马尔可夫区域切换模型中区域数的检验

在（61）中的模型2中，截距和方差参数都会在区域间切换。我们比较了我们的引导LRT的大小和功率特性，以及Cho和White（2007）的QLR测试的大小和功率特性，其中Θu=[-2，2]和Carrasco等人（2014）用ρ进行的supTS检验∈ [-0.9.0.9]. 临界值通过B=199个引导样本的引导计算得出。注意，这种比较有利于LRT而不是supTS测试，因为supTS测试旨在检测包括马尔可夫链在内的一般参数变化。在模型2中，我们将σ的下界设置为σ=0.01^σ，其中^σ是一个状态模型的σ估计值。我们还发现，在对数似然函数中加入惩罚项可以改善LRT的有限样本特性。惩罚项防止σj取极值，并采用以下形式-anPMj=1{σ/σj+对数（σj/σ）- 1}. 我们设置an=20n-1/2并使用无惩罚项的对数似然函数计算检验统计量。由于罚项及其导数是ΘM紧性的op（1），添加该罚项不会影响MLE的一致性或LRT的渐近分布。当数据由H:M=1和（β，u，σ）=（0.5，0，1）生成时，我们首先检查H:M=1和HA:M=2的拒绝频率。表1中的第一个面板报告了启动测试在标称10%、5%和1%水平下的拒绝频率，超过3000次重复，n=200和500。总的来说，所有的测试都有很好的尺寸。表2报告了在名义水平为5%的情况下，三种检验M=1的无效假设的效力。我们通过设置u=0.2、0.6和1.0以及u=-u，而（p，p）=（0.25，0.25），（0.50，0.50），（0.70，0.70）和（0.90，0.90）。

我们为模型1设置σ=1，为模型2设置（σ，σ）=（1.1，0.9）。对于模型1，除（p，p）=（0.9，0.9）的supTS测试外，所有测试的功率均随u的增加而增加。随着（p，p）远离（0.5，0.5），轻轨的功率增加，而QLRT的功率降低。LRT的性能优于supTS和QLR测试，除了（p，p）=（0.25，0.25）的情况下，supTS测试的性能非常好，以及（p，p）=（0.5，0.5）的情况下，QLRT的性能优于LRT，因为在这种情况下，真正的模型是一种有限的混合物。表2的最后三列报告了LRT和SUPTS测试检测具有切换方差的替代模型（即M=2的模型2）的能力。我们没有检查QLRT的功率，因为该测试假设非切换方差。在大多数情况下，TRT比supTS测试具有更强的能力。表1中的第二个面板报告了在零假设下生成数据时，LRT测试H：M=2against HA：M=3的拒收频率，显示其良好的尺寸特性，而QLRT和supTS测试均不适用于H：M=2 against HA：M=3的测试。表3报告了我们的LRT在名义水平为5%时检验M=2的无效假设的能力。在M=3的替代假设下，我们生成了n=500的3000个数据集，将（u，u，u）和（p，p，p）的不同值与pij=（1- j 6=i时，pii）/2，其中weset（β，σ）=（0.5，1.0）用于模型1，weset（β，σ，σ）=（0.5，0.9，1.2）用于模型2。与H：M=1的情况类似，当备选方案离Hor更远时，当潜在状态变得更持久时，LRT测试H：M=2与HA：M=3的能力增加。10.2经验示例使用美国。

从1960年第一季度到2014年第四季度的人均GDP季度增长率数据，我们估计了M=1、2、3和4的具有共同方差（即（60）中的模型1）和具有切换方差（即（61）中的模型2）的制度切换模型，并依次检验了M=Magainst的无效假设，以及M=1、2、3和4的替代假设M=M+1。我们还报告了Akaikeinformation准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC），以供参考，尽管据我们所知，文献中尚未确定AIC和BIC在选择制度数量方面的一致性。表5报告了AIC、BIC和LRT选定的制度数量。对于具有共同方差的模型（60），我们的LRT选择M=4，而AIC和BIC分别选择M=3和M=1。对于具有切换方差的模型（61），LRT和AIC都选择M=3，而BIC选择M=2。表4和图1中的A组报告了M=2、3和4的共同方差模型的参数估计值和处于每个状态的后验概率。在M的不同规格中，u、u、…、，uMare在公共方差模型中被很好地分开，表明每个制度代表一个繁荣或衰退期，具有不同的程度。在图1中，当制度数量指定为M=2时，“衰退”制度（制度1）相对于“繁荣”制度（制度2）的后验概率在2008年雷曼兄弟破产期间急剧上升，然后在2009年后下降。当制度数量规定为M=3时，除了分别对应于制度1和2的“衰退”和“繁荣”制度外，制度3还捕捉到了增长率从低到高快速变化的制度；对于图1中M=3的模型，在2009年末，当美国。

