马尔可夫区域切换模型中区域数的检验

（77）因supθ而保持∈NPn[vk，0（θ）vk，0（θ）- vk，∞（θ）vk，∞（θ）]=提案5中的op（1）和vk，∞（θ）vk，∞（θ）满足统一的大数定律（Newey和McFadden（1994）的引理2.4和脚注18），因为vk，∞（θ）从jlk，m，x（θ）和命题5，以及Eθ*supθ∈N|vk，∞(θ)|< ∞ 来自提案5。（78）因supθ而保持∈Nνn（vk，0（θ）- vk，∞（θ））=来自命题5的op（1）和νn（vk，∞(θ)) => W（θ）来自Pollard（1990）的定理10.2，因为（i）θ的空间是完全有界的，（ii）νn（vk，∞（·））收敛于鞅CLT中的W（·），因为evk，∞（θ）是一个静止的L（Pθ*) 所有θ的鞅差序列∈ N根据命题5和（iii）{νn（vk），∞（·））：n≥ 1} 根据Hansen（1996b）的定理2是随机等连续的，因为vk，∞（θ）在θ和vk中是Lipschitz连续的，∞（Pθ）和Lipschitz系数为inLq（Pθ*) 命题5中的q>dim（θ）。我们继续证明（76）右侧的条款满足假设3（a）–（g）。观察t（ψ，π）=0当且仅当ψ=ψ*. 首先，s%K通过命题5、（77）、（78）和假设6满足假设3（a）、（b）和（g）。其次，rk，0（ψ，π）满足命题5和（78）中的假设3（c）和（d）。第三，ukx（ψ，π）满足命题5（c）的假设3（e）和（f）。因此，所述结果来自推论1（b）。命题8的证明。该证明类似于Kasahara和Shimotsu（2015）的命题3。设tη：=η- η*和tλ：=α（1- α） v（λ），使t（ψ，π）=（tη，tλ）。设^ψπ：=arg maxψ∈Θψ\'n（ψ，π，ξ）表示ψ的MLE，将t（^ψπ，π）拆分为t（^ψπ，π）=（^tη，^tλ），其中我们抑制了^tη和^tλ对π的依赖性。定义G%n：=νn（s%k）。

LetG%n=“GηnGλ%n#，Gλ。η%n：=Gλ%n- Iλη%I-1ηGηn，Zλ。η%n：=I-1λ.η%Gλ。η%n，tη。λ%：=tη+I-1ηIηλ%tλ。然后，我们可以写出（19）assupξ∈Ξsupθ∈Anεc（ξ）2[`n（ψ，π，ξ）- `n（ψ）*, π, ξ)] - 安(√ntη。λ%) - B%n(√ntλ）= op（1），（79），其中（tη.λ%）=2tη。λ%Gηn- tη。λ%Iηtη。λ%，B%n（tλ）=2tλGλ。η%n- tλIλ。η%tλ=Zλ%nIλ。η%Zλ%n- （tλ- Zλ%n）Iλ。η%（tλ）- Zλ%n）。（80）观察2[`0n（^θ）- `0n（θ*)] = 最大η[2√ntηGηn- ntηIηtη]+op（1）=最大η。λ%An(√ntη。λ%+op（1），将推论1应用于\'0n（θ），并注意到√ntη和√ntη。λ%接近Rdim（η）。结合（79），我们得到，在π中一致∈ π，2[`n（ψπ，π，ξ）- `0n（^θ）]=B%n(√n^tλ）+op（1）。（81）用B%n定义tλ(√ntλ）=最大值λ∈α(1-α） v（λ）B%n(√ntλ）。那么，我们有2[`n（φψπ，π，ξ）- `0n（^θ）]=B%n(√ntλ）+op（1），在π中均匀∈ π，因为（i）B%n(√ntλ）≥ 2[`n（^ψπ，π，ξ）- `0n（^θ）]+op（1）来自tλ和（81）的定义，以及（ii）2[`n（^ψπ，π，ξ）-`0n（^θ）]≥ B%n(√n▄tλ）+op（1），从^ψ（79）的定义，以及▄tλ=op（n-1/2).最后，给出了sup%B%n的渐近分布(√ntλ）源自于将Andrews（2001）的定理1（c）应用于B%n(√ntλ）。首先，Andrews（2001）的假设2基本上适用于B%n(√ntλ）。其次，Andrews（2001）的假设3被（78）和假设6所满足。Andrews（2001）的假设4符合命题7。假设5*Andrews（2001）holdswith BT=n1/2，因为α（1- α） v（Θλ）局部等于锥v（Rq），前提是α（1- α） 所有α>0∈ Θα. 因此，sup%∈Θ%B%n(√ntλ）d→ sup%∈Θ%（~tλ%Iλ.η%~tλ%）源自Andrews（2001）的定理1（c）。命题9的证明。证明类似于命题7。定义∧jk，m，x-m（ψ，π）和∧jk，m（ψ，π），如命题7的证明。

