马尔可夫区域切换模型中区域数的检验

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英文标题：
《Testing the Number of Regimes in Markov Regime Switching Models》
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作者：
Hiroyuki Kasahara and Katsumi Shimotsu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Markov regime switching models have been used in numerous empirical studies in economics and finance. However, the asymptotic distribution of the likelihood ratio test statistic for testing the number of regimes in Markov regime switching models has been an unresolved problem. This paper derives the asymptotic distribution of the likelihood ratio test statistic for testing the null hypothesis of $M_0$ regimes against the alternative hypothesis of $M_0 + 1$ regimes for any $M_0 \\geq 1$ both under the null hypothesis and under local alternatives. We show that the contiguous alternatives converge to the null hypothesis at a rate of $n^{-1/8}$ in regime switching models with normal density. The asymptotic validity of the parametric bootstrap is also established.
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中文摘要：
马尔可夫制度转换模型已被用于经济和金融领域的大量实证研究。然而，马尔可夫区域切换模型中用于检验区域数的似然比检验统计量的渐近分布一直是一个尚未解决的问题。本文推导了在零假设和局部备选方案下，对任意$M\\u 0\\geq 1$的$M\\u 0$区域的零假设与$M\\u 0+1$区域的备选假设进行检验的似然比检验统计量的渐近分布。我们证明了在正态密度的区域切换模型中，相邻备选方案以$n ^{-1/8}$的速度收敛到零假设。建立了参数自举的渐近有效性。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：Econometrics        计量经济学
分类描述：Econometric Theory, Micro-Econometrics, Macro-Econometrics, Empirical Content of Economic Relations discovered via New Methods, Methodological Aspects of the Application of Statistical Inference to Economic Data.
计量经济学理论，微观计量经济学，宏观计量经济学，通过新方法发现的经济关系的实证内容，统计推论应用于经济数据的方法论方面。
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Testing_the_Number_of_Regimes_in_Markov_Regime_Switching_Models.pdf (1.43 MB)

2022-6-6 17:35:19 上传

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关键词：马尔可夫 econometrics alternatives Mathematical distribution

马尔可夫区域切换模型Shiroyuki Kasahara中区域数的测试*温哥华经济学院英国大学Columbiahkasahar@mail.ubc.caKatsumi华盛顿大学经济学院Tokyoshimotsu@e.u-东京。ac.JP2018January 28 AbstractMarkov制度转换模型已用于经济和金融领域的大量实证研究。然而，马尔可夫区域切换模型中用于检验区域数的似然比检验统计量的渐近分布一直是一个尚未解决的问题。本文推导了似然比检验统计量的渐近分布，该统计量用于检验M regimes的零假设与任意M≥ 1在无效假设和局部备选方案下。我们证明了连续备选方案以n的速率收敛到零假设-正常密度的1/8英寸区域切换模型。建立了参数自举的渐近有效性。关键词：二次均值展开中的可微性；似然比检验；马尔可夫区域切换模型；参数引导。1引言马尔可夫制度转换模型一直是经济和金融领域实证工作的流行框架。继汉密尔顿（1989）的开创性贡献之后，它已被用于数值实证研究，以建模，例如，商业周期（汉密尔顿，2005；莫利和皮格，2012）、股市波动性（汉密尔顿和苏梅尔，1994）、国际股票市场（Ang和Bekaert，2002；Okimoto，2008）、货币政策（Schorfheide，2005；Sims和Zha，2006；Bianchi，2013），和经济增长（Kahn和Rich，2007年）。Hamilton（2008、2016）以及Ang和Timmermann（2012）提供了全面的理论说明和应用调查。区域数是马尔可夫区域切换模型应用中的一个重要参数。

