马尔可夫区域切换模型中区域数的检验

为了表达jpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） 就jf（y | x；γ，θ）通过Louis信息原理（附录中的引理1），我们首先推导出完整数据条件密度pθ（yk，xk | yk）的导数-1，xk-1） =gθ2，y（yk | yk-1，xk）qθ2，x（xk-1，xk）=Pj=1I{xk=j}f（yk | yk-1.γ、 θj）qθ2，x（xk-1，xk）。考虑以下重新参数化。设λν！：=θ- θαθ+ (1 - α)θ!, 所以θθ=ν + (1 - α)λν - αλ!. （8） 设η：=（γ，ν）和ψα：=（η，λ）∈ Θη× Θλ. 在一个区域的零假设下，ψα的真值由ψ给出*α:= (γ*, θ*, 0). 从今以后，我们从ψα中去掉下标α。使用ψ的定义，让θ：=（ψ，π）∈ Θψ×Θπ. 通过使用重参数化（8）并注意到qk=I{xk=1}，我们得到了pψπ（yk，xk | yk-1，xk-1） =gψ（yk | yk-1，xk）qπ（xk-1，xk）和gψ（yk | yk-1，xk）=f（yk | yk-1.γ、 ν+（qk- α)λ). （9） 从今以后，让f*kf*k、 g级*k、 以及g级*kdenote f（Yk | Yk-1.γ*, θ*), f（Yk | Yk-1.γ*, θ*),gψ*（Yk | Yk-1，Xk），以及gψ*（Yk | Yk-1，Xk），类似地，对于log f*k日志f*k、 日志g*k、 以及日志g*k、 扩展gψ（Yk | Yk-1，Xk）关于ψ=（γ，ν，λ）两次，并在ψ处求值*给予ηg*k=（γ，θ）f*kλg*k=（qk- α)θf*kληg*k=（qk- α)θ（γ，θ）f*kλλg*k=（qk- α)θθf*k、 （10）召回率%：=corrθ*（qk，qk+1）。观察QKSatiesθ*（qk- α)= α(1 - α） ，Eθ*（qk- α)= α(1 - α)(1 - 2α），Eθ*（qk- α)= α(1 - α)(3α- 3α+1），corrθ*（qk，qk+`）=%|`，（11）其中前三个结果来自伯努利随机变量的性质，最后一个结果来自汉密尔顿（1994，第684页）。

然后，从（7）和（11）得出*[qk- α| Yn-∞] = 0，Eθ*[（qt- α） （qt- α） | Yn-∞] = α(1 - α） %t-t、 t型≥ t、 （12）引理1，log pψπ（yk，xk | yk-1，xk-1） =对数gψ（yk | yk-1，xk）+对数qπ（xk-1，xk），以及（6）中pψπ（Yk | Y）的定义，我们得到ψpψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= ψlog pψ*π（Yk | Yk-1） =kXt=1Eθ*h类ψlog g*t型Yki-k-1Xt=1Eθ*h类ψlog g*t型Yk公司-1i。应用（10）、（12）和g*k=f*kto右侧给出ηpψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= （γ，θ）对数f*kλpψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= 0. （13） 类似地，它遵循引理1、（10）、（12）、（13）和g*k=f*K那ληpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1) = 0, (14)λλpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1)= λλlog pψ*π（Yk | Yk-1） =kXt=1Eθ*h类λλlog g*t型Yki-k-1Xt=1Eθ*h类λλlog g*t型Yk公司-1i+kXt=1kXt=1Eθ*λg*甘油三酯*t型λg*甘油三酯*t型Yk公司-k-1Xt=1k-1Xt=1Eθ*λg*甘油三酯*t型λg*甘油三酯*t型Yk公司-1.= α(1 - α)\"θθf*kf公司*k+k-1Xt=1%k-t型θf*tf公司*t型θf*kf公司*k级+θf*kf公司*kθf*tf公司*t型#. （15） 因为（13）中关于λ的一阶导数等于零，所以ηpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） 以及λλpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） 构造了广义分数sπkin推论1。该分数由平稳鞅差序列近似，其中近似误差满足假设3。我们收集了一些符号。回忆ψ=（η，λ）和η=（γ，ν）。对于q×1向量λ和aq×q矩阵s，定义qλ×1向量v（λ）和v（s）asv（λ）：=（λ，…，λq，λ，…，λq，λ，…，λq-1λq），V（s）：=（s/2，…，sqq/2，s，…，s1q，s，…，s2q，…，sq，q-1).（16） 注意到α（1- α） α>0∈ α，定义，tλ（λ，π）：=α（1- α） v（λ），t（ψ，π）：=η- η*tλ（λ，π）！，s%k：=sηksλ%k！，其中sηk：=ηpψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)=γf*k/f*kθf*k/f*k（17） 和sλ%k：=V（sλλ%k）和λλ%k：=λλpψ*π（Yk | Yk-1)α(1 - α） pψ*π（Yk | Yk-1)=θθf*kf公司*k+k-1Xt=1%k-t型θf*tf公司*t型θf*kf公司*k级+θf*kf公司*kθf*tf公司*t型.

