离散双障碍期权定价的数值方法

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《A Numerical Method for Pricing Discrete Double Barrier Option by
  Lagrange Interpolation on Jacobi Node》
---
作者：
Amirhossein Sobhani, Mariyan Milev
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  In this paper, a rapid and high accurate numerical method for pricing discrete single and double barrier knock-out call options is presented. According to the well-known Black-Scholes framework, the price of option in each monitoring date could be calculate by computing a recursive integral formula upon the heat equation solution. We have approximated these recursive solutions with the aim of Lagrange interpolation on Jacobi polynomials node. After that, an operational matrix, that makes our computation significantly fast, has been driven. The most important feature of this method is that its CPU time dose not increase when the number of monitoring dates increases. The numerical results confirm the accuracy and efficiency of the presented numerical algorithm.
---
中文摘要：
本文提出了一种快速、高精度的离散单障碍和双障碍淘汰看涨期权定价的数值方法。根据著名的Black-Scholes框架，可以通过计算热方程解的递推积分公式来计算每个监测日期的期权价格。我们以雅可比多项式节点上的拉格朗日插值为目标来逼近这些递归解。在那之后，一个使我们的计算速度显著加快的运算矩阵被驱动。这种方法最重要的特点是，它的CPU时间不会随着监视日期的增加而增加。数值结果验证了该算法的准确性和有效性。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--

---
PDF下载：
--> A_Numerical_Method_for_Pricing_Discrete_Double_Barrier_Option_by_Lagrange_Interp.pdf (158.19 KB)

2022-6-2 17:10:37 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：期权定价 障碍期权 数值方法 Quantitative Applications

Jacobi-NodeAmirhossein-Sobhania上基于LagrangeInterpolation的离散双障碍期权定价的数值方法，*, Amirkabir理工大学应用数学系Mariyan MilevbaDepartment of Applied Mathematics，Amirkabir University of Technology，No.424，Hafez Ave，Tehran 15914，IranbUFT PLOVDIV，Department of Mathematics and Physics Abstracts本文介绍了一种快速、高精度的离散单障碍和双障碍淘汰期权定价的数值方法。根据著名的Black-Scholes框架，在热方程解的基础上，通过计算一个递推积分公式来计算每个监测数据中期权的价格。我们以雅可比多项式节点上的L a grange插值为目标，近似了se递归解。之后，一个使我们的计算速度显著加快的运算矩阵被驱动了。这种方法最重要的特点是，它的CPU时间不会随着监视日期的增加而增加。数值结果证实了所提出数值算法的准确性和效率。关键词：双障碍和单障碍期权、Black-Scholes模型、期权定价、Jacobi多项式2010 MSC:65D15、35E15、46A321。简介障碍期权在金融市场中起着关键作用，其中最重要的问题是所谓的期权估值问题，即计算期权的公允价值，即溢价。诺贝尔奖获得者Black-Scholes期权估价理论鼓励使用偏微分方程（PDE）的经典数值方法[1]。在计算金融学中，提出了许多非标准数值方法，并成功地应用于期权定价[2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12]。

数值方法通常优先于封闭式解决方案，因为它们可以更容易地扩展或调整，以满足期权合同的所有财务要求，以及金融机构和场外交易市场为控制衍生品交易而施加的不断变化的条件。Kunitomo和Ikeda【13】获得了具有曲线障碍的欧洲双杆rier期权的一般定价公式，但与各种路径相关期权和公司证券一样，大多数公式都是在连续监控或单障碍等受限情况下获得的【5】。离散监控至关重要，因为考虑到交易年为250个工作日，一周为5天。因此，以一年T=1为例，屏障的应用以0为时间增量。每天004次，每周0.02次。对于离散势垒选项，有一些解析解。例如，Fusai将Pricingo障碍期权问题简化为维纳-霍普夫积分方程[3]。其他几种不同的离散时间监控合同的特点是更新初始条件，如巴黎期权和占用时间导数[14]。我们注意到，尽管大多数实际合同规定了监测资产的固定时间，但学术研究人员主要关注连续时间监测模型，因为可以使用反射原理等技术从数学上处理固定障碍的分析[15]。

