障碍期权定价

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英文标题：
《Barrier Option Pricing》
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作者：
A. H. Davison and T. Sidogi
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We use Lie symmetry methods to price certain types of barrier options. Usually Lie symmetry methods cannot be used to solve the Black-Scholes equation for options because the function defining the maturity condition for an option is not smooth. However, for barrier options, this restriction can be accommodated and a symmetry analysis utilised to find new solutions.
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中文摘要：
我们使用李对称方法对某些类型的障碍期权定价。通常情况下，李对称方法不能用于求解期权的布莱克-斯科尔斯方程，因为定义期权到期条件的函数是不光滑的。然而，对于屏障选项，可以考虑这一限制，并利用对称性分析来找到新的解决方案。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Barrier_Option_Pricing.pdf (99.17 KB)

2022-5-5 06:58:25 上传

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关键词：期权定价 障碍期权 Conservation Quantitative Applications

威特沃特斯兰德大学戴维森数学学院，P Bag 3，威特沃特斯兰德大学，P Bag 3，威特沃特斯兰德大学，P Bag 3，威特沃特斯兰德数学学院，2050，南非，2018年7月18日电子邮件地址：alexander。davison@wits.ac.za; 相应的authorEmail地址：thendos@gmail.comAbstractWe使用Lie对称方法为某些类型的障碍期权定价。通常，李对称方法不能用于求解期权的布莱克-斯科尔斯方程，因为定义期权成熟度条件的函数是不光滑的。然而，对于障碍选项，这种限制可以通过对称性分析来找到新的解决方案。1简介布莱克-斯科尔斯方程已被用于为许多金融工具定价，不同的边界条件决定了不同类型的工具。这些边界条件并不总是有助于Black-Scholes方程的解析解，而且在实际中经常使用数值方法。对称性方法可用于求解复杂的偏微分方程，如BlackScholes方程。然而，边界条件往往会导致问题。通常假设对称性要接受给定的边界条件，边界在对称性下必须是不变的，描述边界条件的函数也应该是不变的。通常，由于李对称是光滑的，任何非光滑边界条件都不会被李对称所接受，因此必须使用其他方法来求解方程。Goard[1]已经证明，刚才提到的假设是非常严格的。我们将在第3节中对此进行总结。不幸的是，Goard的工作并没有克服期权到期条件带来的问题。

如[2]所示，如果p代表时间，S代表标的资产的价格，V=V（S，p）是欧式看涨期权的价格，则考虑的边界条件是，当p=T时，期权价格V（S，p）和履约价格K应为V（S，T）=max{S- K、 0}=（S）- K如果S≥ K0如果S<K，（1）有一个点，关于S的导数不存在。如果考虑Black-Scholes方程的解面，条件（1）迫使曲面在点（K，t）处有褶皱或折痕。对称技术不适用于此类解决方案，因为使用对称技术的一个假设是，解决方案是平滑的。然而，如果我们在S=g（p）时引入形式为V（S，p）=0的第二个边界条件，其中g（p）是一个函数，使得g（T）=K，我们可以避免这个问题，因为我们不需要担心第一个边界条件的S小于K的值。这里的理解是S=g（τ）代表较低的势垒；如果期权价格低于此值，期权将变得毫无价值。换句话说，我们在0给出的区域内求解Black-Scholes方程≤ P≤ 看台≥ g（p），在这个区域之外，期权价格为零。2表示法和预备法设x=（x，x，…，xn）∈ Rn为自变量，坐标为xi。在Black-Scholes方程的情况下，自变量是p和S，其中S是标的资产的价格，p是时间，将转换为x=（x，t）。让u=（u，u，…，嗯）∈ Rmbe是依赖变量，坐标为uα。对于Black-Scholes方程，只有一个因变量，即相关金融工具的值V，它将被转换为u=u。

我们使用下标来表示部分差异：uαx=uαx、 uαxx=uαx、 uαxt=uα十、t、 等。我们还使用符号u（1）表示u的所有一阶导数的集合，类似地，u（2）、u（3）等表示更高阶导数的集合。n阶偏微分方程（PDE）可以表示为SFx、 u，u（1），u（2），u（n）= 0.（2）这种偏微分方程的对称性X是向量场X=ξixi+αuα（其中重复指数表示求和），使偏微分方程的解保持不变。实际上，这意味着X[n]F | F=0=0，其中X[n]是X的n次延拓（这是向量场X，添加了额外的项来显示X对u的导数的作用）。有计算扩散系数的公式，但细节与本文无关。假定系数ξ和φα仅为x和u的函数（尽管原则上可以考虑系数是u的导数的lso函数）。通过求解系统d xξ=···=d xnξn=d uφ=··=d umφ并将解代入原始方程F=0，可以（例如，见[3]）使用对称性来减少偏微分方程中变量的阶数或数量。然而，对于具有边界条件的PDE，对称性也必须满足不变表面条件。3.不变表面条件本节简要介绍了不变表面条件及其含义。有关更详细的解释，请参阅[1]。这里我们假设x=（x，t），u=（u）和x=ξx+τt+φu、 （2）的解u=u（x，t）在对称x下是不变的，当且仅当不变曲面条件成立，即ξ（x，t，u）Ux+τ（x，t，u）Ut=φ（x，t，u）。

