马尔可夫区域切换模型中区域数的检验

因此，第（b）部分遵循引理15。对于第（c）部分，请注意supm≥0supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，m，x（θ）|≤ A+B，其中A：=supm≥0supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，m，x（θ）- I（j）j，k，0，x（θ）|和B：=supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，0，x（θ）|。A以KI（j）kρb（k）为界-1） /1340从（b）部分开始。B不依赖于m，且在分布上等价于supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，1，k-1，x（θ）|。这是以supx为边界的∈Xsupθ∈N*|I（j）j，1，k-1，x（θ）-I（j）j，1,0，x（θ）|+supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，1,0，x（θ）|。第一项为LrI（j）（Pθ*) 第二项在LrI（j）（Pθ）中*) 从定义I（j）j，k，m，x（θ）。因此，存在smi（j），k∈ LrI（j）（Pθ*) 这样A+B≤ MI（j）、k和（c）部分在（a）部分中保持不变。第（d）部分源自第（a）–（c）部分，因为第（a）–（c）部分暗示{I（j）j，k，m，x（θ）}m≥0和{I（j）j，k，m（θ）}m≥0为均匀LrI（j）（Pθ*)-关于θ的Cauchy序列∈ N*收敛到相同的极限和Lq（Pθ*) 已完成。引理5。在假设1、2和4下，存在随机变量{Kk}nk=1∈ L（1+ε）qθ/ε（Pθ*)和ρ∈ （0，1）这样，对于所有1≤ k≤ n和m≥ m级≥ 0，supθ∈N*pθ（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m）≤ Kk，supx∈Xsupθ∈N*pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）-pθ（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m）≤ Kkρk+m-此外，这些边界在x中保持一致∈ pθ（Yk | Yk）时的X-1.-m） 和pθ*（Yk | Yk-1.-m） 替换为pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）和pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）。引理5的证明。第一个结果来自于pθ（Yk | Yk-1.-m） =P（xk-1，xk）∈Xgθ（Yk | Yk-1，xk）qθx（xk-1，xk）Pθ（xk-1 | Yk-1.-m）∈ [σ-Gθk，σ+Gθk]，并使用假设4（b）。对于第二个结果，观察| pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）- pθ（Yk | Yk-1.-m） |≤P（xk-1，xk）∈Xgθ（Yk | Yk-1，xk）qθx（xk-1，xk）| Pθ（xk-1 | Yk-1.-m、 X个-m=x）- Pθ（xk-1 | Yk-1.-m） |≤ρk+m-1σ+克/σ-, 其中第二个不等式来自引理11（a）。

