马尔可夫区域切换模型中区域数的检验

（b） 对于所有y∈ Y、 Y型∈ Ys和假设1（a）–（d）意味着wk在条件上独立于（Xk-1，Yk-1） 给定工作-1、w∈ W、 0<infθy∈ΘM，yPx∈XMgθM，y（y | y，x，w）和supθM，y∈ΘM，yPx∈XMgθM，y（y | y，x，w）<∞.（c） b+：=supθM，y∈Θysupy，y，w，xgθM，y（y | y，x，w）<∞ 和Eθ*（|日志b-（Y，W）|）<∞, 其中b-（y，w）：=infθM，y∈ΘM，yPx∈XMgθM，y（y | y，x，w）。如DMR第2260页所述，假设2（a）意味着马尔可夫链{Xk}具有唯一不变分布，并且对所有θM，x一致遍历∈ ΘM，x。为了符号简洁，我们从XM、θM、ΘM等中删除下标M，除非澄清M的特定值很重要。假设1（b）和（c）意味着{Zk}∞k=0：={（Xk，Yk）}∞k=0是一个马尔可夫链，在z上：=X×Ysgiven{Wk}∞k=0，且Zk在条件上独立于（Zk-2，周-1，W∞k+1）给定（Zk-1，周）。因此，DMR的引理1、推论1和引理9即使在{Wk}存在的情况下也会通过∞k=0。因为{（Zk，Wk）}∞k=0是静止的，我们可以并且将扩展{（Zk，Wk）}∞k=0toa平稳过程{（Zk，Wk）}∞k级=-∞在有限的时间内加倍。我们表示{（Zk，Wk）}的概率测度和相关期望∞k级=∞在平稳性下，分别为Pθ和Eθ。在假设1（a）–（d）下，Yn的密度给定X=X，Yan和Wn由pθM（Yn | Y，Wn，X）=Xxn给出∈XnMnYk=1pθM（Yk，xk | Yk-1，xk-1，周）。（1） 将条件对数似然函数和平稳对数似然函数定义为\'n（θ，x）：=对数pθ（Yn | Y，Wn，x）=nXk=1log pθ（Yk | Yk-1，Wk，x），`n（θ）：=logpθ（Yn|Y，Wn）=nXk=1logpθ（Yk|Yk）-1，Wk），其中我们使用pθ（Yk | Yk-1，Wn，x）=pθ（Yk | Yk-1，Wk，x）和pθ（Yk | Yk-1，Wn）=pθ（Yk | Yk-1，Wk），根据假设1。注意pθ（Yk | Yk-1，周，x）- pθ（Yk | Yk-1，Wk）=X（xk-1，xk）∈Xpθ（Yk，xk | Yk-1，xk-1，周）×Pθ（xk-1 | Yk-1，周-1，x）- Pθ（xk-1 | Yk-1，周-1),和Pθ（xk-1 | Yk-1，周-1） =像素∈XPθ（xk-1 | Yk-1，周-1，x）Pθ（x | Yk-1，周-1). 设ρ：=1-σ-/σ+∈ [0, 1).