例如，利用布朗运动中的反射原理，Li通常将解表示为标准双势垒期权的有限个正态分布函数的总和，在许多非平凡情况下，解包含有限项【16】。*对应的authorEmail地址：a_sobhani@aut.ac.ir，a_sobhani@mathdep.iust.ac.ir（Amirhossein Sobhani），marianmilev2002@gmail.com（Mariyan Milev）提交给Elsevier的预印本2018年2月5日Pelsser通过轮廓积分对平面变换进行分析反演，得出了连续双屏障敲除和敲入操作的公式[17]。Broadie等人发现了一个明确的修正公式，用于具有一个屏障的离散监测选项【18】。然而，这三种众所周知的方法[6、10、11]尚未在存在两个障碍的情况下得到应用，即离散双障碍期权。虽然不能声称不可能找到BlackScholes方程[19]的精确或封闭形式的解来评估离散双屏障kn-ock-out看涨期权，但可以肯定的是，即使在100万个监测日期，连续监测和离散监测之间的期权价格也存在实质性差异。可以使用公式[3]、[13][6]或修正公式[18]对单个b arrier敲入和敲出选项进行简单测试，对于使用数值算法的双Barrier敲出选项[5]或使用高阶精确有限差分方案的双Barrier敲出选项[11]。在文献中，当比较连续和离散监控障碍期权与相应的普通期权的价格时，这种关系是众所周知的，这些期权具有相同的参数和回扣的存在。

离散监测使屏障方案的分析变得相当复杂[18]，其定价通常需要非标准方法，如[2、5、7、11]所述。即使在连续监控的情况下，也会出现双障碍期权定价的困难，在这种情况下，可以清楚地观察到封闭式公式的一些缺点。此类期权的解析解通常表示为有限的反射级数，并用傅立叶级数表示。对于固定边界契约，当所有项相加时，傅立叶级数解给出相同的答案，但主要缺点是，求和到解的收敛速度可能会非常不同，这取决于到期时间。最初，人们探索了金融学中经典的定量方法来为障碍期权定价。这包括标准晶格技术，即Kam rad和Ritchken【20】、Boyle和Lau【21】、Kwok【15】、Heyen和Kat【22】、Tian【23】、Dai和Lyuu【24】的二项式和三项式树，使用标准晶格技术对Barrie r期权进行定价。Ahn等人[25]介绍了自适应网格模型（AMM），该模型提高了三项式晶格的效率。蒙特卡罗模拟方法在[26、27、28、29、30、31]中实施。[32，5]中还提出了基于求积方法的数值算法。最近，基于积分变换s【3、33、34】或用于描述标的资产价格的过程的转移概率密度函数【32、5、35、18、36、4、3、7、38】，开发了多种更复杂的限制性期权定价半分析方法。Farnoosh等人。

[39，40]提出了具有时间相关参数的离散单障碍和双障碍期权定价的数值算法，而[41]探索了投影方法。这些技术对于离散监控的单障碍和双障碍期权的定价具有很高的性能，我们的计算结果与它们非常一致。本文的主要目的是提出一种基于Jacobi节点上的拉格朗日插值的离散障碍期权估值新的高效计算方法，该方法不仅具有更简单的计算机实现，而且具有最小的内存需求和极短的计算时间。本文的组织结构如下。在第2节中，我们在经典Black-Scholes框架下建立了障碍期权估值的数学模型。在第3节中，我们简要列出了雅可比多项式的定义。在第4节中，我们提出了一种新的有效数值方法，其中使用正交拉格朗日插值，并获得了一种合适的运算矩阵形式，用于为离散双障碍期权定价。该算法的主要优点之一是它不依赖于监视日期的数量。在接下来的第5节中，我们观察10阶数字错误-4和10-根据节点数量，不同计算实验的最大范数为6。所得结果与文献中的其他基准值一致，这证实了现有数值算法的效率和准确性。2、定价模型我们假设股票价格过程St遵循G几何布朗运动：dStSt=rdt+σDbt，其中S、r和σ分别是初始股票价格、无风险利率和波动率。我们考虑了定价的离散双障碍看涨期权问题，即。

