具有离散红利的障碍期权定价

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英文标题：
《Pricing barrier options with discrete dividends》
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作者：
D. Jason Gibson, Aaron Wingo
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The presence of discrete dividends complicates the derivation and form of pricing formulas even for vanilla options. Existing analytic, numerical, and theoretical approximations provide results of varying quality and performance. Here, we compare the analytic approach, developed and effective for European puts and calls, of Buryak and Guo with the formulas, designed in the context of barrier option pricing, of Dai and Chiu.
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中文摘要：
离散股息的存在使定价公式的推导和形式变得复杂，即使是普通期权。现有的分析、数值和理论近似提供了不同质量和性能的结果。在这里，我们将Buryak和Guo针对欧洲看跌期权和看涨期权开发并有效的分析方法与Dai和Chiu在障碍期权定价背景下设计的公式进行比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_barrier_options_with_discrete_dividends.pdf (131.43 KB)

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关键词：期权定价 障碍期权 Quantitative performance derivatives

使用离散IVidendSD对障碍期权进行定价。杰森·吉布森和亚伦·温戈斯特。离散股息的存在使定价公式的推导和形式复杂化，即使是普通期权。现有的分析、数值和理论近似提供了不同质量和性能的结果。在这里，我们将Buryak和Guo为欧洲putsand calls开发并有效的分析方法与Dai a and Chiu在barr ier期权定价背景下设计的公式进行比较。1.简介继Buryak和Guo[3]之后，我们重点分析了一个股票过程，该股票过程中的股息金额在ti乘以ti后急剧下降。在非股息时间，STM遵循几何布朗运动，波动率σ。在这种情况下，我们有dst=rSt-X0<ti≤Tdiδ（t- ti）！dt+σStdWt，（1.1），其中r是无风险利率，δ是狄拉克δ函数，wt是维纳过程。（赫尔的书[8]是这些问题的标准参考。）布莱克-斯科尔斯微分方程五、T- rV+RS五、S+σS五、S=0（1.2）对期权价格的动态进行建模。这里，S表示（现货）资产价格，σ表示波动性，r表示浮动利率。离散股息的存在使定价公式的推导和形式复杂化，即使是普通期权、单一障碍期权或更奇特的工具。现有分析、数值和日期：2016年1月6日。2010年数学科目分类。91G20。关键词和短语。分析定价，障碍期权，离散分割。两位作者都感谢田雪儿（Tian Shyr Da i）和Chun Yuan Chiu（Chun Yuan Chiu）善意地允许使用他们的障碍期权定价数据。2D.JASON GIBSON和AARON Wingothorical近似提供了不同质量和性能的结果。

Frishling[5]讨论了一种可能性，并在Dai和Chiu[4]的比较中使用了“模型1”的名称，认为股票价格与期权有效期内未来股息现值之间的差异遵循对数正态分布过程。更复杂的方法，如Buryak和Guo[3]以及Dai和Chiu[4]的方法，允许更复杂和敏感地纳入影响期权价格的因素（波动性、壁垒等）。数值近似，包括蒙特卡洛法、格点法和Crank-Nicolson格式，通常为其他方法提供了标记，无论是复杂的还是幼稚的。在§2中，我们描述了Buryak和Guo[3]的分析近似值：即期波动率调整、履约波动率调整、混合和混合波动率调整近似值。后一种近似方法起源于文献[3]，在定价看涨期权和看跌期权方面表现良好。在§3中，我们建立了向上和向外障碍期权的分析定价公式，即无离散股息时的va lid。在§4中，Buryak和Guo混合波动率调整近似值的表现，适用于障碍期权的设置，可以在包含Dai和Chiu数据的图表中看到[4]。在§5中，我们简要概述了这些问题和相关公关问题的进一步工作方向。2.解析逼近传统的Black-Scholes公式C=SΦ（b）- K exp(-rT）Φ（b），P=K exp(-rT）Φ（b）- SΦ(-b） （2.1）不提供离散股息股票的可能性。这里，C和P分别表示调用和Put。我们还有股票（现货）价格S，履约价格K，期权到期时间T，累积高斯分布函数Φ，以及bithat satisfyb=σ√TlnSK公司+r+σTb=b- σ√T(2.2)2.1. 即期波动率调整近似值。