附录中的引理11（a）表明，对于所有概率度量，假设1（c）和2（a）也适用于DMR。如Kasahara和Shimotsu（2017）所述，这些假设共同排除了条件密度yk同时取决于当前和滞后制度的模型。Kasahara和Shimotsu（2017）显示了极大似然估计的渐近正态性，同时放宽假设2（a）以允许infθM，x∈ΘM，xminx，x∈XMqθM，x（x，x）=0。根据Kasahara和Shimotsu（2017）的相似假设，可以推导出LRT的渐近分布，尽管推导过程繁琐。DMR使用Pθ和Eθ表示{Zk}上平稳性下的概率和期望∞k级=∞, 因为他们的第7节处理的是从任意分布中提取zi的情况。因为我们假设{（Zk，Wk）}∞k级=∞是固定的，为了简单起见，我们使用了Pθ和Eθ等无上划线的符号。在B（X）和all（yk）上-1，周-1） ，supAXx号∈XPθ（Xk-1.∈ A | yk-1，周-1，x）u（x）-Xx号∈XPθ（Xk-1.∈ A | yk-1，周-1，x）u（x）≤ ρk-1.（2）因此，pθ（Yk | Yk-1，周-1，x）- pθ（Yk | Yk-1，周-1） 以指数速率归零→ ∞. 因此，如以下命题所示，`n（θ，x）和`n（θ）之间的差异以确定性常数为界，`n（θ，x）的最大值和`n（θ）的最大值是渐近等价的。提案1。在假设1和2下，对于所有x∈ 十、 supθ∈Θ|` n（θ，x）- `n（θ）|≤ 1/(1 - ρ） Pθ*-a、 如DMR第2263页所述，固定密度pθ（Yk | Yk-1，Wk）对于某些具有自回归的模型，不提供封闭形式。因此，当xf的初始分布服从某些分布ξM时，我们考虑对数似然函数∈ ΞM：={ξ（x）x∈XM：ξ（x）≥ 0和px∈XMξ（x）=1}。通过对数可能性的最大化来确定MLE，θM，ξM：`n（θM，ξM）：=logMXx=1pθM（Yn | Y，Wn，x）ξM（x）！，（3） 式中，pθM（Yn | Y，Wn，x）在（1）中给出。

我们通过最小的数字来定义制度的数量，以便数据密度允许表示（3）。我们的目标是测试Fisher信息矩阵的H：M=Magainst HA：M=M+1.3简并度和在零假设下的不可识别性。考虑在两个区域模型中测试H：M=1与HA：M=2。零假设可以写成H：θ*= θ*.当θ=θ时，参数θ2，xis未被识别，因为yk在不同区域具有相同的分布。此外，第6节表明，当θ=θ时，关于θ和θ的分数是线性相关的，因此Fisher信息矩阵退化。正态密度马尔可夫区域切换模型的对数似然函数具有进一步的退化性。在第j个区域的Ykin紧随N（uj，σj）的双区域模型中，当Xk连续不相关时，该模型简化为异方差正态混合模型，即当（p，p）=（1，0）时，H:M=1的零假设也成立。我们将假设2（a）从0和1约束pjjaway，因为考虑到Gasiat和Keribin（2000），当por ptends为1时，对数似然函数可能变得无界。p=1- p、 Kasahara和Shimotsu（2015）表明，在异方差正态混合模型中，对数似然函数的一阶和二阶导数是线性相关的，而核心函数是四阶导数的函数。因此，需要将对数似然函数展开四次才能得出分数函数。4可识别性损失下的二次展开当LRT测试制度数量时，在零假设下未识别部分θ。设π表示θ在null下未识别的部分，并将θ拆分为θ=（ψ，π）。