（18） 这里，s%kin（17）依赖于%，而不依赖于α，并对应于sπkin推论1。以下命题表明，对数似然函数近似为√nt（ψ，π）。设Nε：={θ∈ Θ：| t（ψ，π）|<ε}。设Anε（ξ）：={θ∈ Nε：`N（ψ，π，ξ）-`n（ψ）*, π, ξ) ≥0}和Anεc（ξ）：=Anε（ξ）∪北卡罗来纳州/√n、 这里我们从ξ中去掉下标2。我们在第6.1–6.3节中使用εc（ξ）的定义。如第6.2节和第6.3节所示，假设6不适用于正态分布的状态切换模型。假设6。0<inf%∈Θ%λmin（I%）≤ sup%∈Θ%λmax（I%）<∞ 对于I%=limk→∞Eθ*（s%ks%k），其中s%kis在（17）中给出。提案7。假设假设假设1、2、4、5和6成立。然后，在m=1的零假设下，（a）supξsupθ∈Anε（ξ）| t（ψ，π）|=Opε（n-1/2); 和（b）对于任何c>0，supξ∈Ξsupθ∈Anεc（ξ）`n（ψ，π，ξ）- `n（ψ）*, π, ξ) -√nt（ψ，π）νn（s%k）+nt（ψ，π）I%t（ψ，π）/2= opε（1）。（19） 我们继续推导LRT的渐近分布。对于（17）中定义的s%kde，定义η：=Eθ*（sηksηk），Iλ%%：=limk→∞Eθ*（sλ%ksλ%k），Iλη%：=limk→∞Eθ*（sλ%ksηk），Iηλ%：=Iλη%，Iλ。η%%：=Iλ%%- Iλη%I-1ηIηλ%，Iλ。η%：=Iλ。η%%，Zλ%：=（Iλ.η%）-1Gλ。η%，（20），其中Gλ。η%是一个qλ-向量平均零高斯过程，指数为%，cov（Gλ.η%，Gλ.η%）=Iλ。η%%. 确定以下允许值的集合：√nα（1- α） n时的v（λ）→ ∞ 按v（Rq）：={x∈Rqλ：对于某些λ，x=v（λ）∈ Rq}。定义▄tλ%byrλ%（▄tλ%）=输入λ∈v（Rq）rλ%（tλ），rλ%（tλ）：=（tλ- Zλ%）Iλ。η%（tλ）- Zλ%）。（21）以下命题建立了LRT的渐近零分布。提案8。假设假设假设1、2、4、5和6成立。然后，在M=1的零假设下，LRnd→ sup%∈Θ%~tλ%Iλ。η%~tλ%.在命题8中，LRT及其渐近分布取决于 因为Θ%=[-1 + 2, 1.- 2.].

