马尔可夫区域切换模型中区域数的检验

在H0m下，如果θM=θM+1=θ，则（M+1）-区域模型（46）生成真实的M区域密度（45）*并将XK的过渡矩阵简化为真正M政权模型的过渡矩阵。我们通过写入θM+1，xasθM+1，x=（θxm，πxm）重新参数化xkb的转移概率，其中θxm是在H0m下识别的点，而πxm不是在H0m下识别的点。XkunderθM+1的跃迁概率等于Xkunderθ的跃迁概率*M、 xifand仅当θxm=θ*xm。详细推导，包括θ的定义*附录第11.2.5节提供了xmis。定义Υ的子集*对应于H0masΥ*m：=θM+1∈ ΘM+1：θj=θ*jfor 1≤ j<m；θm=θm+1=θ*m；θj=θ*j-1对于h+1<j≤ M+1；γ = γ*; θxm=θ*xm公司;然后，Υ*= Υ*∪ ··· ∪ Υ*Mholds。对于M=M，M+1，设\'n（θM，ξM）：=对数PMx=1pθM（Yn | Y，x）ξM（x）表示给定初始分布ξM（x）的Mregime对数似然∈ ΞM。我们将ξM（x）视为固定值。Let^θM：=arg maxθM∈ΘM\'n（θM，ξM）和^M+1：=arg maxθM+1∈ΘM+1\'n（θM+1，ξM+1）。以下命题表明，极大似然估计在以下意义上是一致的，即^θM+1和Υ之间的距离*概率趋于0。命题13的证明与命题6的证明基本相同，因此省略。假设9。（a） ΘMandΘM+1紧凑*ΘM.（b）Forall（x，x）内部的Mis∈ X和所有（y、y、w）∈ Y×Y×W，f（Y | Y，W；γ，θ）在（γ，θ）中是连续的。（c） Eθ*M[对数（pθM（Y | Y-m、 W-m） ]=Eθ*M[对数pθ*M（Y | Y-m、 W-m） ]对于所有m≥ 0当且仅当θM=θ*M、 （d）Eθ*M[对数（pθM+1（Y | Y-m、 W-m） ]=Eθ*M[对数pθ*M（Y | Y-m、 W-m） ]对于所有m≥ 0当且仅当θM+1∈ Υ*.提案13。假设假设1、2和9成立。然后，在M=M的零假设下，^θMp→ θ*指令infθM+1∈Υ*|^θM+1- θM+1 | p→ 设LRM，n：=2[`n（ξM+1）- `n（^θM，ξM）]表示用于测试的LRT H：M=Magainst HA：M=M+1。

通过分析μM+1时LRT的行为，我们继续推导LRT的渐近分布∈ Υ*m对于每个m。定义Jm：={m，m+1}。注意如果Xk∈ Jkm，则Xk在jm上遵循一个两态马尔可夫链，其转移概率的特征是αm：=Pθm+1（Xk=m | Xk∈ Jm）和%m：=corrθm+1（Xk-1，Xk |（Xk-1，Xk）∈ Jm）。将重新参数化的πxm收集到πxm：=（%m，αm，φm），其中φmd不会影响Xkwhen Xk的转移概率∈ Jkm。详细推导见附录第11.2.5节。定义qkj：=I{Xk=j}；然后，我们可以写出α和%masαm=Eθm+1（qkm | Xk∈ Jm）和%m=corrθm+1（qk-1，m，qkm |（Xk-1，Xk）∈ Jm）。因为∞-∞没有提供区分Xk=m和Xk=m+1的信息如果θm=θm+1，我们可以写入α和%masαm=Eθm+1（qkm | Xk∈ 吉咪，Y∞-∞) 和%m=corrθm+1（qk-1，m，qkm |（Xk-1，Xk）∈ 吉咪，Y∞-∞).（47）7.1非正态分布对于非正态分量分布，考虑以下类似于（8）的重新参数化：θmθm+1=νm+（1- αm）λmνm- αmλm！。将重新参数化的识别参数收集到一个向量ψm：=（ηm，λm），其中ηm=（γ，{θj}m-1j=1，νm，{θj}m+1j=m+2，θxm），因此重新参数化的（m+1）-状态对数似然函数为` n（ψm，πxm，ξm+1）。Letψ*m=（η*m、 λ*m） =（（θ）*M） ，0）表示ψmunder H0m的值。确定ykasgψm（yk | yk）的重新参数化条件密度-1，xk）：=I{xk∈ Jm}f（yk | yk-1.γ、 νm+（qkm- αm）λm）+Xj∈Jmqkjf（yk | yk-1.γ、 θj），其中Jm：={1，…，M+1}\\Jm。让f*mk表示f（Yk | Yk-1.γ*, θ*m） 。