第二个结果来自于写入左侧aspθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）- pθ（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）+pθ（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m）- pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x），注意pθ（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）≥ σ-Gθk，并使用导出的边界。pθ（Yk | Yk）的结果-1.-m、 X个-m=x）和pθ*（Yk | Yk-1.-m、 X个-m=x）也得到了类似的证明。以下结果最初出现在Kasahara和Shimotsu（2015）的方程式（59）–（60）中。为了便于参考，我们将其表述为引理。引理6。设f（u，σ）表示N（u，σ）的密度。然后λkuf（cλu，cλu）λu=0=c如果k=1，c，则为uf（0，0）uf（0，0）+2cσf（0，0），如果k=2，cuf（0，0）+6cc如果k=3，c，则|Μσf（0，0）uf（0，0）+12ccuf（0，0）σf（0，0）+12c如果k=4，σf（0，0）。引理6的证明。观察复合函数f（λu，h（λu））满足λkuf（λu，h（λu））=(λu+ u） kf（λu，h（u））| u=λu=Pkj=0千焦λk-juujf（λu，h（u））| u=λu。此外，因为uju | u=0=0除了j=2，根据Fa\'a di Bruno的公式ujf（cλu，cu）|λu=u=0如果j=1，3，是2chf（0，h（0）），如果j=2，且为12c如果j=4，则为hf（0，h（0））。因此，所述结果如下。引理7。假设命题9的假设成立。然后，存在‘%、‘%、‘%∈ （0，%）这样，对于所有k≥ 1、（a）λupψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= %%λupψ*\'%α（Yk | Yk-1） pψ*\'%α（Yk | Yk-1） ，（b）λupψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)- b（α）λσpψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= %%λupψ*\'%α（Yk | Yk-1） pψ*\'%α（Yk | Yk-1)- %%λσpψ*\'%α（Yk | Yk-1） pψ*\'%α（Yk | Yk-1).引理7的证明。第（a）部分适用于以下情况：λupψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1） =0，（100），因为（i）λupψ*%α（Yk | Yk-1)-λupψ*0α（Yk | Yk-1) = %λupψ*\'%α（Yk | Yk-1） %代表‘%∈ （0，%）来自中值定理和（ii）pψ*%α（Yk | Yk-1） 不取决于%的值。我们继续展示（100）。请注意λupψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1) = λulog pψ*π（Yk | Y）-λulog pψ*π（Yk-1 | Y）从（91）到λpψ*π（Yk | Yk-1) = 0.

允许我`*t： =λiulog g*twith公司`*t=`*t、 请注意λulog pψ*0α（Yk | Y）=kXt=1Eψ*0αh`*t型Yki+3kXt=1kXt=1Eψ*0αh`*t型`*t型Yki+kXt=1kXt=1kXt=1Eψ*0αh`*t型`*t型`*t型Yki=kXt=1Eψ*0αh`*t+3`*t型`*t+`*t型`*t型`*t型Yki=kXt=1Eψ*0αhλug*吨/克*t型Yki，（101）其中第一个等式来自引理1，第二个等式成立，因为（i）当%=0时，x是串行独立的，（ii）`*t=d1tuf*电话/传真*坦德`*t=d2tuf*电话/传真*t型-（d1tuf*电话/传真*t） ，和（iii）Eψ*0α【d1t | Yk】=Eψ*0α[d2t | Yk]=从（27）得到的0，第三个等式从（91）得到。右侧是从（27）得到的0，因此证明了（a）部分。