例如，在测试H：M=1与HA：M=2时，我们有ψ=θ2，yandπ=θ2，x。我们将条件对数似然函数表示为\'n（ψ，π，x）：=\'n（θ，x），并可互换地使用pθ和pψπ。用ψ表示ψ的真参数值*, 用Γ表示与努尔假设相对应的（ψ，π）集*= {(ψ, π) ∈ Θ : ψ = ψ*}. 设tθ为θ的连续函数，使得tθ=0当且仅当ψ=ψ*. 对于ε>0，确定Γ的邻域*byNε：={θ∈ Θ：| tθ|<ε}。当极大似然估计一致时，LRT的渐近分布由Nε中似然函数的局部性质决定。我们建立了对数似然函数n（ψ，π，ξ）的一般二次展开式：=（3）中定义的n（θ，ξ）围绕n（ψ*, π、 ξ）表示\'n（ψ，π，ξ）- `n（ψ）*, π、 ξ）作为tθ的二次函数。一旦我们推导出一个二次展开式，LRT的渐近分布可以通过在适当的约束下取其相对于tθ的上确界并使用Andrews（1999，2001）的结果来表征。表示条件密度比bylθkx：=pψπ（Yk | Yk-1，Wk，x）pψ*π（Yk | Yk-1，Wk，x），（4）使\'n（ψ，π，x）-`n（ψ）*, π、 x）=Pnk=1log lθkx。我们假设lθkxc可以围绕lθ展开*kx=1，如下所示。稍微滥用一下符号，让Pn（fk）：=n-1Pnk=1fk和调用νn（fk）：=n-1/2Pnk=1[fk- Eθ*（fk）]。假设3。对于所有k=1。

，n，lθkx- 1允许扩展Lθkx- 1=tθsπk+rθk+uθkx，（5）其中tθ满足ψ→ ψ*如果tθ→ 0和（sπk，rθk，uθkx）满足，对于某些C∈ (0, ∞), δ>0、ε>0和ρ∈ （0，1），（a）Eθ*supπ∈Θπ| sπk | 2+δ<C，（b）supπ∈Θπ| Pn（sπksπk）- Iπ|=0<infπ的op（1）∈πλmin（Iπ）≤ supπ∈πλmax（Iπ）<∞, （c） Eθ*[补充]∈Nε| rθk/（| tθ|ψ）- ψ*|)|] < ∞, （d） supθ∈Nε[νN（rθk）/（| tθ|ψ）-ψ*|)] = Op（1），（e）supx∈Xsupθ∈NεPn（| uθkx |/|ψ-ψ*|)j=Op（n-1） 对于j=1、2、3、（f）supx∈Xsupθ∈NεPn（| sπk | | uθkx |/|ψ-ψ*|) = Op（n-1） ，（g）supθ∈Nε|νN（sπk）|=Op（1）。我们首先在Nc附近建立了\'n（ψ，π，x）的展开式/√对于任何c>0。提案2。假设假设假设3（a）–（f）成立。然后，对于任何c>0，supx∈Xsupθ∈北卡罗来纳州/√n`n（ψ，π，x）- `n（ψ）*, π、 x）-√ntθνn（sπk）+ntθIπtθ/2= op（1）。以下命题将` n（ψ，π，x）展开为ε（x，η）：={θ∈ Nε：`N（ψ，π，x）-`n（ψ）*, π、 x）≥ -η} 对于某些η∈ [0, ∞). 这一命题有助于推导LRT的渐近分布，因为一致的MLE定义为ε（x，η）。LetAnεc（x，η）：=Anε（x，η）∪ 北卡罗来纳州/√n、 提案3。假设假设3成立。然后，对于任何η>0，（a）supx∈Xsupθ∈Anε（x，η）| tθ|=Opε（n-1/2）和（b）对于任何c>0，supx∈Xsupθ∈εc（x，η）`n（ψ，π，x）- `n（ψ）*, π、 x）-√ntθνn（sπk）+ntθIπtθ/2= opε（1）。命题2和命题3的以下推论表明，（3）中定义的“n（θ，ξ）”允许对所有ξ进行类似的扩展到“n（θ，x）”。因此，LRTs的渐近分布不依赖于ξ，并且在拟合ξ时，n（θ，ξ）可能在θ中最大化，或者在θ和ξ中联合最大化。LetAnε（ξ，η）：={θ∈ Nε：`N（ψ，π，ξ）- `n（ψ）*, π, ξ) ≥ -η} 和Anεc（ξ，η）：=Anε（ξ，η）∪ 北卡罗来纳州/√n、 其中包括与任何ξ一致的MLE。推论1。