尽管它很重要，但是，马尔可夫区域中区域数量的测试*本研究得到了加拿大自然科学和工程研究委员会、JSPS Grantin Aid for Scientic research（c）No.17K03653和统计数学合作用户注册研究所（2017 ISM CUR-171）的支持。作者感谢印第安纳大学、伦敦政治经济学院和范德比尔特大学的研讨会参与者提出的有益意见。作者还感谢Chiyoung Ahn出色的研究协助，以及Marine Carrasco、Liang Hu和Werner Ploberger提供的代码。切换模型一直是一个未解决的问题，因为相似比检验统计量（LRTS）的标准渐近分析因参数不可识别、真实参数位于参数空间边界以及Fisher信息矩阵的退化等问题而失效。使用正态密度测试马尔可夫区域切换模型的区域数量（这在经验应用中很流行）带来了进一步的困难，因为正态密度具有一个不受欢迎的数学特性，即关于平均参数的二阶导数与关于方差参数的一阶导数线性相关，导致进一步的奇点。本文针对任意M的M+1区域的交替假设，提出了M区域零假设的似然比检验≥ 1并导出其渐近分布。据我们所知，还没有推导出LRT的渐近分布来测试M寄存器的零假设≥ 为了检验无区域切换的无效假设，即M=1，Hansen（1992）推导了LRT渐近分布的上界，Garcia（1998）也研究了这个问题。Carrasco等人。

（2014）针对一般动态模型（包括区域切换模型）中的参数恒定性提出了信息矩阵类型测试。Cho和White（2007）通过将模型改写为双组分混合模型，得出了准LRT的渐近分布，用于测试单政权与两政权的对比，从而忽略了政权的时间依赖性。Qu和Zhuo（2017）扩展了Cho和White（2007）的分析，并推导出LRT的渐近分布，该分布适当考虑了在对潜在政权过渡概率的某些限制下政权的时间依赖性。Marmer（2008）和Dufour及Luger（2017）通过使用LRT的不同方法，对无政权转换的无效假设进行了研究。以上讨论的研究侧重于测试单一制度和两种制度。然而，据我们所知，LRT的渐近分布用于检验M模式的零假设≥ 2仍然未知。文献中的几篇论文考虑了在完全假设下某些参数无法识别时的测试。其中包括Davies（1977、1987）、Andrews和Ploberger（1994、1995）、Hansen（1996a）、Andrews（2001）以及Liu和Shao（2003）等。Chesher（1984）、Lee和Chesher（1986）、Rotnitzky et al.（2000）和Gu et al.（2017）等人在iid环境中研究了adegenerate Fisher信息矩阵的估计和测试。Chen等人（2014年）研究了混合模型中混合概率的统一推断。为了便于本文的分析，我们开发了一种Le Cam的二次平均差分（DQM）展开式，该展开式在丧失识别能力的情况下扩展了似然比，从而选择了Kasahara和Shimotsu（2015）的重新参数化和高阶展开式。

在iid设置中，Liu和Shao（2003）在广义得分函数的可识别性损失下开发了DQM扩展。我们对Liu和Shao（2003）进行了扩展，以适应依赖性和异质性数据，并对其进行了修改，以适应参数制度转换的背景Carter和Steigerwald（2012）表明，忽略时间依赖性可能会导致准最大似然估计量不一致。模型。使用DQM型展开比基于泰勒展开到Hessian项的“经典”方法具有优势，因为在马尔可夫区域切换模型中，随着展开顺序的增加，推导高阶展开变得单调乏味。此外，Liu和Shao（2003）没有涵盖具有正态分量的regimeswitching模型，因为他们的理论4.1假设广义得分函数是通过两次扩展似然比获得的，而我们的第6.2节表明，得分函数是正态情况下似然比的四阶导数的函数。我们的方法遵循了Douc等人（2004）[DMR后文]，他们推导了区域切换模型的最大似然估计（MLE）的渐近分布。通过应用缺失信息原理（Woodbury，1971；Louis，1982）并扩展DMR分析，我们将周期密度比的高阶导数表示为周期完整数据对数密度导数的条件期望，即状态变量可观测时的对数密度。