经济开始从雷曼破产中复苏。对于这两种模型，我们通过设置 = 0.05，以防止出现无限可能性问题。当制度数量被指定为M=4时，制度1现在捕捉到增长率从高到低的快速变化，当美国经济增长率在雷曼兄弟破产期间迅速下降时，制度1的后验概率变高。LRT选择了包含四种制度的模型，这些制度反映了雷曼兄弟破产期间美国人均GDP增长率的快速变化。表4和图2的B组分别报告了具有切换方差的模型的参数估计和处于每个状态的后验概率。当制度数量规定为M=2时，两种制度之间的方差参数估计值非常不同，而截距估计值相似，表明制度1是“低波动”制度，而制度2是“高波动”制度。当制度数量为M=3时，不同的制度在增长率和波动率方面反映了美国经济的不同状态。制度1的特点是具有高波动性的截距负值，捕捉到一个衰退期。制度2的特点是利率为正值，波动率低，经济繁荣/稳定。制度3的特点是高截距值和高方差，既反映了增长率的快速恢复，也反映了2009年雷曼兄弟破产后的高波动性。

当模型具有切换方差时，LRT选择具有三种模式的模型。11附录从今以后，为了符号简洁，我们在条件变量和条件密度上抑制Wbafrom，这样做不会引起混淆。11.1命题和推论的证明命题1的证明。这个证明与DMR中引理2的证明基本相同。因此，省略细节。与DMR的唯一区别是（i）我们没有强加DMR的假设（A2），但这并不影响证明，因为假设（A2）没有用于DMR中引理2的证明，以及（ii）我们有Wn，但引理11（a）扩展了DMR的推论1以适应Wk。因此，DMR证明的论点得以通过。命题2的证明。定义hθkx：=plθkx-1、使用2 log（1+x）=2x的泰勒展开式- x（1+o（1））对于小x，我们有，在x中均匀∈ X和θ∈ 北卡罗来纳州/√n、 `n（ψ，π，x）- `n（ψ）*, π、 x）=2nXk=1log（1+hθkx）=nPn（2hθkx- [1+op（1）]hθkx）。（62）我们可以用标准LRT给出的切换方差M=3，用从两个自由度的卡方分布获得的临界值，检验模型中σ=σ=σ的无效假设。轻轨S=2×(-297.01+307.39）=20.76，σ=σ=σ的无效假设在1%显著水平上被拒绝，这表明具有切换方差的模型比具有共同方差的模型更合适。如果我们证明supx∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√nnPn（hθkx）- ntθIπtθ/4= op（1）和（63）supx∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√n | nPn（hθkx）-√ntθνn（sπk）/2+ntθIπtθ/8 |=op（1），（64），因为（62）的右侧等于√ntθνn（sπk）- tθIπtθ/2+op（1）一致inx∈ X和θ∈ 北卡罗来纳州/√n、 我们第一次展示（63）。设mθk：=tθsπk+rθk，因此lθkx- 1=mθk+uθkx。注意Max1≤k≤nsupθ∈北卡罗来纳州/√n | mθk |=最大值1≤k≤nsupθ∈北卡罗来纳州/√n | tθsπk+rθk |=来自假设3（a）和（c）以及引理10的op（1），（65）。