对于（b）部分，从与（a）部分类似的论点来看，如果λupψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1） =b（α）λσpψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1). （102）注意λupψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1) = λulog pψ*0α（Yk | Y）-λulog pψ*0α（Yk-1 | Y）从（91），λpψ*π（Yk | Yk-1） =0，和λulog pψ*0α（Yk | Yk-1) = 0. 与（101）类似的推导给出λulog pψ*0α（Yk | Y）=kXt=1Eψ*0αhλug*吨/克*t型Yki。（103）（102）源于（103），因为（i）λσpψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1） =Eθ*[λσg*k | Yk]从类似的自变量到（15）和（ii）Eψ*0α[λug*吨/克*t | Yk]=b（α）Eθ*[λσg*k | Yk]来自（27）。因此，第（b）部分得到了验证。引理8。假设命题11的假设成立。然后，存在“%”、“%”∈ （0，%）如此，对于所有k≥ 1、（a）λupψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= α(1 - α)(1 - 2α)uf*kf公司*k+%%λupψ*\'%α（Yk | Yk-1） pψ*\'%α（Yk | Yk-1） ，（b）λupψ*π（Yk | Yk-1） pψ*π（Yk | Yk-1)= α(1 - α)(1 - 6α + 6α)uf*kf公司*k+%%λupψ*\'%α（Yk | Yk-1） pψ*\'%α（Yk | Yk-1).引理8的证明。这个证明类似于引理7（a）的证明。

从一个类似于引理7的证明的论点来看，所陈述的结果成立，如果（A）λupψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1) = α(1 - α)(1 - 2α)uf*k/f*k、 （B）λupψ*0α（Yk | Yk-1） /pψ*0α（Yk | Yk-1) = α(1 - α)(1 - 6α + 6α)uf*k/f*k、 注意，如果我们用（41）代替（27），在命题11的假设下，引理7的证明中的等式（101）和（103）仍然成立。因此，（A）和（B）遵循（40），（41），引理7的证明的论点，陈述的结果如下。引理9。假设命题8的假设成立。设Cη是一组满足√n（ηn- η*) → hη对于某些特定的hη。设Pnηn：=Qnk=1fk（ηn，0）表示λn=0的ηnw下的概率度量。然后，对于每个序列{ηn}∈ Cη，{Pnηn}下的LRT在sup%分布中收敛∈Θ%~tλ%Iλ。η%~tλ%在命题8中给出。引理9的证明。观察θn：=（πn，ηn，λn）=（π，η*+ hη/√n、 0）满足提案17的假设。因此，命题17在νn（s%nk）下成立→在Pnθn下，dN（I%h，I%），h=（hη，0）。此外，单区模型的对数似然函数包含类似的展开式，以及log（dPnηn/dPnη*) = hηνn（sηk）- （1/2）hηIηhη+op（1）在Pnηn下成立。因此，命题8的证明通过将G%n替换为Gh%n来完成=GhηnGhλ%n:=G%n+I%h。考虑到Ghηn=Gηn+Iηhη和Ghλ%n=Gλ%n+Iλη%hη，我们得到了Ghλ。η%n：=Ghλ%n-Iλη%I-1ηGhηn=Gλ%n- Iλη%I-1ηGηn=Gλ%n。因此，Pnη下LRT的渐近分布与Pnη下的分布相同*, 所述结果如下。11.2.3状态概率和条件动量差异的界限MMA 10。假设X，Xnare随机变量，最大值为1≤我≤nE | Xi | q<C对于某些q>0和C∈ (0, ∞). 然后，max1≤我≤n | Xi |=op（n1/q）。引理10的证明。对于任何ε>0，我们有P（max1≤我≤n | Xi |>εn1/q）≤P1级≤我≤nP（| Xi |>εn1/q）≤ ε-qn公司-1P1≤我≤nE（| Xi | qI{| Xi |>εn1/q}）的一种马尔可夫不等式。