扩展lkθx- ψ周围1/5倍*与（75）类似，当fixingπ给出时，使用ψ∈ [ψ, ψ*],lkθx- 1=Xj=1∧jk，0（ψ*, π)(ψ)j＋∧k，0（ψ，π）(ψ)5+ukx（ψ，π），（82），其中ukx（ψ，π）：=Pj=1[λjk，0，x（ψ*, π)-∧jk，0（ψ*, π)](ψ)j+[λk，0，x（ψ，π）-∧k，0（ψ，π）](ψ)定义pψπk，0：=pψπ（Yk | Yk-1). 观察（33）满意度%k中定义的s%kde：=ηpψ*πk，0/pψ*πk，0ζk，0（%）/2λuλσpψ*πk，0/α（1- α） pψ*πk，0λσpψ*πk，0/2α（1- α） pψ*πk，0λβλupψ*πk，0/α（1- α） pψ*πk，0λβλσpψ*πk，0/α（1- α） pψ*πk，0V(λβλβpψ*πk，0）/α（1）- α） pψ*πk，0.注意到λpψ*π（Yk | Yk-1） =0和ληpψ*π（Yk | Yk-1） =0从（13）和（14）中，我们可以将（82）重写为，其中t（ψ，π）和s%kde定义在（30）和（33）中，lθkx- 1=t（ψ，π）s%k+rk，0（π）+ukx（ψ，π），（83），其中rk，0（π）：=e∧k，0（π）τ（ψ）+∧k，0（ψ，π）(ψ)5+ λu[λupψ*πk，0- b（α）λσpψ*πk，0]/4！pψ*πk，0，τ（ψ）是收集{(ψ)j} j=2不在t（ψ，π）中，且∧k，0（π）表示{∧jk，0（ψ）对应元素的向量*, π） }j=2。如果（83）右侧的项满足假设3，则所述结果来自推论1。与命题8的证明类似，定义vk，m（θ）：=（ζk，m（%），∧k，m（ψ，π），∧k，m（ψ，π））。注意，ζk，m（%）满足命题5，因为中值定理和λupψ*0α（Yk | Yk-1.-m） =0表示ζk，m（%）=[λupψ*%α（Yk | Yk-1) -λupψ*0α（Yk | Yk-1)]/[%α(1-α） pψ*%α（Yk | Yk-1)] = %λupψ*α%（Yk | Yk）-1.-m） /[α（1-α） pψ*\'%α（Yk | Yk-1.-m） “%”的∈ [0, %]. 因此，vk，∞（θ）：=limm→∞vk，m（θ）定义良好，vk，0（θ）和vk，∞（θ）通过重复命题8证明中的论点来满足（77）–（78）。我们继续证明（83）右侧的项满足假设3。观察t（ψ，π）=0当且仅当ψ=ψ*. s%k和ukx（ψ，π）满足假设3，即s%k是vk，0（θ）的线性函数，并在命题7b的证明中使用变元，将假设6替换为假设7。