（3） 3.1初始（或终止）条件如果我们施加条件u（x，T）=f（x），然后将该条件代入（3），我们得到ξ（x，T，f（x））f′（x）+τ（x，T，f（x））u（x，T）t=φ（x，t，f（x））。（4） 如果X保持边界条件不变，则该条件自动满足。另一方面，如果X不保持边界条件不变，则我们求解（2）ut，将其替换为（4），并通过以下两种方式之一求解（4）：如果给定X，则我们可以解出对称性所允许的最一般形式；如果f给定，那么我们可以找到（2）的最一般对称性，它允许满足边界条件的解。3.2边界条件另一方面，当x=G（t）时，我们可能希望施加公式（x，t）=G（t）的边界条件。在这种情况下，不变表面条件（3）变为ξ（g（t），t，g（t））ux+τ（g（t），t，g（t））ut=φ（g（t），t，g（t）），经过一些处理后，等于ξxux+ξuux+ξux+τxut+τuuxut+τuxut=φx+φuuux。（5） 同样，这可以通过给定X的边界条件来求解，也可以通过给定边界条件来求解。4障碍期权任何期权必须满足Black-Scholes方程，我们在这里写为Vp+σSVSS+rSVS- rV=0。（6） 式中，V为期权价格，S为标的商品价格，p为时间。对于屏障选项，既有终端条件（p=T时的选项特性）也有边界条件，我们称之为屏障。假设势垒如第1节所述，即当S=g（p）（因此g（p）=0）和g（T）=K时，V（S，p）=0。我们可以直接找到该方程的对称性和不变解；然而，有许多参数，为了简化计算，我们将（6）转化为热方程。下面的方法不是唯一的方法；参见Gazizov和Ibragimov[4]。4.1热方程的转换我们将转换分解为以下步骤：1。设t=σ（t）- p） 。

这使时间倒转，（6）变成-σVt+σSVSS+rSVS- rV=0。(7)2. 设S=Kex（我们假设S>0；此处引入的系数K简化了施加初始条件时的计算），然后（7）变为-σVt+σVxx+R-σVx- rV=0。(8)3. 设w=eαxV。通过选择α=2rσ- 1., （8） 转变为-σwt+σwxx-σα+rw=0。(9)4. 设y=eβtw。选择β=2rσ+1给我们-σyt+σyxx=0，即yt=yxx。(10)5. 最后，让u=Ky，使边界条件更简单。边界条件V（S，T）=max{S- K、 0}现在变成（x，0）=maxe（α+1）x- eαx，0=（e（α+1）x- eαxif x≥ 00如果x<0.4.2有限维对称热方程ut=uxx的Lie对称性是众所周知的（例如，参见[5]）：x=4xtx+4tt+u(-2t- 十）uX=xx+2ttX=2t十、- uxuX=xX=uuX=德克萨斯州∞= ψ（x，t）这里ψt=ψxx。热方程最普遍的有限维对称性是前六项的线性组合：X=[4cxt+cx+2ct+c]x+[4ct+2ct+c]t+[cu](-2t- 十）- 因为- [特写]u、 我们现在希望将这种对称性的初始条件应用到（4）中，以找到允许初始条件的最一般的对称性。然而，由于初始条件的非光滑性，我们只考虑值X>0，同时要记住，我们还将施加障碍条件。条件（4）变为-cx- cx- Ce（α+1）x- eαx- （cx+c）（α+1）e（α+1）x- αeαx= C（α+1）e（α+1）x- αeαx我们用c来解。

Cb，通过比较e（α+1）x、eαx等的系数，togetc=c=c=0，c=-（2α+1）c，c=（α+α）c。在不损失g通性的情况下，我们将c=1设为对称算子ecomes（11）X=-(2α + 1)x+T- （α+α）uu、 系统dxξ=dtτ=duφ变成x-2α - 1=d t=d u-α- α.左手对可以解为fini=x+（2α+1）t，右手对可以解为find=Ie(-α-α） t，其中i是积分常数；微分方程理论告诉我们，这些不变量在功能上是依赖的；我们表示如下：u=h（I）e(-α-α） t=h（x+（2α+1）t）e(-α-α） t.热方程ut=uxx现在变成（2α+1）h′（I）- （α+α）h（I），它可以被解为给定h（I）=Ae（α+1）I+beαI，因此u=Ae（α+1）x+（α+1）t+beαx+αt。现在u（x，0）=Ae（α+1）x+beαx，并将其与x的初始条件进行比较≥ 0，我们看到A=1和B=-1.接下来，我们将其转换回原始变量S，τ和V，toget:V=S- 柯-r（T）-p） 。V确实解决了Black-Scholes方程，并且满足了S的终端条件≥ K通过检查，我们发现这个解决方案所允许的唯一障碍是isS=Ke-r（T）-p） .4.3有限维对称我们现在考虑的对称形式为X=[4cxt+cx+2ct+c]x+[4ct+2ct+c]t+[cu](-2t- 十）- 因为- cu+ψ（x，t）]u、 其中ψt=ψxx，初始条件与之前相同，即。