作为n→ ∞, 根据支配收敛定理，右侧趋于0。下面的引理推广了DMR的推论1和（39）以及DMR第2298页上的一个方程；当t=tand t=tand Wn时，DMR得出这些结果-mis缺席。对于两个概率度量值u和u，u和u之间的总变化距离定义为ku- ukT V：=supA |u（A）-u（A）|。k·kT Vsaties supf（x）：0≤f（x）≤1 | Rf（x）du（x）-Rf（x）du（x）|=ku-ukT V.在以下内容中，我们定义-m： =（Yn-m、 西尼罗河-m） ，我们让vn-曼德x-mdenote“Vn-m=vn-m“和”X-m=x-m、 引理11。假设假设1-2保持和θx∈ Θx.那么，我们有-m、 （a）对于所有人-m级≤ t型≤ twith公司-m<n，且B（X）上的所有概率度量为u和u，Xx号-m级∈XPθx（Xtt∈ ·|x个-m、 越南-m） u（x-m）-Xx号-m级∈XPθx（Xtt∈ ·|x个-m、 越南-m） u（x-m）电视≤ ρt+m.（b）表示所有-m级≤ t型≤ t型≤ n- 1.Pθx（Xtt）∈ ·|越南-m、 x个-m）- Pθx（Xtt∈ ·|越南-1.-m、 x个-m）电视≤ ρn-1.-t、 当x-从条件变量中错误删除。（c） 对于所有人-m级≤ t型≤ t<t≤ twith公司-m<n，Pθx（Xtt∈ ·, Xtt公司∈ ·|越南-m、 x个-m）- Pθx（Xtt∈ ·|越南-m、 x个-m） Pθx（Xtt∈ ·|越南-m、 x个-m）电视≤ ρt-t、 当x-从条件变量中错误删除。引理11的证明。我们首先证明（a）部分。我们假设t>-m，因为当t=-m、 观察到当Wn时，DMR的引理1仍然成立-错误地添加到条件变量中，因为假设1意味着{（Xk，Yk）}∞k=0是给定{Wk}的马尔可夫链∞k=0。因此，{Xt}t≥-条件为{Yn时的马氏链-m、 西尼罗河-m} ，因此Pθx（Xtt∈ A | vn-m、 x个-m） =Pxt∈XPθx（Xtt∈ A | Xt=Xt，vn-m） pθx（xt | vn-m、 x个-m） 保持。通过应用这个结果和总变化距离的性质，我们可以用kPx约束引理的左手边-m级∈Xpθx（Xt∈ ·|越南-m、 x个-m） u（x-m）-二甲苯-m级∈Xpθx（Xt∈·|越南-m、 x个-m） u（x-m） kT V.这是以DMR的推论1中的ρt+mf为界的，当n-错误添加到条件变量。

因此，第（a）部分得到了验证。我们继续证明第（b）部分。观察时间反转过程{Zn-k} 0个≤k≤当条件为Wn时，n+misMarkov-WK独立于（Xk）的命令-1，Yk-1） 给定工作-因此，对于k=n，n- 1，我们有Pθx（Xtt∈ A | vk-m、 x个-m） =Pxt∈XPθx（Xtt∈ A | Xt=Xt，vt-m、 x个-m） pθx（xt | vk-m、 x个-m） 。因此，从总变化距离的性质来看，引理的左手边以kPθx（Xt）为界∈ ·|越南-m、 x个-m）- Pθx（Xt∈ ·|越南-1.-m、 x个-m） kT V.以ρn为界-1.-t因为当Wn时，DMR第2294页的方程式（39）成立-mis添加到条件变量中，所述结果如下。当x-（b）部分从条件变量中删除，使用引理9和DMR的推论1的类似物代替DMR的方程式（39），这是一个类似的论点。第（c）部分紧接着把引理的左侧写成supA，B | Pθx（Xtt∈A | vn-m、 x个-m） [Pθx（Xtt∈ B | vn-m、 Xtt公司∈ （A）- Pθx（Xtt∈ B | vn-m、 x个-m） ]|并应用第（a）部分。11.2.4ρ引理的幂和12。对于所有ρ∈ （0，1），c≥ 1，q≥ 1，b>a，∞Xt公司=-∞ρb（t-a） /cqc∧ ρb（b-t） /qc≤q（c+1）ρb（b-a） /（c+1）qc1- ρ,∞Xt公司=-∞ρb（t-a） /质量控制∧ ρb（b-t） /cqc≤q（c+1）ρb（b-a） /（c+1）qc1- ρ.