我们证明rk、0（π）的每个分量都满足假设3（c）和（d）。第一，∧k，0（ψ，π）(ψ)5满足命题5的假设3（c）和（d），（78）和λu=（12λu/b（α））[λσ+b（α）λu/12]- 12（λσ/b（α））λ|||||σ=O（|ψ| | t（ψ，π）|）。第二，λu[λupψ*πk，0- b（α）λσpψ*πk，0]/pψ*πk，0满足引理7（b）中的假设3（c）和（d）。第三，forek、 0（π）τ（ψ），观察ληjpψ*πk，对于任何j，0=0≥ 1鉴于（24）–（27）。因此，ek、 0（π）τ（ψ）写为，带η := η - η*,ek、 0（π）τ（ψ）=(η2） pψ*πk，0(η)2/2!pψ*πk，0+R3kθ+R4kθ，（84），其中R3kθ：=(ψ3） pψ*πk，0(ψ)3/3!pψ*πk，0andR4kθ：=[(ψ4） pψ*πk，0(ψ)4.- λupψ*πk，0λu]/4！pψ*πk，0。（85）（84）中的第一项明显满足假设3（c）和（d）。R3kθ中的术语属于以下三组中的一组：（i）与λσ相关的术语，（ii）与λu相关的术语，或（iii）其他术语。这些项满足假设3（c）和（d），因为项（i）以|ψ| | t（ψ，π）|为界，因为λσ=λσ[λσ+b（α）λu/12]- （λub（α））λuλσ/12，项（ii）以引理7（a）中的%λu为界，而（iii）中的项以|ψ| t（ψ，π）|为界，因为它们包含η或λiμλjσλkβ形式的项，i+j+k=3，i，j 6=3。类似地，R4kθ中的术语满足假设3（c）和（d），因为它们包含η或λiμλjσλkβ形式的项，i+j+k=4，i 6=4。这证明rk，0（π）满足假设3（c）和（d），并且所述结果得到证明。命题10的证明。该证明类似于Kasahara和Shimotsu（2015）命题3（c）的证明。Let（^ψα，^%α）：=arg max（ψ，%）∈Θψ×Θ%`n（ψ，%，α，ξ）表示给定α的（ψ，%）的极大似然估计。考虑集合Θλ：={λ∈ Θλ: |λu| ≥ n-1/8（对数n）-1} 和λ：={λ∈Θλ: |λu| ≤ n-1/8（对数n）-1} ，使Θλ=Θλ∪ Θλ. 对于j=1，2，定义（ψjα，^%jα）：=arg max（ψ，%）∈Θψ×Θ%,λ∈Θjλ\'n（ψ，%，α，ξ）。

然后，在α中一致地，`n（ψα，ψ%α，α，ξ）=maxn`n（ψα，ψ%α，α，ξ），`n（ψα，ψ%α，α，ξ）o。此后，我们抑制了ψα，ψ%α等对α的依赖性。定义B%n（tλ（λ，%，α）），如命题8证明中的（80），但使用（30）和（33）中定义的t（ψ，π）和s%kde，并将（80）中的tλ替换为tλ（λ，%，α）。注意，命题8的证明用当前符号一直到（81），并且G%和I%在%中是连续的。此外，^%=Op（n-1/4（对数n）），因为^%（^λu）=Op（n-1/2）来自提案9（a）和|^λu|≥ n-1/8（对数n）-因此，B^%n(√ntλ（^λ，^%，α））=B0n(√ntλ（^λ，^%，α））+op（1），且在α，2中一致[`n（^ψ，^%，α，ξ）- `0n（^θ）]=最大值{B0n(√ntλ（λ，α），B^%n(√ntλ（^λ，^%，α））}+op（1）。（86）我们继续构造局部等于（35）中定义的锥∧∧和∧∧百分比的参数空间∧∧α和∧∧α%。定义c（α）：=α（1- α） ，表示对应于（31）bytλ（λj，λ%j，α）的tλ（λj，λ%j，α）的元素=^tj%^tj|∑|^tj∑|^tjβ∑|^tjv（β）:= c（α）^%j（λju）λ^λσ（λjσ）+b（α）（λju）/12^λjβ^λjβ^λjσv（λjβ）.注意，^λσ=Op（n-3/8对数n）和^λβ=Op（n-3/8对数n），因为（^tuσ，^tβu）=Op（n-1/2）来自命题9（a）和|^λu|≥ n-1/8（对数n）-此外，^tσ=c（α）（^λσ）+op（n-1/2）因为|λu|≤ n-1/8（对数n）-1.

