦这些障碍中的任何一个被打破，期权的状态立即被确定：如果障碍是敲入式的，期权就存在；如果障碍是aknock和out式的，期权就不存在。在接下来的内容中，我们将考虑敲打和敲出类型，敲打和敲入类型是相似的。我们记得，门槛L较低的数字看涨期权的支付由T给出≥KSinf>L，（2）其中Sinf=inft∈[0，T]St.具有较高屏障H的数字看涨期权的情况与具有单一屏障的相应数字看跌期权的情况相似。欧洲期权的Black和Scholes价格，其收益等于（2）中给出的1，可在Reiner&Rubinstein（1991）中找到。当收益如Americancase中的（2）所示时，期权价格没有可用的分析近似值。3 CRR二项式近似误差从第2节描述的模型开始，我们在这里分析了使用CRR树方法对带有单障碍的欧洲数字看涨期权进行定价时产生的误差。如果n∈ N表示树的时间步数，我们将CRR二项近似误差定义为以下ERRCRR（N）=价格CRR（N）- 普莱斯，N∈ N（3）其中priceCRR（N）表示通过使用CRR树方案计算的价格，PriceB是Black和Scholes价格。我们在此简要回顾了CRR树方案的想法。

让我们x一个整数n∈ N、 我们首先定义τ=T/n，其中T是期权的到期日，然后我们建立一个长度为n步的二叉树τ. 如果我们将（0，0）标记为对应于值S=S的起始节点，那么在i个时间步（i=0，1，…，n）之后，离散过程可能位于对应于值SSi，j=se（2j）的节点（i，j）（j=0，1，…，i）之一-i） σ√τ. （4） 因此，从Si，jat time ih开始，过程可能在时间（i+1）h跳到值Si+1，j+1或值Si+1，j，概率为p和1- p，其中pis定义的asp=erτ- 杜- d（5）和u=eσ√τ=d-1.然后通过应用经典的反向归纳法获得时间0时的欧洲和美国价格。我们现在发展了Chang&Palmer（2007）和Lin&Palmer（2013）中描述的一些论证。我们考虑具有较低门槛的数字看涨期权的情况，其他具有单一门槛的数字期权的情况类似。根据Reimer&Sandmann（1995）的观点，我们可以根据期权价格的二项式系数找到一个封闭形式的公式，然后使用Lin&Palmer（2013）中建议的正态分布近似二项式分布，以便在渐近展开中确定系数。我们首先强调，我们需要以下两种类型的低载波L的数字看涨期权的二项式价格：1。L<K的向下和向内看涨期权；2.L>K的向下和向外看涨期权。在这两种情况下，二项式公式是可管理的，并且允许简单的处理。

然后，通过使用相应的普通数字看涨期权的二项式公式，可以找到L<K的下行和传出数字看涨期权以及L>K的下行和入内数字看涨期权的误差的渐近展开。让我们首先介绍两个量，这两个量在下文中起着关键作用，如Chang&Palmer（2007）和Lin&Palmer（2013）所定义，我们称之为无赖自然对数。数量克尼斯被设定为Kn=1- 2fraclog（s/K）2σ√τ-N（6） 其中，对于每个实数x，x的分数部分定义为frac（x）=x-bxc，其中bxc表示x之前的最大整数。我们观察到Knis是对数刻度中K的位置相对于两个相邻终端股价的度量。事实上，如果我们定义jK整数，那么sn，jK-1=sujK-1dn-jK+1<K≤ Sn，jK=sujKdn-那么jKKn=-1如果logk是节点logsn，jk-1成熟时，如果两个节点之间的对数K为对数Sn，jk，则Kn=0-1和对数Sn，jkat到期日（即，它是到期前第一个时期的节点）和如果logk是节点logsn，则Kn=1。我们现在描述一个类似的量，对应于我们所称的下势垒L自然对数。首先，我们将树结构上的“有效障碍”称为“L”，这通常不同于合同障碍L。让我们假设JL是达到“L”所需的上升次数。我们定义Ln=frac（2lL），其中lL=logLs2σ√τ+n。那么有效势垒＠L可以写成＠L=su＠jLdn-jL，其中jL=jL+（1）- n） ，其中jl=b2llcn=0，如果有效屏障不是终端股价，1，如果有效屏障是终端股价。数量自然对数∈ [0,1]在对数标度中测量L相对于两个相邻股票价格的位置，其中一个是到期时的节点，另一个是到期前第一时间的阳极。