在这种情况下，可以开发一种EM测试版本（Chen和Li，2009；Chen等人，2012；Kasahara和Shimotsu，2015），该版本不会对pand p的参数空间施加明确的限制；然而，我们将这种扩展留给未来研究。备注1。当应用于马尔可夫状态切换模型时，Carrasco等人（2014）的测试使用了预测的残差θθfk/fk+2Pk-1t=1%k-t型(θ英尺/英尺）(θfk/fk）开θfk/fk，其中两者均在一个区域MLE下进行评估。因此，在非正常情况下，LRT和testsof Carrasco et al.（2014）基于相同的得分函数。6.2异方差正态分布提供了Yk∈ j-th区域中的R遵循区域特定截距ujand方差σj的正态分布。我们将θjintoθj=（ζj，σj）=（uj，βj，σj），并写出j-th区域的密度asf（yk | yk-1.γ、 θj）=f（yk | yk-1.γ、 ζj，σj）=σjφyk公司- uj- $（yk）-1.γ、 βj）σj, （22）对于某些函数$。在许多应用中，$是γ和βj的线性函数，例如，$（yk-1、工作时间；γ、 βj）=（yk-1） βj+wkγ。考虑inKasahara和Shimotsu（2015）引入的以下重新参数化（Kasahara和Shimotsu中的θ对应此处的ζ）：ζζσσ=νζ+ (1 - α)λζνζ- αλζνσ+ (1 - α） （2λσ+Cλu）νσ- α（2λσ+Cλu）, （23）式中，νζ=（νu，νβ），λζ=（λu，λβ），C：=-（1/3）（1+α），C：=（1/3）（2- α） ，因此C=C- 1、将重新参数化的参数（α除外）收集到一个向量ψα中。如第6.1节所述，我们从ψα中去掉了下标α。让重新参数化的密度begψ（yk | yk-1，xk）=fyk | yk-1.γ、 νζ+（qk- α） λζ，νσ+（qk- α） （2λσ+（C- qk）λu）. （24）Letψ：=（η，λ）∈ ψ=η×λ，其中η：=（γ，νζ，νσ）和λ：=（λζ，λσ）。因为当σj时，正态混合模型的似然函数是无界的→ 0（Hartigan，1985），我们施加σj≥ σ表示小σ> 0英寸ψ。

我们继续推导gψ（Yk | Yk）的导数-1，Xk）在ψ处计算*.ψg*kληg*k、 以及λλg*kare与（10）中给出的相同，除了λug*k关于λjσ的值乘以2j。gψ（Yk | Yk）的高阶导数-根据Kasahara和Shimotsu（2015）推导出λu的1，Xk）。引理6和正态密度f（u，σ）满足uf（u，σ）=2σf（u，σ），uf（u，σ）=2uσf（u，σ），和uf（u，σ）=2uσf（u，σ）=4σσf（u，σ），（25）我们有λiug*k=diku如果*k、 i=1，4，（26）其中d0k：=1，d1k：=qk- α、 d2k：=（qk- α） （C）- α） ，d3k：=2（qk- α)(1 - α - qk），d4k:=-2（qk- α） +3（qk- α)(α - C） 。它来自Eθ*[qk | Yn-∞] = α、 （11），并进行了初步计算*[dik | Yn-∞] = 0，Eθ*[λiug*k | Yk-∞] = 0，i=1，2，3，Eθ*[d4k | Yn-∞] = α(1 - α） b（α），Eθ*[λug*k | Yk-∞] = α(1 - α） b（α）uf*k=α（1- α） b（α）4σσf*k=b（α）Eθ*[λσg*k | Yk-∞],（27）带b（α）：=-(2/3)(α- α + 1) < 0. 因此，Eθ*[λσg*k | Yk-∞] 和Eθ*[λug*k | Yk-∞] 是线性相关的。我们继续推导jpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） 就jf公司*k、 重复导致（13）–（15）的计算并使用（27）得出以下结果。第一，（13）和（14）仍然有效；第二，要素λλpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） 除（1，1）外，在调整后，公式由（15）给出，关于λσ的导数必须乘以2（例如，eθ）*[λσg*k | Yn-∞] = 2.σf*kand Eθ*[λσλug*k | Yn-∞] = 2.σuf*k） ；第三λupψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= α(1 - α） k级-1Xt=1%k-t型uf*tf公司*t型uf*kf公司*k. （28）当%6=0时，λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） 是一个非退化随机变量，如非正态情况。