引理12的证明。第一个结果成立，因为左侧以Pb（a+bc）/（c+1）ct为边界=-∞ρb（b-t） /qc+P∞t=b（a+bc）/（c+1）c+1ρb（t-a） /cqc≤ qρb{b-b（a+bc）/（c+1）c}/qc/（1）- ρ） +cqρb{b（a+bc）/（c+1）c+1-a} /cqc/（1）-ρ) ≤ q（1+c）ρb（b-a） /（c+1）qc/（1）-ρ). 第二个结果通过用PB（ac+b）/（c+1）ct包围左侧来证明=-∞ρb（b-t） /cqc+P∞t=b（ac+b）/（c+1）c+1ρb（t-a） /qc并进行类似操作。下面的引理推广了DMR第2299页上最后一个不等式的结果。引理13。对于所有ρ∈ （0，1），k≥ 1，q≥ 1和n≥ 0，X0≤t型≤t型≤···≤tk公司≤nρbt/qc∧ ρb（t-t） /质量控制∧ ··· ∧ ρb（tk-tk公司-1） /质量控制∧ ρb（n-tk）/qc≤ Ckq（ρ）ρbn/2kqc，其中Ckq（ρ）：=qkk（k+1）！(1 - ρ)-k、 引理13的证明。

当k=1时，所述结果来自引理12，其中c=1。我们证明以下内容适用于k≥ 2： Xt公司≤t型≤···≤tk公司≤nρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（tk-tk公司-1） /质量控制∧ ρb（n-tk）/qc≤qk公司-1（k+1）！ρb（n-t） /kqc（1- ρ） k级-我们用归纳法证明。当k=2时，它由引理12和c=1得出，即pnt=t（ρb（t-t） /qc∧ ρb（n-t） /质量控制）≤ 2qρb（n-t） /2qc/（1）- ρ） ，给出（104）。假设（104）在nk=`时保持不变。那么（104）在k=`+1时成立，因为从引理12，Xt≤t型≤···≤t型`≤t`+1≤nρb（t-t） /qc∧ ρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（t`+1-t`）/qc∧ ρb（n-t`+1）/qc≤nXt=tρb（t-t） /qc∧Xt公司≤···≤t`+1≤nρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（t`+1-t`）/qc∧ ρb（n-t`+1）/qc≤q`-1`!(1 - ρ)`-1nXt=tρb（t-t） /qc∧ ρb（n-t） /`qc≤q`（`+1）！(1 - ρ） `ρb（n-t） /（`+1）qc，因此（104）适用于所有k≥ 2、我们继续展示所述结果。观察thatX0≤t型≤t型≤···≤tk公司≤nρbt/qc∧ ρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（tk-tk公司-1） /质量控制∧ ρb（n-tk）/qc≤ 2n/2Xt=0Xt≤t型≤···≤tk公司-1.≤tkn-tXtk=tρbt/qc∧ ρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（tk-tk公司-1） /质量控制∧ ρb（n-tk）/qc= 2n/2Xt=0Xt≤t型≤···≤tk公司-1.≤tkn-tXtk=tρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（tk-tk公司-1） /质量控制∧ ρb（n-tk）/qc≤ 2n/2Xt=0Xt≤t型≤···≤tk公司-1.≤tk公司≤nρb（t-t） /qc∧ ··· ∧ ρb（tk-tk公司-1） /质量控制∧ ρb（n-tk）/qc,其中，第一个不等式是对称的，随后的等式是n-tk公司≥ t、 从（104）中，右侧不大于qk-1（k+1）！(1 - ρ)(1-k） Pn/2t=0ρb（n-t） /kqc≤qkk（k+1）！(1 - ρ)-kρbn/2kqc，给出规定的结果。