将4Pn（hθkx）写入4Pn（hθkx）=Pn4（lθkx- 1） （plθkx+1）！=Pn（lθkx- 1)- Pn（lθkx- 1） （plθkx+3）（plθkx+1）！。（66）根据假设3（a）（b）（c）（e）（f）和（e | XY |）≤ E | X | E | Y |均匀地∈Nε，Pn（lθkx-1） =tθPn（sπksπk）tθ+2tθPn[sπk（rθk+uθkx）]+Pn（rθk+uθkx）=tθPn（sπksπk）tθ+ζnx，（67），其中ζnx满足∈X |ζθnx |=Op（| tθ| |ψ）-ψ*|) + Op（n-1 | tθ| |ψ-ψ*|) + Op（n-1|ψ -ψ*|).那么，（63）成立，因为supπ∈Θπ| Pn（sπksπk）-Iπ|=op（1），且（66）右侧的第二项由（65）Pn（mθk）=tθIπtθ+op（| tθ|）和假设3（e），C supx限定∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√nPn公司|mθk |+3mθk | uθkx |+3 mθk | uθkx+ C supx∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√nPn（| uθkx |）≤ op（1）supx∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√nPn公司mθk+uθkx+ C supx∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√nPn（| uθkx |）=op（n-1).我们继续展示（64）。考虑hθkx的下列展开式：hθkx=（lθkx- 1)/2 - hθkx/2=（tθsπk+rθk+uθkx）/2- hθkx/2。（68）然后，（64）遵循（63）、（68）和假设3（d）和（e），所述结果如下。命题3的证明。对于第（a）部分，它遵循日志（1+x）≤ x和hθkx=（lθkx- 1)/2 -hθkx/2（见（68））`n（ψ，π，x）- `n（ψ）*, π、 x）=2nXk=1log（1+hθkx）≤ 2nPn（hθkx）=√nνn（lθkx- 1) - nPn（hθkx）。（69）观察hθkx=（lθkx-1） /（plθkx+1）≥ I{lθkx≤ κ} （lθkx-1)/(√κ+1）对于任何κ>0。因此，Pn（hθkx）≥ (√κ + 1)-2PnI{lθkx≤ κ} （lθkx- 1). （70）将（67）代入（70）givesPn（hθkx）的右侧≥ (√κ + 1)-2tθPn（sπksπk）- Pn（I{lθkx>κ}sπksπk）tθ+ζθnx。（71）根据H¨older不等式，我们得到Pn（I{lθkx>κ}| sπk |）≤ [Pn（I{lθkx>κ}）]δ/（2+δ）[Pn（| sπk | 2+δ）]2/（2+δ）。右侧不大于κ-δ/（2+δ）Op（1）在x上均匀分布∈ X和θ∈ Nε，因为（i）它来自于κi{lθkx>κ}≤ lθkxthat Pn（I{lθkx>κ}）≤ κ-1Pn（lθkx）和SUPX∈Xsupθ∈Nε| Pn（lθkx）-1 |=假设3（d）–（g）中的op（1）和（ii）Pn（supπ∈Θπ| sπk | 2+δ）=来自假设3（a）的Op（1）。

因此，P（supx∈Xsupθ∈NεPn（I{lθkx>κ}| sπk |）≥λmin/4）→ 0为κ→ ∞, 因此我们可以把（71）写成Pn（hθkx）≥ τ（1+op（1））tθIπtθ+op（| tθ|ψ- ψ*|) + Op（n-1） 对于τ：=(√κ + 1)-2/2>0，取κ足够大。因为√nνn（lθkx-1) =√ntθνn（sπk）+Op（1）根据假设3（d）和（e），可以从（69）得出，在x∈ X和θ∈ Nε，-η ≤ `n（ψ，π，x）-`n（ψ）*, π、 x）≤√ntθνn（sπk）-τ（1+op（1））ntθIπtθ+op（n | tθ|ψ）-ψ*|)+Op（1）。（72）设Tn：=I1/2π√ntθ。根据（72），假设3（b）和（g），以及事实ψ- ψ*→ 如果tθ，则为0→ 0，我们得到如下结果：对于任何δ>0，存在ε>0和M，n<∞ 这样的话Pinfx公司∈辛夫θ∈Nε|Tn | M-（τ/2）| Tn |+M≥ 0≥ 1.- δ、 对于所有n>n.（73），重新排列P（·）中的术语得到supx∈Xsupθ∈Nε（| Tn）|-（M/τ））≤ 2M/τ+（M/τ）。取其平方根得到P（supx∈Xsupθ∈Nε| Tn |≤ M）≥ 1.-δ表示常数M，第（a）部分如下。（b）部分来自（a）部分和命题2。推论1的证明。因为对数是单调的，所以我们有infx∈X`n（ψ，π，X）≤`n（ψ，π，ξ）≤ supx公司∈X`n（ψ，π，X）。第（a）部分接着是命题2。对于第（b）部分，请注意我们有θ∈ ε（ξ，η）仅当θ∈ 对于某些x，ε（x，η）。因此，第（b）部分来自命题3。命题4的证明。首先，观察当右侧替换为Kj（k+m）ρb（k+m）时，零件（a）和（b）保持不变-1） /24cand Kj（k+m）ρb（k+m-1） /1340通过使用引理2和引理4，并注意到q=6q，q=5q，q=4q，q=q。例如，当j=2时，我们可以绑定supx∈Xsupθ∈N*|`k、 m，x（θ）- j2`k，m（θ）|自`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ）+1,12，k，m，x（θ），supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，m，x（θ）-I（j）j，k，m（θ）|≤ KI（j）（k+m）ρb（k+m）-1） /24c，KI（j）∈ LrI（j）（Pθ*), r（2）=q=5q，r（1,1）=q/2=3q。第二，让ρ*= ρ1/1340I{ρ>0}和重新定义Kjgivesparts（a）和（b）。部分（c）和（d）来自引理2和4。命题5的证明。首先，我们证明（a）部分。