它遵循（47）和迭代期望定律*M“I{Xk∈ Jm}（qkm- αm）gψ*m（Yk | Yk-1，Xk）Yn公司-∞#= Eθ*MEθ*Mqkm- αmf*mk公司Xk公司∈ Jm，Yn-∞I{Xk∈ Jm}Yn公司-∞= 0，Eθ*M“I{Xt∈ Jm}I{Xt∈ Jm}（qth- αm）（qth- αm）gψ*m（Yt | Yt-1，Xt）gψ*m（Yt | Yt-1，Xt）Yn公司-∞#= Eθ*MEθ*M（qth- αm）（qth- αm）f*mtf公司*mt公司Xtt公司∈ Jt公司-t+1米，Yn-∞I{（Xt，Xt）∈ Jm}Yn公司-∞=αm（1- αm）%t-tmf公司*mtf公司*mtPθ*M（（Xt，Xt）∈ Jm | Yn-∞), t型≥ t、 （48）如果第二个等式成立，因为gψ*m（Yk | Yk-1，Xk）=f*mkif Xk∈ Jm，最后一个等式成立，因为，条件是{Xtt∈ Jt公司-t+1米，Yn-∞}, Xttis是一个具有参数（αm，%m）的两态平稳马尔可夫过程。让g*0k，q*0k和p*0表示gθ*M、 y（Yk，Xk | Yk-1，Xk-1） ，qθ*M、 x（Xk-1，Xk），和pθ*M（Yk | Yk-1).允许g级*0k表示gθM，y（Yk，Xk | Yk）的导数-1，Xk-1） 在θ评估*M、 y和定义q*0和p*0k类似。重复类似于（10）–（15）的推导，但使用（48）代替（12），我们获得ηmpψ*mπ（Yk | Yk-1） /pψ*mπ（Yk | Yk-1） =kXt=1Eθ*h类θMlog（g*0tq*0吨）Yki-k-1Xt=1Eθ*h类θMlog（g*0tq*0吨）Yk公司-1i=θMpθ*M（Yk | Yk-1） /pθ*M（Yk | Yk-1),(49)λmpψ*mπ（Yk | Yk-1） /pψ*mπ（Yk | Yk-1) = 0, λmηmpψ*mπ（Yk | Yk-1） /pψ*mπ（Yk | Yk-1) = 0, (50)λmλmpψ*mπ（Yk | Yk-1） pψ*mπ（Yk | Yk-1） =αm（1- αm）θθf*mkf公司*mkPθ*M（Xk∈ Jm | Yk）+αm（1- αm）k-1Xt=1%k-tm公司θf*mtf公司*mt公司θf*mkf公司*mk公司+θf*mkf公司*mk公司θf*mtf公司*mt公司Pθ*M（（Xt，Xk）∈ Jm | Yk）。（51）定义%：=（%。

，%M），通过将（λ，π）替换为（λM，πM）将（λ，π）定义为（17）中的tλ（λM，πM），并将lett（ψM，πM）：=ηM- η*tλ（λm，πm）！，s %k：=▄sηk▄sλ▄%k！，式中，sηk：=ηmpψ*mπ（Yk | Yk-1） pψ*mπ（Yk | Yk-1） ，▄sλ▄%k：=sλ%k。。。sMλ%Mk,（52）和smλ%mk：=V（smλλ%mk），其中smλλ%mk的定义类似于（18）假设λλ%mk：=θθf*mkf公司*mkPθ*M（Xk∈ Jm | Yk）+k-1Xt=1%k-tm公司θf*mtf公司*mt公司θf*mkf公司*mk公司+θf*mkf公司*mk公司θf*mtf公司*mt公司Pθ*M（（Xt，Xk）∈ Jm | Yk）。（53）与（20）类似，定义Iη：=Eθ*M（▄sηk▄sηk），▄Iλ▄%▄%：=limk→∞Eθ*M（▄sλ▄%k▄sλ▄%k），▄Iλη▄%：=limk→∞Eθ*M（▄sλ▄%k▄sηk），▄Iηλ▄%：=▄Iλη▄%，▄Iλ。