在特殊情况下Ln=0和Ln=1我们得到，有效势垒L正好位于树的一个节点上（关于这一点的更多详细讨论，请参见Lin&Palmer（2013））。我们现在需要介绍一些符号，如Reimer&Sandmann（1995）所述。我们将πd（n，j，~jL）定义为在时间点t按单位支付的证券在时间点0的价格，如果时间点n的资产价格等于Sn，j=sujdn-jand如果有一对（i，l）和i∈ {0，…，n}和l∈ {0，…i}，这样Si，l=suldi-L≤~L，否则为零，即πd（n，j，~jL）=e-rTE[SnT=Sn，j·我≤NL≤i:Si，l=suldi-L≤~L]=e-rTP（SnT=Sn，j；我≤ NL≤ i:是的≤其中（Snti）i=0,1，。。。，n、 ti=i时对于每1，τ。。。，n、 表示Sih的离散近似值，因此特别是Sntn=SNT是ST的离散近似值。为了计算（7），我们首先需要计算二叉树中到达最终股价Sn的路径Zd（n，j，~jL）的数量，j在接触或穿过有效屏障后L.反射原理（见Feller（1968））产生了数字Zd（n，j，~jL），即每j=0。。。，n等于zd（n，j，~jL）=新泽西州, 如果j≤■jL，njL-J, 如果jL<j≤ 如果j>2，则为2~jL，0。（8） 我们现在可以证明以下命题：命题1二项式价格Cdi-数字（s，K，T，L，n）指的是一个向下和向内的数字看涨期权，其屏障L<K<sis等于toCdi-数字（s、K、T、L、n）=e-rtjlxi=jKnjL- 我pi（1- p） n-i、 （9）证据。

让我们用G（Sn，j）表示节点Sn，j处数字看涨期权的支付，即G（Sn，j）=1，如果Sn，j≥ K、 0，如果Sn，j<K.（10），那么下跌和数字看涨期权在时间0时的价格等于toCdi-数字（s、K、T、L、n）=e-rTE[G（SnT）·我≤NL≤i:Si，l=suldi-L≤~L]=e-rTnXj=0E[G（SnT）SnT=Sn，j我≤NL≤i:Si，l=suldi-L≤~L]=nXj=jKπd（n，j，~jL）=e-rTnXj=jK“新泽西州pj（1）- p） n-林俊杰≤■jL+njL- Jpj（1）- p） n-jjL<j≤2jL#=e-rTjLXj=jK+1njL- Jpj（1）- p） n-j、 （11）最后一个等式来自于这样一个事实：这里我们假设L<K（即jL<jK），因此第一个sum的贡献消失。所以证据是完整的。现在我们推导出了L>K的向下和向外数字看涨期权的价格，我们称之为Cdo-digital（s，K，T，L，n），作为普通数字看涨期权的二项式价格与L>K的下行和内置数字看涨期权的二项式价格之间的差异。让我们从普通数字看涨期权的二项式价格开始，我们用Cdigital（s，K，T，n）表示。如果资产价格等于Sn，j=sujdn，我们用π（n，j）来表示证券在时间0的价格，它在时间T支付一个单位-jandotherwise nothing，即π（n，j）=e-rTE[SnT=Sn，j]=e-rT新泽西州pj（1）- p） n-j、 如前所述，我们用G（Sn，j）表示节点Sn，j处数字看涨期权的支付，参见（10）。