然后，通过对有限过去的条件，我们证明了周期密度比的这些导数可以用平稳、遍历和平方可积鞅差序列来近似，并且证明了这种近似满足DQM展开的正则条件。我们首先推导了LRT的渐近零分布，用于测试H：M=1和H：M=2。当区域特定密度不正常时，对数似然函数由重新参数化参数的二阶多项式的二次函数局部近似。当密度正常时，Fisher信息矩阵的失效程度和所需的扩展顺序取决于未识别参数的值；特别是，当潜在状态变量连续不相关时，模型简化为有限混合正态模型，其中需要四阶DQM展开来推导对数似然函数的二次近似。我们将对数似然展开到重新参数化参数的明智选择多项式，其中包括四阶多项式，以获得二次型对数似然函数的一致近似，并在Andrews的结果的基础上，通过在一组约束下最大化二次型，推导出LRT的共有零分布(1999, 2001).推导LRT的渐近零分布，用于测试H：M=MagainstHA：M=M+1≥ 2、我们将一组描述备选模型中真实空模型的参数划分为多个子集，每个子集对应于生成空模型的特定方式。

我们证明了LRT的渐近分布以Mrandom变量的最大值为特征，每个变量代表测试每个子集的LRT。我们还推导了局部备选方案下轻轨的渐近分布。Carrasco等人（2014年）表明，其试验的连续局部备选方案为n阶-1/4，其中n是样本大小。在测试有限混合正态回归模型中成分数量的相关问题中，Kasahara和Shimotsu（2015）表明，连续的局部备选方案为n阶-1/8（另见Chen和Li，2009；Chen等人，2012；Ho和Nguyen，2016）。我们表明，未识别参数的值影响相邻本地备选方案的收敛速度。当区域特定密度为正态时，一些相邻的局部备选方案为n阶-1/8，LRT显示出对其具有非平凡的力量。Carrasco等人（2014年）的测试对此类备选方案没有约束力，而Qu andZhuo（2017年）的测试排除了此类备选方案，因为其对参数空间的限制。在零假设和局部选择下，证明了参数引导的渐近有效性。仿真结果表明，我们的自举LRT具有良好的有限样本特性。我们的结果还表明，bootstrap LRT对于测试隐马尔可夫模型中的隐状态数是有效的，因为本文的模型包括了作为特例的隐马尔可夫模型。虽然有几篇论文分析了隐马尔可夫模型极大似然估计的渐近性质，但用于测试隐状态数的LRT的渐近分布一直是一个悬而未决的问题。本文的其余部分组织如下。

在介绍了第2节中的符号和假设之后，我们在第3节中讨论了费希尔信息矩阵的简并性和制度转换模型中的可识别性损失。第4节确定了DQM类型扩展。第5节介绍了密度比导数的一致收敛性。第6节和第7节推导了LRT的渐近零分布。第8节推导了局部备选方案下的渐近分布。第9节建立了参数引导的一致性。第10节使用美国GDPper人均季度增长率数据报告了模拟和实证应用的结果。第11节收集了证据和辅助结果。2符号和假设let：=表示“定义等于”允许=> 表示某个空间∏中由∏索引的随机过程序列的弱收敛性。对于矩阵B，设λmin（B）和λmax（B）分别是B的最小和最大特征值。对于k维向量x=（x，…，xk）和矩阵xb，定义| x |：=√xx和| B |：=pλmax（BB）。对于k×1向量a=（a，…，ak）和函数f（a），让af（a）：=(f（a）/一f（a）/ak），并让jaf（a）表示形式的派生集合(j/人工智能ai。aij）f（a）。设I{A}表示一个指示符函数，当A为真时取值1，否则取值0。C表示一个通用的非负有限常数，其值可能会从一个表达式变为另一个表达式。让a∨b：=最大{a，b}和a∧b：=最小值{a，b}。设bxc表示小于或等于x的最大整数，定义（x）+：=max{x，0}。给定序列{fk}nk=1，设νn（fk）：=n-1/2Pnk=1[fk- Eθ*（fk）]。对于由n=1，2，…索引的序列Xnε。