因此，^tβσ=op（n-1/2），^tv（β）=op（n-1/2），^tσ=c（α）b（α）（^λu）/12+op（n-1/2），^tσ=c（α）（^λσ）+op（n-1/2).（87）鉴于此，设tλ（λ，%，α）：=（t%u，tuσ，tσ，tβu，tβσ，tv（β））∈ Rqλ，并考虑以下集合：∧∧∧λα：={tλ（λ，%，α）：t%u=c（α）%λu，tuσ=c（α）λuλσ，tσ=c（α）b（α）λu/12，tβu=c（α）λβλu，tβσ=0，tv（β）=0（λ，%）∈ λ×λ%}，∧∧∧α%：={tλ（λ，%，α）：t%u=c（α）%λu，tuσ=c（α）λuλσ，tσ=c（α）λσ，tβu=c（α）λβλu，tβσ=c（α）λβλσ，tv（β）=c（α）v（λβ∈ Θλ}.因为（86）中的B0n（·）不依赖于%，所以∧∧λα由α索引，但不依赖于%，而∧∧λα%由α和%索引，因为（86）中的B^%n（·）依赖于%。通过B0n确定（∧α，.%α）和∧α%(√ntλ（￠λα，￠%α，α））=最大λ（λ，%，α）∈∧∧αB0n(√ntλ（λ，%，α））和B%n(√ntλ（∧α%，%，α））=最大λ（λ，%，α）∈∧∧∧α%B%n(√ntλ（λ，%，α））。定义Wn（α）：=最大值{B0n(√ntλ（￠λα，￠%α，α）），sup%∈Θ%B%n(√ntλ（∧α%，%，α））}，那么我们有2[`n（ψ，ψ%，α，ξ）- `0n（^θ）]=Wn（α）+op（1），（88）在α中均匀分布∈ α，因为（i）Wn（α）≥ 2[`n（^ψ，^%，α，ξ）-`0n（^θ）]+op（1），考虑到（^λα，%α，λα%，（86）和（87）的定义，以及（ii）2[`n（^ψ，^%，α，ξ）- `0n（^θ）]≥max{2[maxη\'n（η，～λα，～%α，α，ξ），sup%∈Θ%maxη\'n（η，λα%，%，α，ξ）}-2\'0n（^θ）+op（1）=Wn（α）+op（1），根据（^ψ，^%）的定义。LRT的渐近分布遵循Andrews（2001）的定理1（c）到（B0n(√ntλ（￠λα，￠%α，α）），B%n(√ntλ（∧α%，%，α）））。首先，Andrews（2001）的假设2对B%n的适用性很小(√nt（λ，%，α））。其次，Andrews（2001）的假设3被（78）和假设7所满足。Andrews（2001）的假设4符合命题9。假设5*Andrews（2001）认为BT=n1/2，因为∧∧α局部（在%=0的邻域内，λ=0）等于锥∧∧，且∧∧α%局部均匀地等于锥∧∧%∈ Θ%.