（a） 在命题2的假设下，我们有supξ∈Ξsupθ∈北卡罗来纳州/√n |` n（ψ，π，ξ）- `n（ψ）*, π, ξ) -√对于任何c>0，ntθνn（sπk）+ntθIπtθ/2 |=op（1）。（b） 在命题3的假设下，对于任何η>0和c>0，supξ∈Ξsupθ∈Anε（ξ，η）| tθ|=Opε（n-1/2）和supξ∈Ξsupθ∈εc（ξ，η）|` n（ψ，π，ξ）-`n（ψ）*, π, ξ) -√ntθνn（sπk）+ntθIπtθ/2 |=opε（1）。5对数密度和密度比导数的一致收敛在本节中，我们建立了近似值，使我们能够将第4节中的结果应用于区域切换模型的对数似然函数。由于奇点的存在，密度比lθkxin的展开式（5）涉及密度比的高阶导数jψlθkx带j≥ 2、注意jψlθkxc可以用对数密度的导数表示，jψlog pψπ（Yk | Yk-1，周，x）。我们表明，这些衍生工具近似于其静态对应物，即在有限过去（Yk）条件下的衍生工具-1.-∞, 工作时间：-∞) 代替（Yk-1，周）。因此，序列{jψlθkx}∞k=0由平稳鞅差序列近似。对于1≤ k≤ n和m≥ 0，letpθ（Yk-m+1 | Y-m、 工作时间：-m） ：=Xxk-m级∈Xk+m+1kYt=-m+1pθ（Yt，xt | Yt-1，重量，xt-1） Pθ*（十）-m | Y-m、 工作时间：-m） ，（6）表示Yk的固定密度-m+1与{Y上的θ条件相关-m、 工作时间：-m} ，其中X-由真实条件平稳分布Pθ得出的mis*（十）-m | Yk-1.-m、 工作时间：-m） 。Letpθ（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m） ：=pθ（Yk-m+1 | Y-m、 工作时间：-m） /pθ（Yk-1.-m+1 | Y-m、 工作时间：-1.-m） 表示给定Yk的相关条件密度（Yk-1.-m、 工作时间：-m） 。将密度比定义为lk、m、x（θ）：=pθ（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m、 X个-m=x）/pθ*（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m、 X个-m=x）。对于j=1，2。

, 6, 1 ≤ k≤ n、 m级≥ 0和x∈ 十、 定义对数密度和密度比的导数jθ为简洁起见，j\'k，m，x（θ）：=jlog pθ（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m、 X个-m=x），jlk、m、x（θ）：=jpθ（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m、 X个-m=x）pθ*（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m、 X个-m=x），j\'k，m（θ）：=jlog pθ（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m） ，和jlk，m（θ）：=jpθ（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m） pθ*（Yk | Yk-1.-m、 工作时间：-m） 。以下假设对应于DMR中的（A6）–（A8），并根据我们的设置进行了调整，其中一些元素为θ*X未识别，X是有限的。注意，与qθx（x，x）相关的假设（A6）和（A7）inDMR在我们的情况下成立，因为pij的边界远离0和1。设Gθk：=Pxk∈Xgθy（Yk | Yk-1、xk、Wk）。一般情况下，当N*非常小。假设4。