Beneder和Vorst[1]使用一个近似值，粗略地说，就是调整一些Black-Scholes参数，然后调整波动率，用离散股息3修正重新定义定价障碍期权。要合并股息信息，可以减去股息的现值SD=X0<ti≤Tdiexp(-rti）（2.3）从S中得出调整后的值S=S- D=S-X0<ti≤Tdiexp(-rti）。（2.4）他们观察到，如果（具有离散股息的股票过程）的局部波动率是恒定的，那么没有分段跳跃的过程应该具有非恒定的局部波动率σS（S，D，t）=σ（t）SS- D（S）j，（2.5），其中D（S）j=NXi=j（t）diexp(-rti），（2.6），其中N是（0，T）中的股息支付数量，总和仅限于时间T之后发生的股息支付，j（T）是时间T时或之后第一次股息支付的指数。根据这种波动性调整，相应的方差可在（0，T）上取平均值，得出σS=σvuutSS- D（S）！tT+X1<j≤NSS- D（S）j！tj- tj-1T+T- TNT（2.7），其中TNT是（0，T）中最后一次支付股息的时间。用σSin（2.1）和in（2.2）代替SbySandσ- K exp(-rT）Φ（b），P=K exp(-rT）Φ（b）-~SΦ(-b） （2.8）和b=σS√Tln)SK+r+σSTb=b- σS√T（2.9）将上述方案称为现货波动率调整近似值，即现货VA近似值。4 D.杰森·吉布森和亚伦·温哥2。2.经过波动率调整的近似值。Buryak和Guo[3]介绍了基于Benederand Vorst[1]设置的不同近似值。

首先，在Frishling对罢工近似的描述[5]之后，他们将罢工价格f从K修改为K，方法是设置K=K+X0<ti≤Tdiexp（r（T- （2.10）是（2.4）的天然类似物。接下来，通过考虑非恒定的局部波动性，对波动性进行调整，σK（S，D，t）=σ（t）SS+D（K）j，（2.11），其中D（K）j=j（t）Xi=1diexp(-rti），（2.12），其中N是（0，T）中的股息支付数量，金额限制为仅包括在时间T之前发生的股息支付，j（T）是在时间T或之前第一次股息支付的指数。通过这种波动性调整，相应的方差可以平均为（0，T），产生σK=σvuttt+X1≤j<NSS+D（K）j！tj+1- tjT+SS+D（K）N！T- tNT（2.13），其中tNT是（0，T）中最后一次支付股息的时间。将K替换为K，将σ替换为σKin（2.1）和in（2.2）yieldsC=SΦ（b）-~K exp(-rT）Φ（b），P=~K exp(-rT）Φ（b）- SΦ(-b） （2.14）和b=σK√TLNSK+r+σKTb=b-σK√T（2.15）将上述方案称为罢工波动率调整近似值，即罢工VA近似值。具有离散红利的障碍期权定价52.3。混合近似。Bos和Vandermark[2]提出了一种不同的近似方法，并进行了一些理论分析。具体而言，takeC=SΦ（b）- K exp(-rT）Φ（b），P=K exp(-rT）Φ（b）- SΦ(-b） ，（2.16）带S=S- DSK=K+DKexp（rT）。（2.17）这里，DS=X0<ti≤TT- tiTdiexp(-rti）DK=X0<ti≤TtiTdiexp(-rti）。（2.18）与上述即期VA和短期VA近似值相比，该方法不调整波动率。将上述方案称为混合近似。2.4. 混合波动率调整近似。Buryak和Guo描述的一种新方法以上述混合近似为起点，但也以与前面提到的波动率调整方案相关的方式调整波动率。

这种新方法与其他方法之间的一个关键区别在于对DSD和DK术语的单独处理，其中被折扣的单独数据流D满足D=DS+DK。具体而言，通过考虑非恒定局部波动率σS（S，D，t）=σ（t）SS来调整波动率- D（S）j，（2.19），其中D（S）j=NXi=j（t）t- tiTdiexp(-rti），（2.20）和∧σK（S，D，t）=σ（t）SS+D（K）j，（2.21）6d.杰森·吉布森和亚伦·温哥韦德（K）j=j（t）Xi=1tiTdiexp(-rti）。（2.22）这里，N是（0，T）中的股息支付数量，spotsum被限制为仅包括在时间T之后发生的支付s，j（T）是在时间T时或之后第一次股息支付的指数，罢工金额被限制为仅包括在时间T之前发生的支付，j（T）是在时间T时或之前第一次股息支付的指数。在这两种情况下，相应的方差可以在（0，T）上平均，σS=σvuutSS- D（S）！tT+X1<j≤NSS- D（S）j！tj- tj-1T+T- TNT=σ（1+ε（h）S），（2.23）和σK=σvuuttT+X1≤j<NSS+D（K）j！tj+1- tjT+SS+D（K）N！T- tNT=σ（1）- ε（h）K），（2.24），其中tn是（0，T）中最后一次支付股息的时间。最后，设置σH=σ（1+（H）S）（1- （h）K），（2.25），并使用（2.16）中描述的设置。对于通话，这个近似值不需要进一步调整。这需要进一步调整。（参见Buryak Guo[3]关于清算人和剩余股息政策的讨论，基于Haug[6]中所述的考虑。）将此方案称为混合VA近似。3.障碍选择我们遵循Haug[7]和Levy[9]的书，并使用Ha ug的符号结构。当资产价格达到或超过B级门槛时，向上和向外看涨期权就不再存在。