然而，当%=0时，λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） 变得等同于0，实际上，关于λu的第一个非零导数是四阶导数。由于这种简并性，我们通过展开\'n（ψ，π，ξ），导出了LRT的渐近分布-`n（ψ）*, π、 ξ）四次。然而，简单地近似n（ψ，π，ξ）是不正确的-`n（ψ）*, π、 ξ）当%6=0时，通过λu的二次函数（和其他项），当%=0时，通过λu的二次函数。这将导致%=0时的不连续性，并且无法提供有效的统一近似。我们通过将\'n（ψ，π，ξ）展开四次，而将\'n（ψ，π，ξ）表示为%λu，λu和其他项，建立了一致近似。对于m≥ 0，定义ζk，m（%）：=Pk-1吨=-m+1%k-t型-12uf*t型uf*k/f*tf公司*k、 那么，我们可以将（28）写成λupψ*π（Yk | Yk-1)α(1 - α） pψ*π（Yk | Yk-1） =k-1Xt=1%k-t型uf*tf公司*t型uf*kf公司*k= %ζk，0（%）。（29）注意，ζk，m（%）满足Eθ*[ζk，m（%）| Yk-1.-m] =0，即使在%=0时也是非退化的。在（16）中，将v（λβ）定义为v（λ），但将λ替换为λβ。收集相关参数ast（ψ，π）：=η- η*tλ（λ，π）！，（30）式中，tλ（λ，π）：=α（1）- α)%λ|||||||||||||||∑+b（α）λu/12λβλ|||||||||||||||, （31）b（α）=-(2/3)(α- α + 1) < 0. 回忆θj=（ζj，σj）=（uj，βj，σj）。与（18）类似，广义得分的要素定义为* sλuβ%ksλuσ%ksλβu%ksλβββ%ksλβσ%ksλσu%ksλβσ%ksλσσ%ksλσ%k=θθf*kf公司*k+k-1Xt=1%k-t型θf*tf公司*t型θf*kf公司*k级+θf*kf公司*kθf*tf公司*t型. （32）确定广义得分ass%k：=sηksλ%k！，其中sηk：=γf*k/f*kθf*k/f*k和sλ%k：=ζk，0（%）/22sλ|||||||||||||||||||||||||||||||||. （33）以下命题建立了对数似然比的统一近似值。假设7。（a） 0<inf%∈Θ%λmin（I%）≤ sup%∈Θ%λmax（I%）<∞ 对于I%=limk→∞Eθ*（s%ks%k），其中s%kis在（33）中给出。（b） σ*, σ*> σ.提案9。

假设假设1、2、4、5和7成立，第j个区域的密度由（22）给出。然后，在M=1的零假设下，（a）supθ∈Anε（ξ）| t（ψ，π）|=Opε（n-1/2);和（b）对于任何c>0，supξ∈Ξsupθ∈Anεc（ξ）`n（ψ，π，ξ）- `n（ψ）*, π, ξ) -√nt（ψ，π）νn（s%k）+nt（ψ，π）I%t（ψ，π）/2= opε（1）。（34）LRT的渐近零分布以2tλGλ的上确界为特征。η%-tλIλ。η%tλ，其中Gλ。η%和Iλ。η%的定义类似于（20）中的定义，但在（33）中定义了s%kde，取tλ和%∈ Θ%在可能值集的限制所暗示的约束下√ntλ（λ，π）为n→ ∞. 该约束由∧λ和∧λ%的并集给出，其中qβ：=dim（β），qλ：=3+2qβ+qβ（qβ+1）/2，且∧λ：={tλ=（t%u，tuσ，tσ，tβu，tβσ，tv（β））∈ Rqλ：（t%u，tuσ，tσ，tβu）∈ R×R×R-×Rqβ，tβσ=0，tv（β）=0}，λ%：={tλ=（t%u，tuσ，tσ，tβu，tβσ，tv（β））∈ Rqλ：t%u=λu，tuσ=λuλσ，tσ=λσ，tβu=λβλu，tβσ=λβλσ，tv（β）=vβ（λβ），对于某些λ∈ R2+qβ}。