一种看涨期权，如果股票价格在预定的监控日期触及较低或较高的障碍，则该看涨期权将变得一文不值：0=t<t<····<tM=t。我们假设监控日期间隔相等，即：；tm=mτwhereτ=tm。如果在监控日期内未触及这些障碍，则到期时的薪酬为最高（ST- E、 0），其中E是行权价格。期权价格定义为到期时支付的贴现预期。基于Black-Scholes框架，期权价格P（S，t，m- 1） 作为时间t时股价的函数∈（tm）-1，tm），满足以下部分差异方程-Pt+rSPS+σSPS- rP=0，（1）根据初始条件：P（S，t，0）=（S- E） （最大（E，L）≤S≤U） P（S，tm，0）=P（S，tm，m- 1） （L）≤S≤U） ；m=1，2。。。，M- 1，其中P（S，tm，m- 1） ：=限制→tmP（S、t、m- 1).通过表示E*= 自然对数埃尔; u=r-σ; θ=ln联邦制药δ=max{E*, 0}，我们将gm（z）定义为以下递归公式la:g（z）=zθk（z- ξ、 τ）g（ξ）dξ（2）gm（z）=zθk（z- ξ、 τ）gm-1（ξ）dξ；m=2，3。。。，M（3），其中g（z）=Le-αzez公司- eE公司*(δ≤z≤θ） ，（4）k（z，t）=√4πcte-z4ct。（5） 可以证明，淘汰型离散双障碍期权的价格可以如下所示（见【41】）：P（S，tM，M- 1) eαz+βtgM（z/θ）（6），其中z=对数SL公司.3、雅可比多项式let w（α，β）（x）=（1）- x） α（1+x）β，α，β>-1和Lw（α，β）(-1，1）是具有以下内积和范数的希尔伯特空间：<f，g>w（α，β）=Z-1f（x）g（x）w（x）dx，（7）kf kw（α，β）=p<f，f>w（α，β）。（8） 雅可比多项式J（α，β）i（x）是Lw（α，β）中的正交多项式(-1，1），即；Z-1J（α，β）i（x）J（α，β）J（x）w（x）dx=λiδi J，（9），其中λi=kJ（α，β）ik。

这些多项式在Lw（α，β）中设置正交基(-1，1），满足以下三项递推关系：J（α，β）（x）=1，J（α，β）（x）=（α+β+2）x+（α- β） （10）J（α，β）i+1（x）=a（α，β）ix-b（α，β）iJ（α，β）i（x）- c（α，β）iJ（α，β）i-1（x）（11）式中：a（α，β）i=（2i+α+β+1）（2i+α+β+2）2（i+1）（n+α+β+1）（12）b（α，β）i=（β- α） （2n+α+β+1）2（i+1）（n+α+β+1）（2n+α+β）（13）c（α，β）i=（n+α）（n+β）（2n+α+β+2）（i+1）（n+α+β+1）（2n+α+β）。(14)4. 正交拉格朗日插值定价在本节中，我们考虑阶数小于或等于n的所有多项式的∏nas空间，设定点{xα，βi}ni=0as第（n+1）个雅可比多项式J（α，β）n+1的根，移动到[0，θ]和iα，βn：C[0，θ]→ ∏nas正交多项式插值投影算子，定义如下：Iα，βn（f）=nXi=0f（xα，βI）Li（x）（15），其中Li（x）是在{xα，βI}ni=0:Li（x）=nYj=0，j，I（x）上定义的第I个拉格朗日多项式基函数- xα，βj）（xα，βi- xα，βj）。（16） Let运算符K:L（[0，θ]）→ L（[0，θ]）定义如下：Kg级（z） ：=zθκ（z-ξ、 τ）g（ξ）dξ。（17） 式中，κ在（5）中定义。根据运算器K的定义，方程式（2）和（3）可以改写为低：g=Kg（18）gm=Kgm-1m=2，3。。。，M（19）我们表示▄g1，n=Iα，βnKg级（20） ~gm，n=Iα，βnK通用汽车公司-1.=Iα，βnKm级g级, m级≥ 2.（21）式中，Iα，βnK是a s，如下所示：（Iα，βnK）（g）=Iα，βnK（克）.自年月日起，gm，n∈ ∏N米≥ 1，我们可以写出<<gm，n=nXi=0amiLi（z）=Φ′n（x）gm，其中gm=[am0，am1，·amn]\'，Φn=[Lm，Lm，·Ln]\'。从方程（21）中，我们得到▄gm，n=（Iα，βnK）m-1.g1，n.