u（x，0）=最大值e（α+1）x- eαx，0; 不变表面条件（4）现在可以写成（12）-cx- cx- Ce（α+1）x- eαx+ ψ - （cx+c）（α+1）e（α+1）x- αeαx= C（α+1）e（α+1）x- αeαx我们首先考虑形式为ψ=A（t）eαx+B（t）e（α+1）x的函数ψ，由于ψ必须满足热方程，我们得到ψ=keαx+αt+ke（α+1）x+（α+1）t。将其应用于（12）并以类似于前一小节的方式求解任意常数，我们发现c=c=0，k=-αc- C- αc，k=（α+1）c+c+（α+1）c。这就产生了由xa生成的超维子代数=x+-αeαx+αt+（α+1）e（α+1）x+（α+1）tu、 Xb=U- eαx+αt+e（α+1）x+（α+1）tu、 Xc=t+-αeαx+αt+（α+1）e（α+1）x+（α+1）tu、 4.4进一步的解决方案我们现在使用Xa、Xb和Xc的线性组合。我们必须解的特征方程是isdxc=dtc=du-cu+ψ（x，t），其中ψ=-αc-C-αceαx+αt+（α+1）c+c+（α+1）ce（α+1）x+（α+1）t。我们求解dxc=dtct，得到x=cct+I，即I=x-cct。方程dxc=du-cu+ψ（x，t）也可以用三种可能的方法之一来求解，取决于任意常数c，c。我们假设Cc不等于α或α+1（否则，经过一点努力，我们就得出了一个矛盾），结果=Ie-ccx-c+αc+αccα+ceαx+αt+（α+1）c+c+（α+1）cc（α+1）+ce（α+1）x+（α+1）t。我们将其代入热方程，并使用I必须是Ito函数的事实来求解u，发现u=AeC-√C-4cc（ct）-cx）2cc+AeC-2cc-√C-4ccc（ct）-cx）2cc+αc- αc+cαc+ceαx+αt+（α+1）c+（α+1）c- c（α+1）c+ce（α+1）x+（α+1）t。我们要求u（x，0）=e（α+1）x-eαx（x>0），看看我们表达式中u的指数，我们可以看到A=A=0（这导致了矛盾），或者c=-（2α+1）c=a（α+1）c。

我们得到了一个解u=e（α+1）x+（α+1）t- eαx+αt，这是我们之前发现的相同的解决方案。5结论我们已经找到了由v=（S）给出的Black-Scholes方程的解- 柯-r（T）-p） 如果0≤ P≤ T、 S≥ 柯-r（T）-p） 否则为0。乍一看，似乎有限维对称ψ的使用你得不到任何额外的解决方案；然而，我们假设ψ是一种非常特殊的形式；其他形式可能会产生其他解决方案。我们注意到，尽管使用不变曲面条件对于找到满足给定边界条件的不变解至关重要，但不变曲面条件是必要的，但并不有效；不变曲面条件限制了对称性的选择，但在某些情况下，边界条件进一步限制了对称性的选择。总之，我们具体展示了如何使用对称技术为非标准屏障确定屏障选项的价格。更一般地说，我们已经证明，如果施加进一步的边界条件以去除任何非光滑点，则具有非光滑边界条件的偏微分方程可以使用对称技术来求解。参考文献[1]Joanna Goar d，《非变边界条件，适用分析：国际期刊》82（2003），第473-481页。[2] F.Black和M.Scholes，《期权和公司负债的定价》，政治经济学杂志81（1973），第637-654页。[3] P.J.Olver和P.Rosenau，《微分方程的群不变解》，工业和应用数学学会《应用数学杂志》47（1987），第263-278页。[4] R.K.Gazizov和N.H.Ibragimov，《金融中微分方程的李对称性分析》，非线性动力学17（1998），第387-407页。[5] P.J.Olver，李群和微分方程，在《精确代数手册》中，A.V.Mikhalev和g.F。

Pilz（编辑），Kluwer Academic，荷兰多特雷赫特（2002年），第92-97页。