（b）部分的证明与（a）部分的证明基本相同，因此省略了。请注意ljk，m，x（θ）- ljk，m（θ）=ψjk，m，x（θ）pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）-pθ（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m） 哦+pθ（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m）ψjk，m，x（θ）- ψjk，m（θ）,式中，ψjk，m，x（θ）：=jpθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x），ψjk，m（θ）：=jpθ（Yk | Yk-1.-m） pθ（Yk | Yk-1.-m） 。根据引理5和H¨older不等式，如果j=1，…，第（a）部分成立，6，存在随机变量（{Aj，k}nk=1，Bj）∈ Lq（Pθ*) 和ρ*∈ （0，1）这样，对于所有1≤ k≤ n和m≥ 0，（A）supm≥0supx∈Xsupθ∈N*|ψjk，m，x（θ）|≤ Aj，k，（B）supx∈Xsupθ∈N*|ψjk，m，x（θ）-ψjk，m（θ）|≤ Bj（k+m）ρk+m-1.*.（74）我们显示（A）和（B）。从（91）我们有，从`k、 m，x，ψk，m，x=`k、 m，x，ψk，m，x=`k、 m，x+(`k、 m，x），ψk，m，x=`k、 m，x+3`k、 m，x`k、 m，x+(`k、 m，x），ψk，m，x=`k、 m，x+4`k、 m，x`k、 m，x+3(`k、 m，x）+6`k、 m，x(`k、 m，x）+(`k、 m，x），ψk，m，x=`k、 m，x+5`k、 m，x`k、 m，x+10`k、 m，x`k、 m，x+10`k、 m，x(`k、 m，x）+15(`k、 m，x）`k、 m，x+10`k、 m，x(`k、 m，x）+(`k、 m，x），ψk，m，x=`k、 m，x+6`k、 m，x`k、 m，x+15`k、 m，x`k、 m，x+15`k、 m，x(`k、 m，x）+10(`k、 m，x）+60`k、 m，x`k、 m，x`k、 m，x+20`k、 m，x(`k、 m，x）+15(`k、 m，x）+45(`k、 m，x）(`k、 m，x）+15`k、 m，x(`k、 m，x）+(`k、 m，x）和ψjk，误写类似于j\'k，mreplacing因此，（74）项中的（A）项来自命题4（c）和H¨older不等式。（B） of（74）来自命题4（a）（c），关系式ab- cd=a（b- c）- c（a- d） ，an- bn=（a- b） Pn编号-1i=0（an-1.-ibi）和H¨older不等式。对于第（c）部分ljk，m，x（θ）来自于写作ljk，m，x（θ）=[pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）/pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）]ψjk，m，x（θ），并使用（74）和引理5。jlk，m（θ）以类似的参数为界。第（d）部分来自第（a）–（c）部分，Lq的完整性（Pθ*), Markov\'sinequality和Borel-Cantelli引理。