（35）注意∧λ%取决于%，而∧λ不取决于%。启发式地，∧∧和∧∧%对应于√当lim infn时，ntλ（λ，π）→∞n1/8 |λu|>0且λu=o（n-分别为1/8）。当lim infn→∞n1/8 |λu|>0，我们有（λσ，λβ）=Op（n-3/8）因为etλ（^λ，π）=Op（n-1/2). 此外，以下可能值的集合√n%λu收敛于R，因为%可以任意小。因此√ntλ（λ，π）的特征是∧∧。定义Zλ%和Iλ。η%如（20）所示，但sπkde如（33）所示。设Zλ0和Iλ。η0表示Zλ%和iλ。η%在%=0时计算。通过λ（~tλ）=inftλ确定▄tλ和▄tλ%∈∧∧rλ（tλ），rλ（tλ）：=（tλ- Zλ0）Iλ。η0（tλ- Zλ0）rλ%（~tλ%）=输入λ∈∧λ%rλ%（tλ），rλ%（tλ）：=（tλ- Zλ%）Iλ。η%（tλ）- Zλ%）。（36）以下命题建立了LRT的渐近零分布。提案10。假设命题9中的假设成立。

然后，在M=1的零假设下，LRnd→ 最大{I{%=0}（~tλ）Iλ。η0tλ，sup%∈Θ%（~tλ%）Iλ。η%~tλ%}。备注2。Qu和Zhuo（2017）推导了LRT在%≥  > 0、备注3。我们可以将分析扩展到Andrewsand Ploberger（1994）和Carrasco等人（2014）研究的指数LR型试验。6.3齐次正态分布提供了Yk∈ 第j个区域中的R遵循正态分布，区域规格为ujbut，方差为σ。我们将γ和θjintoγ=（|γ，σ）和θj=（uj，βj）分开，并写出第j个区域的密度asf（yk | yk-1.γ、 θj）=f（yk | yk-1.γ，θj，σ）=σφyk公司- uj- $（yk）-1.γ，βj）σ, （37）对于某些函数$。考虑以下重新参数化：θθσ=νθ+ (1 - α)λνθ- αλνσ- α(1 - α)λu, （38）式中，νθ=（νu，νβ）和λ=（λu，λβ）。将重新参数化的参数（α除外）收集到一个向量ψα中。从ψα中抑制α，让重新参数化的密度begψ（yk | yk-1，xk）=fyk | yk-1.Иγ，νθ+（qk- α)λ, νσ- α(1 - α)λu. （39）设η=（￠γ，νθ，νσ）；然后，gψ（yk | yk）的一阶和二阶导数-1，xk）关于η和λ的值与（10）中给出的值相同，除了λugψ（yk | yk-1，xk）。我们推导了gψ（yk | yk）的高阶导数-1，xk）相对于λu。从引理6和（25），我们得到ληig*k=d1kθηif*k对于i=0，1，λiug*k=diku如果*k对于i=0，1，4，（40）其中d0k：=1，d1k：=qk- α、 d2k：=（qk- α)- α(1 - α） ，d3k：=（qk- α)- 3（qk- α)α(1 - α） ，和d4k：=（qk- α)- 6（qk- α)α(1 - α) + 3α(1 - α). 它来自Eθ*[qk | Yn-∞] = α、 （11），并进行了初步计算*[λiug*k | Yk]=0，Eθ*[dik | Yk]=0，i=1，2，Eθ*[d3k | Yk]=α（1- α)(1 - 2α），Eθ*[d4k | Yk]=α（1- α)(1 - 6α + 6α).（41）重复导致（13）–（15）的计算，并使用（41）得出以下结果。

第一，（13）和（14）仍然有效；第二，要素λλpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） 由（15）给出，但第（1，1）个元素除外；第三λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） 由（28）给出。