η%]%:=Iλ%]%-Iλη%~I-1ηИIηλ∧%，~Imλ。η%m：=Eθ*M[Gmλ.η%M（Gmλ.η%M）]，Zmλ%M：=（∧Imλ.η%M）-1Gmλ。η%m，（54），其中Gλ。η%=（（Gλ.η%），（GMλ.η%M））是一个Mqλ-向量平均值为零的高斯过程，cov（Gλ.η%，Gλ.η%）=Iλ。η ~%~%. 注意Gλ。η%对应于投影的残差▄sλ%kon▄sηk。定义▄tmλ%mbygmλ%m（▄tmλ%m）=inftλ∈v（Rq）gmλ%m（tλ），gmλ%m（tλ）：=（tλ- Zmλ%m）~Imλ。η%m（tλ- Zmλ%m）。下面的命题给出了LRT的渐近零分布。在状态假设下，对数似然函数允许在Υ的邻域内进行二次近似*M与命题7中的相似。定义Amnεc（ξ）：={M+1∈ ΘM+1：{`n（ψM，πM，ξ）-`n（ψ）*m、 πm，ξ）≥ 0} ∧ |t（ψm，πm）|<ε}∪ 北卡罗来纳州/√n、 在H下：M=M，对于任何c>0，对于M=1，M、 且在ξ中均匀∈ Ξ和θM+1∈ Amnεc（ξ），`n（ψm，πm，ξ）- `n（ψ）*m、 πm，ξ）-√nt（ψm，πm）νn（s%mk）+nt（ψm，πm）I%mt（ψm，πm）/2=opε（1），其中s%mk：=（￠sηk，（smλ%mk）），I%m=limk→∞Eθ*M（s%mks%mk）。因此，LRT作为Mrandom变量的最大值呈交感分布，其中每个变量表示测试H0m的LRT的渐近分布。表示%mbyΘ%m的参数空间，并设Θ%：=Θ%×。×Θ%M.假设10。0<inf %∈Θ%λ最小值（▄I▄%）≤ sup %∈Θ%λmax（ΘI %）<∞ 对于▄I▄%：=limk→∞Eθ*M（▄s▄%k▄s▄%k），其中▄s▄%k在（52）中给出。提案14。

假设假设假设1、2、4、9和10成立。然后，在H下：M=M，LRM，nd→ 最大值=1，。。。，Mnsup%m∈百万欧元%（▄tmλ%m）▄Imλ。η%mtmλ%mo、 7.2异方差正态分布在第6.2节中，我们假设Yk∈ 第j个区域中的R遵循正态分布，区域特定截距和方差的密度由（22）给出。考虑以下类似于（23）的重新参数化：ζmζm+1σmσm+1=νζm+（1- αm）λζmνζm- αmλζmνσm+（1- αm）（2λσm+Cλum）νσm- αm（2λσm+Cλum）,式中，νζm=（νu，νβ），λζm=（λum，λβm），C：=-（1/3）（1+αm），C：=（1/3）（2- αm）。在第7.1节中，我们将重新参数化的识别参数收集到ψm中：=（ηm，λm），其中ηm=（γ，{θj}m-1j=1，νζm，νσm，{θj}m+1j=m+2，θxm）和λm：=（λζm，λσm）。与（24）类似，定义了ykasgψm（yk | yk）的参数化条件密度-1，xk）=Xj∈Jmqkjf（yk | yk-1.γ、 θj）+I{xk∈ Jm}fyk | yk-1.γ、 νζm+（qkm- αm）λζm，νσm+（qkm- αm）（2λσm+（C- qkm）λum）.让g*mk，f*mk，g级*mk，和f*mk表示gψ*m（Yk | Yk-1，Xk），f（Yk | Yk-1.γ*, θ*m） ，则，gψ*m（Yk | Yk-1，Xk），以及f（Yk | Yk-1.γ*, θ*m） 。根据（26）和类似于（48）的推导，我们得到了以下与同质性测试中的（27）相对应的结果：Eθ*Mh公司λiumg*mk/g*mk公司Yk公司-∞i=0，i=1，2，3，Eθ*Mh公司λumg*mk/g*mk公司Yk公司-∞i=αm（1- αm）b（αm）(uf*mk/f*mk）Pθ*M（Xk∈ Jm | Yk-∞)= b（αm）Eθ*Mh公司λσmg*mk/g*mk公司Yk公司-∞i、 （55）重复导致（49）–（51）的计算，并使用（55）得出以下结果。