第（e）部分由第（a）部分和第（b）部分组合而成，并让m→ ∞ 第（b）部分。命题6的证明。^θ的一致性来自Newey和McFadden（1994）的定理2.1，因为（i）θ*唯一最大化Eθ*假设5（c）中的log f（Y | Y，W；γ，θ）和（ii）supθ∈Θ| n-1\'0，n（θ）- Eθ*对数f（Y | Y，W；γ，θ）| p→ 0和Eθ*log f（Y | Y，W；γ，θ）是连续的，因为（Yk，Wk）从假设1（e）andEθ来看是严格平稳和遍历的*supθ∈Θ| log f（Y | Y，W；γ，θ）|<∞ 根据假设2（c）。我们接着证明了^θ的一致性。定义，类似于DMR第2265–6页，k、 m，x（θ）：=对数pθ（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m、 X个-m=x），k、 m（θ）：=对数pθ（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m） ，则，k∞（θ）：=limm→∞k、 m（θ），and`（θ）：=Eθ*[0,∞(θ)]. 观察到引理3和4以及DMR的命题2对我们的{k、 m，x（θ），k、 m（θ），k∞（θ），`n（θ，x），`（θ）}在我们的假设下，因为（i）我们的假设1（e）可以取代他们在引理3和4以及命题2的顶部的假设（A2），并且（ii）我们的引理11（a）扩展了DMR的推论1以适应Wk。因此，（i）`（θ）最大化当且仅当θ∈ Γ*根据假设5（d），因为Eθ*[对数pθ（Y | Y-m、 W-m） ]在θasm中一致收敛到`（θ）→ ∞ 根据DMR引理3和支配收敛定理，（ii）`（θ）是DMR引理4的连续引理，（iii）supξsupθ∈Θ| n-1\'n（θ，ξ）-`（θ）| p→ 0与DMR和\'n（θ，ξ）的命题2保持一致∈ [最小n（θ，x），最大n（θ，x）]。因此，infθ∈Γ*|^θ-θ| p→ 0源自Newey和McFadden（1994）的定理2.1，并对`（θ）的最大值是一个集合而不是一个单子这一事实进行了调整。命题7的证明。我们通过将推论1应用于lθkx来证明所述结果- 1（4）中定义了lθkxd。因为lθkx的一阶和二阶导数- 1扮演分数的角色，weexpand lθkx- 1关于ψ直到三阶。设q=dim（ψ）。

对于k×1矢量a，定义ap： =a一··· a（p倍）和一p： =一一···  a（p次）。回想一下，f（x）与x的（p+1）阶泰勒展开式∈ RQ轮x=x*由f（x）=f（x）给出*) +pXj=1j！（十）j） f（x*)（十）- x个*)j+（p+1）！（十）（p+1））f（x）（x- x个*)（p+1），其中x位于x和x之间*, x可能会因元素的不同而不同x个（p+1）f（x）。选择 > 0非常小，因此N是N的子集*在假设4中。对于m≥ 0和j=1，2。，设∧jk，m，x-m（ψ，π）：=ψjpψπ（Yk | Yk-1.-m、 x个-m） j！pψ*π（Yk | Yk-1.-m、 x个-m） ，λjk，m（ψ，π）：=ψjpψπ（Yk | Yk-1.-m） j！pψ*π（Yk | Yk-1.-m） ，和ψ := ψ - ψ*. 使用此符号，展开lθkx- 1围绕ψ三次*当fixingπ给出时，使用ψ∈ [ψ, ψ*],lθkx- 1=∧k，0，x（ψ*, π)ψ+λk，0，x（ψ*, π)(ψ)2+λk，0，x（ψ，π）(ψ)3=∧k，0（ψ*, π)ψ+λk，0（ψ*, π)(ψ)2+λk，0（ψ，π）(ψ)3+ukx（ψ，π），（75），其中ψ可以在∧k，0，x（ψ，π）和ukx（ψ，π）的元素之间变化：=Pj=1[λjk，0，x（ψ*, π)-∧jk，0（ψ*, π)](ψ)j+[λk，0，x（ψ，π）- ∧k，0（ψ，π）](ψ)3、注意到λpψ*π（Yk | Yk-1） =0和ληpψ*π（Yk | Yk-1） =0从（13），我们可以重写（75）aslkθx- 1=t（ψ，π）s%k+rk，0（ψ，π）+ukx（ψ，π），（76），其中s%k定义于（17），rk，0（ψ，π）：=e∧k，0（π）(η)2+λk，0（ψ，π）(ψ)其中e∧k，0（π）表示∧k，0（ψ）的部分*, π） 对应于(η)2、对于m≥ 0，定义vk，m（θ）：=（λk，m（ψ，π），∧k，m（ψ，π），∧k，m（ψ，π）），定义vk，∞（θ）：=limm→∞vk，m（θ）。为了将推论1应用于lθkx- 1、我们首先展示∈NPn【vk，0（θ）vk，0（θ）】- Eθ*[vk，∞（θ）vk，∞(θ)]= op（1），（77）νn（vk，0（θ））=> W（θ），（78），其中W（θ）是具有Eθ的平均零连续高斯过程*[W（θ）W（θ）]=Eθ*[vk，∞（θ）vk，∞(θ)].