下一个引理推广了DMR的方程（46）和第2294页，当`=1，2时，它们导出了一个类似的边界。引理14。对于所有j，让aj>0。对于所有正整数`≥ 1和所有k≥ 1和m≥ 0，我们有Max-m+1≤t、 ，。。。，t型`≤kat······at`≤ （k+m）`+1A`，其中A`:=P∞t型=-∞（| t |∨ 1)-2a\'t.引理的证明14。当`=1时，所述结果从max开始-m+1≤t型≤凯特≤Pkt公司=-m+1at=Pkt=-m+1（| t|∨1） （| t|∨1)-2at≤ （k+m）P∞t型=-∞（| t|∨1)-2at。

何时`≥ 2，根据H¨older不等式，我们得到了max-m+1≤t型≤...≤t型`≤卡塔特`≤ （包装）=-m+1at）`=[包装=-m+1（| t|∨1） 2/`（| t|∨1)-2/`在]`≤[包装=-m+1（| t|∨1)2/(`-1)](`-1） Pkt公司=-m+1（| t|∨1)-2a`t≤ [（k+m）1+2/(`-1)]`-1A`=（k+m）`+1A`。下面的引理推广了DMR第2301页上导出的界。引理15。对于α>0、q>0和cjt≥ 0，定义c∞jq（ρα）：=P∞t型=-∞ρbα| t |/qccjt。对于所有ρ∈ （0，1），k≥ 1和0≤ m级≤ m，-mXt公司=-m+1Xt≤t型≤t型≤t型≤t型≤t型≤kρb（k-1.-t） /qc∧ ρb（t-t） /qc∧ ρb（t-t） /qc∧ ρb（t-t） /qc∧ρb（t-t） /qc∧ ρb（t-t） /qcYj=1cjtj≤ ρb（k-1+m）/2qacc∞1季度ρ1/2aYj=2c∞jq公司ρ1/4aj,（105）其中（aj，bj）递归定义为（a，b）=（1，1），对于j≥ 3，aj+1=4aj（aj+bj）/（2aj-1） 和bj+1=aj（4bj- 1） /（2aj- 1). aj和bj满足aj，bj≥ 对于所有j.直接计算，使用Matlab生成a.=334.5406。引理15的证明。

首先，观察以下结果是否适用于a，b>1/4，t≤ 0，和tj，tj+1≥ t： （a）如果tj≤atj+1+ta+b，然后| tj | 4a≤a（4a+1）tj+1+（2a- 1） t4a（a+b）- tj，（b）如果tj≥atj+1+ta+b，然后| tj | 4a≤batj公司-a（4b- 1） tj+1+（2a+4b+1）t4a（a+b）。（106）（a）成立，因为（i）当tj≤ 0，我们有tj≤ （atj+1+t）/（a+b）=> （4a- 1） tj/4a≤ [a（4a-1） tj+1+（4a- 1） t]/4a（a+b）=> -tj/4a≤ [a（4a- 1） tj+1+（4a- 1） t]/4a（a+b）- tjand a（4a-1） tj+1+（4a-1） t型≤ a（4a-1） tj+1+（4a-1） t+2a（tj+1-t） =a（4a+1）tj+1+（2a-1） t；（ii）whentj≥ 0，我们有tj≤ （atj+1+t）/（a+b）=> （4a+1）tj/4a≤ 【a（4a+1）tj+1+（4a+1）t】/4a（a+b）=>tj/4a≤ 【a（4a+1）tj+1+（4a+1）t】/4a（a+b）- tjand（4a+1）t≤ （2a- 1） t.（b）成立，因为（i）当tj≤ 0，我们有tj≥ （atj+1+t）/（a+b）=> （4b+1）tj/4a≥【a（4b+1）tj+1+（4b+1）t】/4a（a+b）=> -tj/4a≤ btj/a-【a（4b+1）tj+1+（4b+1）t】/4a（a+b）和a（4b+1）tj+1+（4b+1）t≥ a（4b+1）tj+1+（4b+1）t-2a（tj+1-t） =a（4b-1） tj+1+（2a+4b+1）t；（ii）当tj≥ 0，我们有tj≥ （atj+1+t）/（a+b）=> （4b）-1） tj/4a≥ [a（4b-1） tj+1+（4b-1） t]/4a（a+b）=> tj/4a≤ btj/a- [a（4b- 1） tj+1+（4b- 1） t]/4a（a+b）和a（4b- 1） tj+1+（4b- 1） t型≥a（4b- 1） tj+1+（2a+4b+1）t。