存在一个正实δ，使得在N上*:= {θ ∈ Θ：|θy- θ*y |<δ}以下条件成立：（a）对于所有（y，y，x，w）∈ Y×Y×X×W，gθY（Y | Y，X，W）在N上连续六次可微分*. （b） Eθ*[补充]∈N*supx公司∈X个|jlog gθy（y | y，x，W）| 2qj]<∞ 对于j=1，2，6和Eθ*supθ∈N*|克/克*k | qg<∞ q=6q，q=5q，q=q，其中q=（1+ε）qθ和qg=（1+ε）qθ/ε，对于一些ε>0和qθ>max{3，dim（θ）}。（c） 几乎所有（y、y、w）∈ Ys×Y×W，supθ∈N*gθy（y | y，x，w）<∞ 而且，对于几乎所有（y、x、w）∈ Ys×X×W，对于J=1，2，6、存在函数fjy、w、x:Y→ R+在这样的情况下|jgθy（y | y，x，w）|≤ fjy、x、w（y）表示所有θ∈ N*.以下命题表明{j\'k，m，x（θ）}m≥0和{j\'k，m（θ）}m≥0are Lrj（Pθ*)收敛到的Cauchy序列j\'k，∞（θ）Pθ*-a、 s.和Lrj（Pθ*) 均匀分布在θ中∈ N*andx∈ 十、 提案4。在假设1、2和4下，对于j=1，6，存在随机变量，但DMR使用相同的符号pθ（·| Yk-1.-m） 为了不同的目的。在p。

2263和在其他一些（但不是所有）地方，DMR使用pθ（Yk | Yk-1） 表示Yk的（普通）平稳条件分布。（Kj，{Mj，k}nk=1）∈ Lrj（Pθ*) 和ρ*∈ （0，1）这样，对于所有1≤ k≤ n和m≥ m级≥ 0，（a）supx∈Xsupθ∈N*|j\'k，m，x（θ）- j\'k，m（θ）|≤ Kj（k+m）ρk+m-1.*Pθ*-a、 s.，（b）supx∈Xsupθ∈N*|j\'k，m，x（θ）- j`k，m，x（θ）|≤ Kj（k+m）ρk+m-1.*Pθ*-a、 s.，（c）supm≥0supx∈Xsupθ∈N*|j\'k，m，x（θ）|+supm≥0supθ∈N*|j\'k，m（θ）|≤ Mj，kPθ*-a、 其中r=6q，r=3q，r=2q，r=3q/2，r=6q/5，r=q.（d）均匀分布在θ中∈ N*和x∈ 十、j`k，m，x（θ）和j\'k，m（θ）收敛Pθ*-a、 s.和Lrj（Pθ*) 到j\'k，∞(θ) ∈ Lrj（Pθ*)作为m→ ∞.如以下命题所示，我们可以通过将密度比的导数表示为对数密度导数的多项式，并应用命题4和H¨older不等式来证明密度比导数的一致收敛性。提案5。在假设1、2和4下，对于j=1，6，存在随机变量{Kj，k}nk=1∈ Lqθ（Pθ*) 和ρ*∈ （0，1）这样，对于所有1≤ k≤ n和m≥ m级≥ 0，（a）supx∈Xsupθ∈N*|jlk、m、x（θ）- jlk，m（θ）|≤ Kj，k（k+m）ρk+m-1.*Pθ*-a、 s.，（b）supx∈Xsupθ∈N*|jlk、m、x（θ）- jlk，m，x（θ）|≤ Kj，k（k+m）ρk+m-1.*Pθ*-a、 s.，（c）supm≥0supx∈Xsupθ∈N*|jlk，m，x（θ）|+supm≥0supθ∈N*|jlk，m（θ）|≤ Kj，kPθ*-a、 s.（d）均匀分布在θ中∈ N*和x∈ 十、jlk、m、x（θ）和jlk，m（θ）收敛Pθ*-a、 s.和Lqθ（Pθ*)到jlk，∞(θ) ∈ Lqθ（Pθ*) 作为m→ ∞. （e） supθ∈N*|jlk，0（θ）- jlk，∞(θ)| ≤ Kj，kkρk-1.*Pθ*-a、 当我们将第4节中的结果应用于区域切换模型时，lk，0，x（θ）对应于（5）左侧的lθkxon，sπkin（5）是jlk，0（θ）.命题5和条件期望的支配收敛定理（Durrett，2010，定理5.5.9）暗示了Eθ*[jlk，∞（θ）| Yk-1.-∞] = 0表示所有θ∈ N*.