第一，（49）和（50）仍然有效；第二，要素λmλmpψ*π（Yk | Yk-1） /pψ*π（Yk | Yk-1） 除（1，1）外，当调整λσmb的导数乘以2时，公式由（51）给出；第三λumpψ*mπ（Yk | Yk-1） pψ*mπ（Yk | Yk-1） =αm（1- αm）k-1Xt=1%k-tm公司uf*mtf公司*mt公司uf*mkf公司*mk公司Pθ*M（（Xt，Xk）∈ Jm | Yk）。对于m≥ 0，定义ζmk，m（%m）：=Pk-1吨=-m+1%k-t型-1平方米(uf*mt公司uf*mk/f*mtf公司*mk）Pθ*M（（Xt，Xk）∈Jm | Yk）。

与（32）类似，将综合得分的要素定义为* smλuβ%mksmλuσ%mksmλβu%mksmλββ%mksmλβσ%mksmλσu%mksmλβσ%mksmλσ%mk:=θθf*mkf公司*mkPθ*M（Xk∈ Jm | Yk）+k-1Xt=1%k-tm公司θf*mtf公司*mt公司θf*mkf公司*mk公司+θf*mkf公司*mk公司θf*mtf公司*mt公司Pθ*M（（Xt，Xk）∈ Jm | Yk）。（56）与（33）类似，通过重新定义smλ%mkin（52）assmλ%mk，定义（52）中的s%kas：=ζmk，0（%m）/2 2smλuσ%mk2smλσ%mk（smλβu%mk）2（smλβσ%mk）V（smλβ%hk）. （57）定义Imλ。η%mand Zmλ%mas在（54）中，smλ%mk在（57）中定义。设Zmλ0和Imλ。η0表示Zmλ%和Imλ。η%m在%m=0时计算。定义∧λ如（35）中所示，并通过将%替换为%m来定义∧λ%mas。类似于（36），定义▄tm1λ和▄tm2λ%mby rλ（▄tm1λ）=inftλ∈∧∧rmλ（tλ）and rλ%m（∧tm2λ%m）=inftλ∈∧λ%mrmλ%m（tλ），其中rmλ（tλ）：=（tλ- Zmλ0）Imλ。η0（tλ- Zmλ0）和rmλ%m（tλ）：=（tλ- Zmλ%m）Imλ。η%m（tλ- Zmλ%m）。以下命题建立了LRT的渐近零分布。与非正态情况一样，LRT渐近分布为Mrandomvariables的最大值。假设11。当（57）中给出▄s▄%mk时，假设10成立。提案15。假设假设1、2、4、9和11成立，第j个区域的成分密度由（22）给出。然后，在H下：m=m，LRM，nd→ 最大值=1，。。。，M{max{I{%M=0}（~tm1λ）Imλ。η0tm1λ，sup%m∈Θm%（Θtm2λ%m）Imλ。η%mtm2λ%m}}。7.3同质正态分布在第6.3节中，我们假设Yk∈ 第j个区域中的R遵循正态分布，具有区域特定截距和公共方差，其密度由（37）给出。LRT的渐近分布是通过使用重新参数化导出的θmθm+1σ=νθm+（1- αm）λmνθm- αmλmνσm- αm（1- αm）λum,与（38）类似，并遵循第6.3节和第7.2节的推导。为简洁起见，我们省略了推导的细节。

在（53）中定义smλλ%mkas，并表示smλλ%mkassmλλ%mk的每个元素=* smλuβ%mksmλβu%mksmλβ%mk！。与（43）类似，通过重新定义smλ%mkin（52）assmλ%mk，在（52）中定义s%kas：=ζmk，0（%m）/2 smλuk/3！smλuk/4！（smλβu%k）V（smλββ%k）, （58）式中smλiuk：=Pθ*M（Xk∈Jm | Yk）uif（Yk | Yk-1.γ*, θ*m） /f（Yk | Yk-1.γ*, θ*m） 对于i=3，4。