我们继续推导所述的界。它遵循（a）和（b）以及bx+yc≥ bxc+bycthat，tj=（ajtj+1+t）/（aj+bj），kXtj=-m+1ρb（tj+1-tj）/qc∧ ρb（bjtj-t） /ajqccjtj公司≤ ρbaj（4bj-1） tj+1-（2aj-1） t4aj（aj+bj）qcXtj公司≤tjρbaj（4aj+1）tj+1+（2aj-1） t4aj（aj+bj）q-tjqc+Xtj≥tjρbbjajqtj-aj（4bj-1） tj+1+（2aj+4bj+1）t4aj（aj+bj）qccjtj公司≤ ρbaj（4bj-1） tj+1-（2aj-1） t4aj（aj+bj）qcc∞jq公司ρ1/4aj= ρbbj+1tj+1-泰姬陵+1cc∞jq公司ρ1/4aj. （107）观察aj+1≥ 2aj公司≥ 2和bj+1≥ 2bj- (1/2) ≥ 所有j为3/2≥ 因此，对于j=2，3，…，我们可以将（106）和（107）依次应用于（105）的左侧，因此，（105）的左手侧不大于-mXt公司=-m+1ρbb（k-1)-taqcc1tYj=2c∞jq公司ρ1/4aj.观察| t |≤ k- 1.-2吨-m因为t≤ -m级=> -t型≤ -2吨-m级≤ k-1.-2吨-m。

Fromb（k- 1) ≥ k- 1和| t |≤ k- 1.- 2吨- m、 总和的范围为-mXt公司=-m+1ρbk-1.-taqcc1t=ρbk-1+m2aqc-mXt公司=-m+1ρbk-1.-2吨-m2aqcc1t≤ ρbk-1+m2aqcc∞1季度ρ1/2a,所述结果如下。11.2.5θM+1，x=（θxm，πxm）和πxm=（%M，αM，φM）的推导确定了Jm0：={1，…，M}\\Jm，并让pjand p*jdenote PθM+1（Xk=j）和Pθ*M（Xk=j）。我们将其平稳分布的Xkin项的转移概率参数化，并将其第一个转移到（m- 1） -th行及其转移矩阵的（m+1）-th到（m+1）-th行。对于i∈ Jm，我们将（pim，pi，m+1）重新参数化为piJ=pim+pi，m+1=Pθm+1（Xk∈ Jm | Xk-1=i）和pim | iJ=pim/（pim+pi，m+1）。此外，我们将平稳分布中的（pm，pm+1）重新参数化为pJ=pm+pm+1=PθM+1（Xk∈ Jm）和pm | J=pm/（pm+pm+1）=PθM+1（Xk=M | Xk∈ Jm）。因此∧ 和∨ 表示“and”和“or”，Xkis的跃迁概率由θM+1总结，x：=（{piJ，pim | iJ}i∈Jm，{pij}i∈Jm公司∧j∈Jm0，{pm+1，j}Mj=1，{pj}j∈Jm0、pJ、pm | J）。拆分θM+1，xasθM+1，x=（θxm，πxm），其中θxm：=（{pij}i∈Jm公司∧j∈Jm0，{piJ}i∈Jm，{pj}j∈Jm0，pJ）和πxm：=（{pim | iJ}i∈Jm，{pm+1，j}Mj=1，pm | j）。当m-th和（m+1）th区域组合为一个区域时，xkequal的跃迁概率等于Xkunderθ的跃迁概率*M、 xif且仅当θxm=θ*xm：={pij=p*ijfor一∈ Jm公司∧(1 ≤ j≤ m级-1); pij=p*i、 j-1对于i∈ Jm公司∧（m+2≤j≤ M） ；piJ=p*imfor i公司∈\'\'Jm；pj=p*jfor 1≤ j≤ m级-1.pj=p*j-1对于m+2≤ j≤ MpJ=p*m} 。πxm是θM+1，x在H0m下未识别的部分。我们继续推导πxmin的一些元素的重参数化，即（αm，%m）。首先，将pm+1、mand pm+1、m+1映射到pm+1，J：=pm+1、m+pm+1、m+1=Pθm+1（Xk∈ J | Xk-1=m+1）和pm+1，m | J：=pm+1，m/pm+1，J=Pθm+1（Xk=m | Xk∈ J、 Xk公司-1=m+1）。让PJandπjdenoteth转移矩阵和Xkre的平稳分布限制在Jm中。