因此{jlk，∞(θ)}∞k级=-∞是一个平稳、遍历且平方可积的鞅差序列，并且{jlk，∞（θ）}j=1满意度假设3（a）（b）（g）。6检验同质性在开发Mcomponents的LRT之前，我们分析了一个更简单的情况，即当数据来自H时，检验零假设H:M=1和HA:M=2。我们假设θ2的参数空间，x=（p，p）的形式为[, 1.- ]对于一个小 ∈ (0, 1/2). 用θ表示单区模型中的真实参数*:= ((θ*), (γ*)). 双区模型给出了真实密度pθ的上升*（Yn | Y，x）如果参数θ=（θ，θ，γ，p，p）位于参数空间Γ的子集中*:= {（θ，θ，γ，p，p）∈ Θ: θ= θ= θ*γ=γ*}.注意，（p，p）在H下未识别。Let\'n（θ，ξ）：=logPx=1pθ（Yn | Y，Wn，x）ξ（x）表示给定初始分布ξ（x）的两种状态对数可能性∈ Ξ，并设^θ：=arg maxθ∈Θ\'n（θ，ξ）表示给定ξ的MLEof，其中ξ从^θ中被抑制，因为ξ并不渐近重要。设^θ表示最大化一个区域对数似然函数\'0，n（θ）：=Pnk=1log f（Yk | Yk-1、工作时间；γ、 θ）在约束θ=（θ，γ）下∈ Θ.我们为^θ和^θ的一致性引入以下假设。假设5（b）对应于DMR的假设（A4）。假设5（c）是单一制度模型的标准识别条件。假设5（d）意味着NPθ之间的Kullback–Leibler散度*（Y | Y-m、 W-m） 和pθ（Y | Y-m、 W-m） 为0当且仅当θ∈ Γ*.假设5。（a） Θ和Θ是紧凑的*位于Θ的内部。（b） 适用于所有（x，x）∈ X和所有（y、y、w）∈ Y×Y×W，f（Y | Y，W；γ，θ）在（γ，θ）中是连续的。（c） 如果θ6=θ*, 然后Pθ*f（Y | Y，W；γ，θ）6=f（Y | Y，W；γ*, θ*)> 0.（d）Eθ*[对数pθ（Y | Y-m、 W-m） ]=Eθ*[日志pθ*（Y | Y-m、 W-m） ]对于所有m≥ 0当且仅当θ∈ Γ*.以下命题显示了θ的极大似然估计的一致性*和θ*2，y.提案6。

假设假设1、2和5成立。然后，在m=1的零假设下，p→ θ*和infθ∈Γ*|^θ- θ| p→ 设LRn：=2[`n（ξ，ξ）-`0，n（^θ）]表示用于测试H：M=1和HA：M=2的LRT。按照第4节的注释，我们将θ分为θ=（ψ，π），其中π是在无效假设下未识别的部分；ψ的元素在后面描述。在当前设置中，π对应于θ2，x=（p，p）。定义%：=corrθ2，x（Xk，Xk+1）=p+p-1和α：=Pθ2，x（Xk=1）=（1-p） /（2）-p-p） 。约束p，p下%和α的参数空间∈ [, 1.-]由Θ%：=[-1 + 2, 1.- 2.] 和Θα：=[, 1.- ], 分别地因为（p，p）到（%，α）的映射是一对一的，所以我们将π重新参数化为π：=（%，α）∈ Θπ：=Θ%×Θα，和letpψπ（···：）=p·······。此后，为了符号简洁，我们抑制Wn，并将pψπ（Yn | Y，Wn，x）写入pψπ（Yn | Y，x）和pψπ（yk，xk | yk-1，xk-1，wk）为pψπ（yk，xk | yk-1，xk-1） 这样做不会引起混淆。我们通过将推论1应用于\'n（ψ，π，ξ），并用Γ，f（Yk | Yk）表示sπ和tθin（5），导出了LRT的渐近分布-1.γ、 θ）及其导数；sπkinvolves高阶导数和tθ由（重新参数化）的多项式的函数组成。第6.1节分析了YK的制度特定分布不正态且方差未知的情况。第6.2节分析了制度特定分布为正态且制度特定且方差未知的情况。第6.3节处理了方差未知且在不同制度中常见的正态分布。注意，因为Y∞-∞和X∞-∞ψ=ψ时是独立的*, 我们有pψ*π（X∞-∞|Y∞-∞) = Pψ*π（X∞-∞). （7） 定义qk：=I{Xk=1}，因此α=Eψ*π[qk]。6.1非正态分布当我们将推论1应用于区域切换模型时，sπkis是jpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） （6）中定义了pψπ（Yk | Y）的\'s。