此外，附录中的引理8表明，当%=0时，λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1) = α(1 -α)(1 - 2α)uf*k/f*坎德λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1) = α(1 - α)(1 - 6α + 6α)uf*k/f*k、 因为λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） =0当α=1/2和%=0时，我们将n（ψ，π，ξ）展开四次，并用%λu表示，（1- 2α）λu、λu和其他术语，以建立统一近似。收集相关参数ast（ψ，π）：=η- η*tλ（λ，π）！和tλ（λ，π）：=α（1- α)%λu(1 - 2α)λu(1 - 6α+6α）λuλβλuv（λβ）. （42）确定广义得分ass%k：=sηksλ%k！，其中sηk：=γf*k/f*kθf*k/f*k和sλ%k：=ζk，0（%）/2sλuk/3！sλuk/4！sλβu%kV（sλββ%k）, （43）式中，ζk，m（%）定义为（29），sλiuk：=u如果*k/f*k对于i=3、4和sλβu%和sλββ%k，如（32）所定义，但使用密度（37）代替（22）。定义为：qβ：=直径（β）和qλ：=3+qβ+qβ（qβ+1）/2，∧λ：={tλ=（t%u，tu，tu，tβu，tv（β））∈ Rqλ：（t%u，tu，tu，tβu）∈ R×R×R-×Rqβ，tv（β）=0}，λ%：={tλ=（t%u，tu，tu，tβu，tv（β））∈ Rqλ：对于某些λ，t%u=%λu，tu=tu=0，tβu=λβλu，tv（β）=vβ（λβ）∈ R1+qβ}。（44）以下两个命题对应于命题9和命题10，建立了LRT的对数似然比和渐近分布的统一近似。假设8。0<inf%∈Θ%λmin（I%）≤ sup%∈Θ%λmax（I%）<∞ 对于I%=limk→∞Eθ*（s%ks%k），其中s%kis在（43）中给出。提案11。假设假设1、2、4、5和8成立，第j个区域的密度由（37）给出。然后，命题9的陈述（a）和（b）成立。提案12。假设命题11中的假设成立。

然后，在M=1的零假设下，LRnd→ 最大{I{%=0}（~tλ）Iλ。η0tλ，sup%∈Θ%（~tλ%）Iλ。η%~tλ%}，其中▄tλ和▄tλ%的定义如（36）所示，但根据（Zλ%、Iλ.η%、Zλ0、Iλ.η0）的定义，由（43）中定义的s%kde和（44）中定义的∧λ和∧λ%构成。7测试H：M=Magainst HA：M=M+1表示M≥ 2在这一节中，我们推导了LRT的渐近分布，用于测试M区域的零假设与一般M的M+1区域的备选方案≥ 2、我们抑制卵巢Wbaunless可能出现的混淆。Letθ*M=（（θ*M、 x），（θ*M、 y））表示M-状态模型的参数，其中θ*M、 X内容p*ij=qθ*M、 对于i=1，…，x（i，j）>0，曼德j=1，M- 1和θ*M、 y=（（θ*), . . . , (θ*M） ，（γ*)). 我们假设maxiPM-1j=1p*ij<1和θ*< . . . < θ*制造商识别。YngivenYand和xispθ的真M区条件密度*M（Yn | Y，x）=Xxn∈XnMnYk=1pθ*M（Yk，xk | Yk-1，xk-1） ，（45），其中pθ*M（yk，xk | yk-1，xk-1） =gθ*M、 y（yk | yk-1，xk）qθ*M、 x（xk-1，xk）带gθ*M、 y（yk | yk-1，xk）=Pj=1，。。。，MI{xk=j}f（yk | yk-1.γ, θ*j） 。设n（M+1）-区域模型的条件密度为pθM+1（Yn | Y，x）：=Xxn∈XnM+1nYk=1pθM+1（Yk，xk | Yk-1，xk-1） ，（46）其中pθM+1（yk，xk | yk-1，xk-1） 定义与pθ类似*M（yk，xk | yk-1，xk-1） 当θM+1时，x：={pij}i=1，。。。，M+1，j=1，。。。，MandθM+1，y：=（θ，…，θM+1，γ）。我们假设mini，jpij≥  对于某些 ∈ (0, 1/2).将无效假设写为H=∪Mm=1h0m，h0m：θ<··<θm=θm+1<··<θm+1。确定产生Pθ下真实密度（45）的θM+1的值集*MasΥ*:= {θM+1∈ΘM+1，: pθM+1（Yn | Y，x）=pθ*M（Yn | Y，x）Pθ*M-a.s.}。