以下命题建立了LRT的渐近零分布。假设12。当（58）中给出▄s▄%mk时，假设10成立。提案16。假设假设1、2、4、9和12成立，第j个区域的成分密度由（37）给出。然后，在H下：m=m，LRM，nd→ 最大值=1，。。。，M{max{I{%M=0}（~tm1λ）Imλ。η0tm1λ，sup%m∈Θ%m（￠tm2λ%m）Imλ。η%mtm2λ%m}，其中tm1λ和tm2λ%m定义为命题15，但根据（Zmλ%m，Imλ.η%m，Zmλ0，Imλ.η0）构造，由（58）中给出的smλ%mk和（44）中定义的∧λ和∧λ%mde构成，但在局部替代下用%m.8渐近分布替换%，在本节中，我们推导了局部替代下LRT的渐近分布。当我们关注测试H:M=1和HA:M=2的情况时，很容易将分析扩展到测试H:M=Magainst HA:M=M+1和HA:M=2的情况≥ 2、给定π∈ Θπ，我们定义了一个局部参数h：=√nt（ψ，π），所以h=hηhλ=√n（η- η*)√ntλ（λ，π）！，其中，tλ（λ，π）在不同模型中有所不同，由（18）、（31）和（42）给出。Givenh=（hη，hλ）和π∈ Θπ，我们考虑连续局部替代序列θn=（ψn，πn）=（ηn，λn，πn）∈ η×λ×π使得hη=√n（ηn- η*), hλ=√ntλ（λn，πn）+o（1）和πn- π=o（1）。（59）设Pnθ，xbe{Yk}nk=1上的概率测度，以Y，X和Wn的值为条件。

然后，对数似然比由logdpnθn，xdPnθ给出*,x=`n（ψn，πn，x）- `n（ψ）*, π、 x）=logPxnQnk=1fk（ηn，λn）qπn（xk-1，xk）Qnk=1fk（η*, 0)!,其中，对于非正态分布、异方差正态分布和同方差正态分布模型，fk（η，λ）分别由（9）、（24）和（39）的右侧定义。下面的结果来自Le Cam的第一个和第三个引理，有助于推导Pnθn，x命题17下LRT的渐近分布。假设命题7、9和11的假设分别适用于非正态、异方差正态和同余方差正态分布的模型。然后，在x中均匀∈ 十、 （a）Pnθn，xis相对于Pnθ相互相邻*,x、 （b）根据n，x，我们有log（dPn，x/dPn*,x） =hνn（s%nk）-hI%h+op（1），带νn（s%nk）d→ N（I%h，I%）。8.1非正态分布对于非正态分布，连续局部备选方案的序列由λn=(R)λ/n1/4给出，因为hλ=√nα（1-α） v（λn）=α（1）-α） v（(R)λ）保持不变。以下命题导出了H1n下非正态分布的LRT的渐近分布：（πn，ηn，λn）=（(R)π，η）*,？/λ/n1/4）。提案18。假设命题8的假设成立。对于“π”∈ π和λ6=0，定义hλ：=’α（1- (R)α）v（(R)λ）。然后，在H1n下：（πn，ηn，λn）=（(R)π，η）*,λ/n1/4），我们有→ sup%∈Θ%（~tλ%h）Iλ。η%~tλ%h，其中tλ%定义如（21）所示，但将（21）中的Zλ%替换为（Iλ.η%）-1Gλ。η%+hλ。8.2异方差正态分布对于异方差正态分布的模型，特征为（59）的连续局部备选序列包括n阶局部备选序列-1/8.提案19。假设命题10的假设适用于模型（22）。

对于“”%∈(-1, 1), α ∈ （0，1）和||Μ：=（|u，|σ，|β）6=（0，0，0），letHa1n：（%n，αn，ηn，λun，λσn，λβn）=（|%/n1/4，|α，η*,\'λu/n1/8，\'λσ/n3/8，\'λβ/n3/8），Hb1n：（%n，αn，ηn，λun，λσn，λβn）=（\'%，\'α，η）*,？λu/n1/4、？λσ/n1/4、？λβ/n1/4）和定义λ：=？