.ε，我们写Xnε=Opε（an），如果对于任何δ>0，存在ε>0和M，n<∞ 这样p（| Xnε/an |≤ M）≥ 1.- 对于所有n>n，我们写Xnε=opε（an），如果对于任何δ，δ>0，请参见Leroux（1992），Francq和Roussignol（1998），Krishnamurthy和Ryd\'en（1998），Bickel等人（1998），Jensen和Petersen（1999），Le Gland和Mevel（2000），以及Douc和Matias（2001）。Gassiat和Keribin（2000）表明，当特定密度存在已知且不同的参数值时，用于测试H：M=1和HA：M=2的LRT会出现偏差。Dannemann和Holtzmann（2008）分析了修改后的准LRT，以测试两种状态相对于三种状态的零。存在ε>0，并确保P（| Xnε/an |≤ δ) ≥ 1.- δ对于所有n>n。松散地说，Xnε=Opε（an）和Xnε=Opε（an）分别意味着当ε为sufficientlysmall时，Xnε=Op（an）和Xnε=Op（an）。所有限值均取n→ ∞ 除非另有说明。附录中给出了所有命题和引理的证明。考虑由离散时间随机过程{（Xk，Yk，Wk）}定义的马尔可夫状态切换过程，其中（Xk，Yk，Wk）取一组XM×Y×W中的值，其中Y RQ和W Rqw，B（XM×Y×W）表示相关的钻孔σ场。对于随机过程{Zk}和a<b，定义Zba：=（Za，Za+1，…，Zb）。表示Yk-1： =（Yk-1.Yk公司-s） 对于固定整数s和yba：=（Ya，Ya+1，…，Yb）。这里，Yk是一个可观测变量，Xkis是一个不可观测状态变量，Yk-1是作为协变量使用的滞后Yk，WK是弱外源协变量。DMR的模型不包括Wk。假设1。（a） {Xk}∞k=0是一个一阶马尔可夫链，状态空间XM：={1，2，…，M}。（b） 对于每个k≥ 1，Xkis独立于（Xk-2，Yk-1，W∞) 给定Xk-1.

（c） Foreach k公司≥ 1，Yk有条件地独立于（Yk-s-1.-s+1，Xk-1，周-1，W∞k+1）给定（Yk-1、Xk、Wk）。（d） W∞条件独立于（Y，X）给定的W.（e）{（Xk，Yk，Wk）}∞k=0是一个严格的静态遍历过程。当没有wk时，DMR为（Xk，Yk）在吸积（A2）中的遍历性提供了一个有效条件。为了简洁起见，我们假设（Xk，Yk，Wk）的遍历性。不可观测的马尔可夫链{Xk}称为区域。整数M表示模型中规定的状态数。参数θM=（θM，y，θM，x）属于ΘM=ΘM，y×ΘM，x，RqM的一个紧子集。θM，x包含Xk的转移概率参数，我们用qθM，x（Xk）表示-1，xk）：=P（xk=xk | xk-1=xk-1). 设pij：=qθM，x（i，j），对于i=1，曼德j=1，M- qθM，x（i，M）由qθM，x（i，M）=1确定-颗粒物-1j=1pij。θM，y=（θ，…，θM，γ）包含给定Yk（Yk）的条件密度参数-1，Xk，Wk），由gθM，y（yk | yk）给出-1，xk，wk）：=Pj∈XMI{xk=j}f（yk | yk-1、工作时间；γ、 θj）。这里，γ是不随区域变化的结构参数，θjis是随区域变化的区域特定参数，f（yk | yk-1、工作时间；γ、 θj）是给定yk的条件密度（yk-1，wk）当xk=j.Letpθ（yk，xk | yk-1，xk-1，wk）：=qθx（xk-1，xk）gθy（yk | yk-1，xk，wk）=qθx（xk-1，xk）Xj∈XMI{xk=j}f（yk | yk-1、工作时间；γ、 θj）。我们假设ΘM，y=Θθ×·····×Θθ×γ，真实参数值用θ表示*M、 我们作出以下假设，对应于DMR中的（A1）–（A3）。假设2。（a） 0<σ-:= infθM，x∈ΘM，xminx，x∈XMqθM，x（x，x）和σ+：=supθM，x∈ΘM，xmaxx，x∈XMqθM，x（x，x）<每M 1。