对于向上和向外的呼叫，我们遵循Haug[6]第152-153页上的公式（另见Levy[9]中的（9.77））。这些公式反过来源于默顿[10]和鲁宾斯坦[11]的工作，分别为离散红利的障碍期权重新定价。向上和向外看涨期权支付最高- K、 0）如果S<B在T之前的所有时间都有效，并且，从其他方面来说，它会支付回扣。然后ck>B=FCK<B=A- B+C- D+F，（3.1）式中=φSe（b）-r） TΦ（φx）- φKe-rTΦ（φx）- φσ√T）B=φSe（B）-r） TΦ（φx）- φKe-rTΦ（φx）- φσ√T）C=φSe（b）-r） T学士学位2（u+1）Φ（ηy）- φKe-rT学士学位2μΦ（ηy）- ησ√T）D=φSe（b）-r） T学士学位2（u+1）Φ（ηy）- φKe-rT学士学位2μΦ（ηy）- ησ√T）F=R“学士学位u+λΦ（ηz）+学士学位u-λΦ（ηz）- 2 ηλσ√T）#，（3.2）和x=ln（S/K）σ√T+（1+u）σ√T x=ln（S/B）σ√T+（1+u）σ√T（3.3）y=ln（B/（SK））σ√T+（1+u）σ√T y=ln（B/S）σ√T+（1+u）σ√T（3.4）z=ln（B/S）σ√T+λσ√T（3.5）u=b-σσλ=ru+2rσ。(3.6)4. 绩效我们将混合VA方法与Dai和Chiu[4]的一些工作进行比较，将第2.4节中描述的调整后即期、行权和波动性参数应用于第3节中的障碍期权公式。混合VA和HVA错误列是新的，其他列首次出现在Dai和Chiu的工作中。该测试示例的详细信息首先出现在第1377页的图2中，它为我们以后的比较提供了默认值。在那里，无风险利率为3%，波动率为20%，罢工率为50，障碍为65，到期时间为1年。一个离散的IVidend 1按0.5年支付。

我们使用最大绝对误差和均方误差作为性能指标。1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.0.17 0.0.0.0 0.0.0 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0 0.0 0.0 0.17 0.0.17 0.17 0 0.17 0.17 0.17 17 0.5829 0.5829292929292929 1 1 1 1.1.579 9 9 9 9 1.1.1.1.0 0 0.0.0 0.0.0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.1.2093 1.3463 1.1686 0.0019 0.13520.04260.9164 0.9106 1.0700 0.9030 0.0059 0.1536 0.01340.5667 0.5602 0.7358 0.5898 0.0065 0.1691 0.02310.1932 0.1868 0.3697 0.2529 0.0065 0.1765 0.0597MAE 0.0089 0.1765 0.0903RMSE0。0054 0.1109 0.0654表1。如表1所示，随着初始股价S（0）的增加，与HVAmodel相比，模型1的误差倾向于增加，HVAmodel在误差幅度上保持了一定的稳定性。每种型号性能的TheRMSE和MAE也表明了这一点。dMC Dai Chiu Model1混合VA DC错误M1错误HVA错误0。3 1.5759 1.5730 1.5857 1.5467 0.0029 0.0098 0.02920.61.5438 1.5435 1.5680 1.4928 0.0003 0.0242 0.05100.91.5202 1.5129 1.5486 1.4395 0.0073 0.0283 0.08071.21.4868 1.4815 1.5273 1.3870 0.0053 0.0405 0.09981.51.4478 1.4493 1.5044 1.3353 0.0015 0.0566 0.11251.81.4147 1.4163 1.4798 1.2844 0.0017 0.0652 0.13032.11.3843 1.3828 1.4538 1.2345 0.0015 0.0695 0.14982.41.3459 1.3488 1.4262 1.1855 0.0030 0.0804 0.1604MAE 0.0073 0.0804 0.1604RMSE0。0036 0.0523 0.1105表2。