(22)αβ-0.8-0.5 0 0.5 0.8-0.8 8.6074e- 06 8.1718e- 06 2.2103e- 05 1.8770e- 05 9.5120e- 06-0.5 8.7606e- 06 7.8929e- 06 1.2852e- 05 3.8600e- 05 4.6071e- 050 2.7040e- 05 2.5788e- 05 2.2103e- 05 5.3726e- 05 9.3608e- 050.5 9.1438e- 05 9.5461e- 05 9.2619e- 05 8.2564e- 05 1.0667e- 040.8 1.4675e- 04 1.6600e- 04 1.7498e- 04 1.6536e- 04 1.5456e- 04表1：示例（1）中n=25，L=95，M=125时的最大范数误差。由于∏是一个有限维线性空间，因此∏n上的线性算子Iα，βnK可被视为一个n×nmatrix K。因此，方程（22）可写成以下矩阵算子形式▄gm，n=Φ′nKm-1克。（23）对于通过（23）评估期权价格，计算矩阵运算器K和向量G就足够了。很容易检查（见[41]）：G=[a，a，···，a1n]’K=ki j公司n×n其中a1i=ZθΔκ（xα，βi- ξ、 τ）g（ξ）dξ，0≤ 我≤ n、 ki j=Zθκ（xα，βi- ξ、 τ）Lj-1（ξ）dξ。因此，淘汰型离散双障碍期权的价格可以估计如下：p（S，tM，M- 1) eαz+βt≈gM，n（z）（24），其中z=对数SL公司和▄gM，nfrom（23）。关系矩阵形式（23）表明，当监控日期增加时，所述算法的计算时间会提前确定。实际上，我们的算法的复杂性是isO（n），它不依赖于监控日期的数量。5、数值结果在本节中，将前一节提出的敲出叫牌离散双障碍定价方法与其他一些方法进行了比较。从（24）w与n个基函数的关系得到了数值结果。源代码已在3.2 GHz Intel Core i5 PC和8 GB RAM上用Matlab 2015编写。示例1。

在第一个示例中，敲出式看涨期权的定价考虑了以下参数：r=0.05，σ=0.25，T=0.5，S=100，E=100，U=120和L=80，90，95，99，99.5。在表（2）中，对以Milev数值算法【5】、Crank Nicholson【42】、三项式、自适应网格模型（AMM）和qua-drature方法d QUAD-K200为基准的方法【43】在不同监测日期的数值结果进行了比较。此外，可以看出，所述方法的CPU时间与监控日期的增加是固定的。M l LPM（α=-0.5, β = -0.5）（n=25）米列夫（200）米列夫（400）三项式AMM-8基准80 2.4499--2.4439 2.4499 2.449990 2.2028--2.2717 2.2027 2.20285 95 1.6831 1.6831 1.6831 1.6926 1.6830 1.683199 1.0811 1.0811 0.3153 1.0811 1.081199 0.9432 0.9432 0.9432-0.9433 0.9432CPU 0.035 s 1 s80 1.9420--1.9490 1.9419 1.942090 1.5354--1.5630 1.5353 1.535425 95 0.8668 0.8668 0.8823 0.8668 0.866899 0.29310.2931 0.2931 0.3153 0.2932 0.293199.9 0.2023 0.2023 0.2023-0.2024 0.2023CPU 0.035 s 8 s 30 s80 1.6808-1.7477 1.6807 1.680890 1.2029-1.2370 1.2028 1.2029125 95 0.5532 0.5528 0.5531 0.5699 0.5531 0.553299 0.1042 0.1042 0.1042 0.1201 0.1043 0.104299 0.0513 0.0513 0.0513-0.0513 0.0513CPU 0.035 s 35 s 150稳定2：示例（1）的双屏障期权定价：T=0.5，r=0.05，σ=0.25，S=100，E=100。节点数量510 15 20 30 35 40 45 50-25-20-15-10-5（α，β）=（0,0）（α，β）=（0.5,0.5）（α，β）=（-0.5，-0.5）（a）M=125节点数量510 20 25 30 35 40 45 50-20-15-10-5（α，β）=（0,0）（α，β）=（0.5,0.5）（α，β）=（-0.5，-0.5）（b）M=250图1：最大值- 错误，例如（1），L=80。示例2。在本例中，取消认购离散双屏障期权的参数被视为r=0.05、σ=0.25、T=0.5、E=100、U=110和L=95。