α（1- \'（α）×（\'%\'λu，\'λu\'λσ，b（\'α）\'λu/12，\'λβ\'λu，0，0），hbλ：=\'（1- \'α）×（\'%\'λu，\'λu\'λσ，\'λσ，\'λβ\'λu，\'λβ\'λσ，v（\'λβ））。那么，对于j∈ {a，b}，在Hj1n下，我们有LRnd→ max{I{%=0}（~t1jλh）Iλ。η0t1jλh，sup%∈Θ%（~t2jλ%h）Iλ。η%~t2jλ%h}，其中▄t1jλhand▄t2jλ%hare定义如（36）所示，但将Zλ%替换为（Iλ.η%）-1Gλ。η%+hjλ。在局部替代方案Ha1n中，%nConverge为0，λunConverge为0的速度比n慢-1/4. 我们的测试对%=0附近的这些局部备选方案具有非同寻常的威力。相比之下，正如Carrasco et al.（2014）第5节所述，Carrasco et al.（2014）的测试对%=0附近的当地备选方案没有影响力。Qu和Zhuo（2017）提出的测试假设%以零为界，因此他们的测试规则为n。8.3同余正态分布具有同余正态分布的模型的局部备选方案也包括n阶方案-1/8在%=0附近。提案20。假设命题11的假设适用于模型（37）。对于“”%∈(-1, 1), α ∈ (0, 1), α6=0，且|λ：=（|λu，|λβ）6=（0，0），letHa1n：（%n，αn，ηn，λun，λβn）=（|%/n1/4，1/2+α/n1/8，η*,\'λu/n1/8，\'λβ/n3/8），Hb1n：（%n，αn，ηn，λun，λβn）=（\'%，\'α，η）*,？λu/n1/4，？λβ/n1/4），定义haλ：=（1/4）×（？%？λu，αλu, -|||||||||||||Μ/2，|||Μβ||u，0）和hbλ：=||α（1-？）×（？%？λu，0，0，？λβ？λu，v（？λβ））。对于j={a，b}，定义▄t1jλhand▄t2jλ%在（36）中，但将Zλ%替换为（Iλ.η%）-1Gλ。η%+hjλ，其中iλ。η%和Gλ。η%由（43）中定义的s%kde构成，∧λ和∧λ%由（44）中定义。

那么，在Hj1n下，我们有LRnd→ max{I{%=0}（~t1jλh）Iλ。η0t1jλh，sup%∈Θ%（~t2jλ%h）Iλ。η%~t2jλ%h}。9参数引导我们考虑以下参数引导，以获得我们LRT的引导临界值cα，带引导p值，用于测试H：M=Magainst HA：M=M+1.1。使用观测数据，计算^θM、^M+1和LRM，n.2。给定θM和ξM，在hw下生成B个独立样本{Yb，…，Ybn}Bb=1，且θM=θM条件为yand Wn的观测值。3、对于每个模拟样本{Ybk}nk=1（Y，Wn），在步骤1中估计^θbM和bM+1as，并让LRbM，n：=2[`n（θbM+1，ξM+1）- `n（^θbM，ξM）]，对于b=1，B、 4。设cα，Bbe为（1- α） 分位数{LRbM，n}Bb=1，并确定引导p值asB-1PBb=1I{LRbM，n>LRM，n}。以下命题显示了测试h的引导临界值cα，bf的一致性：M=1。我们省略了测试H:M的结果≥ 2.很容易将分析扩展到M的情况≥ 2带有更繁琐的符号。提案21。假设命题7、9和11的假设分别适用于非正态、异方差正态和同余方差正态分布的模型。然后，在命题18、19和20.10模拟和经验应用10.1模拟中描述的局部备选方案下，引导临界值cα、B收敛到概率asn和B的渐近临界值，我们考虑以下两种模型：模型1：Yk=uXk+βYk-1+εk，εk~ N（0，σ），（60）模型2：Yk=uXk+βYk-1+εk，εk~ N（0，σXk），（61），其中Xk∈ {1，…，M}，其中pij=p（Xk=i | Xk-1=j）。（60）中的模型1与Cho和White（2007）中使用的模型相似。该模型具有切换截距，但方差参数σ不会在不同区域之间切换。