障碍看涨期权的不同支付金额、单一离散分割期权和带离散股息的障碍期权定价9然而，根据表2，在这种情况下，HVA误差增加，而随着支付金额的增加，模型1误差相对保持不变。每种型号的MAE和RMSE都显示出巨大的差异，与Model1错误相比，HVA错误的大小大约是Model1错误的两倍。σMC Dai Chiu Model1混合VA DC错误M1错误HVA错误0。1 2.0707 2.0756 2.0612 2.0412 0.0049 0.0094 0.02950.21.5054 1.5026 1.5417 1.4219 0.0028 0.0363 0.08350.30.7215 0.7167 0.7534 0.6742 0.0047 0.0320 0.04730.40.3625 0.3611 0.3846 0.3395 0.0014 0.0221 0.02300.50.2035 0.1998 0.2144 0.1881 0.0037 0.0109 0.01540.60.1205 0.1197 0.1292 0.1129 0.0007 0.0087 0.00760.70.0767 0.0764 0.0827 0.0721 0.0003 0.0060 0.00460.80.0526 0.0511 0.0556 0.0483 0.0014 0.0030.00420.90.0366 0.0356 0.0388 0.0337 0.0010 0.0021 0.00.0255 0.0255 0.0279 0.0242 0.0000 0.0024 0.0013MAE 0.0049 0.0363 0.0835RMSE0。0027 0.0178 0.0331表3。在表3中，两个模型都表现良好，模型1方法表现稍好。tMC Dai Chiu 1型混合VA DC错误M1错误HVA错误0。1 1.5425 1.5378 1.5408 1.5165 0.0047 0.0016 0.02600.21.5347 1.5335 1.5410 1.4926 0.0012 0.0063 0.04010.31.5291 1.5262 1.5412 1.4689 0.0029 0.0121 0.06020.41.5236 1.5160 1.5415 1.4453 0.0076 0.0179 0.07830.51.5054 1.5026 1.5417 1.4219 0.0028 0.0363 0.08350.61.4903 1.4861 1.5419 1.3986 0.0042 0.0516 0.09170.71.4737 1.4658 1.5421 1.3756 0.0079 0.0684 0.09810.81.4391 1.4399 1.5423 1.3527 0.0007 0.1032 0.08640.91.4036 1.4029 1.5425 1.3300 0.0007 0.1389 0.0736MAE 0.0079 0.1389 0.0981RMSE0。0042 0.0625 0.0745表4。不同的支付时间为一个障碍电话，单离散dividend10d。

JASON GIBSON和AARON WINGOTable 4表明，在评估HVA或Model1时，增加支付日期s并不会产生更好的模型性能。它们的热值几乎相同，MAE值也没有太大差别。1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.2.2.22 0.9122 0.949 0.8126 0.0.0 0 0.0 0.033 0.0 0.0 0.10.0 0.10.10 10.0 0.0 0.0 0.0 0 0.8126 0.0 0.0 0.0 0.0 0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 92 0.8990 0.6692 0.0049 0.17490.05490.5364 0.5315 0.7287 0.5189 0.0049 0.1924 0.01750.3249 0.3233 0.5317 0.3508 0.0016 0.2068 0.02590.1104 0.1077 0.3192 0.1744 0.0032 0.2088 0.0640MAE 0.0049 0.2088 0.1231RMS0。0038 0.1470.0893表5。在研究模型1和HVA这两个模型之间的差异时，在两次派息的barrier call的S（0）发生变化的情况下，误差的差异变得明显。Bo Thly表现不佳，但HVA误差较小。d=dMC Dai Chiu Model1混合VA DC错误M1错误HVA错误0。3 1.130 5 1.1238 1.1514 1.0841 0.0067 0.0210 0.04640.61.0948 1.0933 1.1462 1.0173 0.0015 0.0514 0.07750.91.0585 1.0606 1.1364 0.9521 0.0021 0.0780 0.10641.21.0279 1.0269 1.1222 0.8885 0.0010 0.0943 0.13941.50.9864 0.9897 1.1038 0.8267 0.0033 0.1174 0.15971.80.9552 0.9535 1.0812 0.7670 0.0018 0.1260 0.18822.10.9147 0.9156 1.0548 0.7095 0.0009 0.1401 0.20522.40.8769 0.8772 1.0247 0.6542 0.0003 0.14780.2227MAE 0.00680.14780.2227RMSE0。0029 0.105 6 0.1547表6。