因此，Wn（α）d→ 最大{I{%=0}（~tλ）Iλ。η0tλ，sup%∈Θ%（~tλ%）Iλ。η%~tλ%}根据Andrews（2001）的定理1（c）在α中一致，所述结果如下（88）。命题11的证明。证明类似于命题9。扩展lkθx- ψ周围1 fivetimes*并按照命题9 giveslθkx的证明进行- 1=t（ψ，π）s%k+rk，0（π）+ukx（ψ，π），（89），其中t（ψ，π）在（42）中定义，s%kis在（43）中定义，且满足%k：=ηpψ*πk，0/pψ*πk，0ζk，0（%）/2uf*k/3！f*kuf*k/4！f*kλβλupψ*πk，0/α（1- α） pψ*πk，0ev（λβ）pψ*πk，0/α（1- α） pψ*πk，0,andrk，0（π）：=e∧k，0（π）τ（ψ）+∧k，0（ψ，π）(ψ)5+ λu[λupψ*πk，0/pψ*πk，0- α(1 - α)(1 - 2α)uf*k/f*k] /3！+λu[λupψ*πk，0/pψ*πk，0- α(1 - α)(1 - 6α + 6α)uf*k/f*k] /4！，其中，ukx（ψ，π），pψπk，m，以及rk定义中的项，0（π）的定义与命题9证明中的定义类似。如果（89）右侧的项满足假设3，则证明所述结果。t（ψ，π）=0当且仅当ψ=ψ*. s%k和ukx（ψ，π）满足假设3，与命题9的证明相同。对于rk，0（π），First，∧k，0（ψ，π）(ψ)5满足假设3（c）和（d），与命题9的证明类似；λu由λu或λu控制，因为inf0≤α≤1最大{| 1- 2α|, |1 - 6α + 6α|} > 0. 第二，类似于命题9证明中的（84），writee∧k，0（π）τ（ψ）=(η2） pψ*πk，0(η)2/2!pψ*πk，0+~R3kθ+R4kθ，其中~R3kθ：=[(ψ3） pψ*πk，0(ψ)3.- λupψ*πk，0λu]/3！pψ*πk、0和R4kθ定义为R4kθin（85）。术语(η2） pψ*πk，0(η)2/2!pψ*πk，0明显满足假设3（c）和（d）。满足假设3（c）和（d）中的术语，因为它们包含η或λuλβ或λuλβ或λβ。术语inR4kθ满足假设3（c）和（d），因为它们包含η或λi|λ4形式的项-带1的iβ≤ 我≤ 3.

rk，0（π）中的最后两项满足引理8中的假设3（c）和（d）。因此，rk，0（π）满足假设3（c）和（d），所述结果得到证明。命题12的证明。这个证明类似于命题10的证明。Let（ψ，%，α）：=arg max（ψ，%，α）∈（ψ，%，α，ξ）表示（ψ，%，α）的极大似然估计。考虑集合Θλ：={λ∈ Θλ: |λu| ≥ n-1/6（对数n）-1} 和λ：={λ∈ Θλ: |λu| ≤ n-1/6（对数n）-1} ，使Θλ=Θλ∪ Θλ. 对于j=1，2，定义（ψj，αj）：=arg max（ψ，%，α）∈Θψ×Θ%×Θα,λ∈Θjλ\'n（ψ，%，α，ξ），因此\'n（ψ，Γ，%，α，ξ）=maxj∈{1,2}`n（ψj，αj，ξ）。定义B%n（tλ（λ，%，α）），如命题8证明中的（80），但使用（42）和（43）中定义的t（ψ，π）和s%kde，并将（80）中的tλ替换为tλ（λ，%，α）。观察^%=Op（n-1/6（对数n）），因为^%（^λu）=Op（n-1/2）来自提案11（a）和|^λu|≥ n-1/6（对数n）-1、利用命题10导致（86）的论点，我们得到2[`n（ψ，Γ%，α，ξ）- `0n（^θ）]=最大值{B0n(√ntλ（λ，λ%，α）），B^%n(√ntλ（^λ，^%，^α））}+op（1）。我们继续构造局部等于锥∧∧和∧∧%定义的参数空间（44）。定义c（α）：=α（1-α） ，表示对应于（42）bytλ（λj，λ%j，αj）的tλ（λj，αj）的元素=^tj%^tj^tj^tjβ^tjv（β）:= c（αj）^%j（^λju）（1- 2^αj）（^λju）（1- 6αj+6（αj））（λju）λjβλjuv（λjβ）.注意，^λβ=Op（n-1/3log n），因为^tβu=Op（n-1/2）来自提案11（a）和|^λu|≥n-1/6（对数n）-1、此外，|^λu|≤ n-1/6（对数n）-1.

因此，^tv（β）=op（n-1/2），^tu=op（n-1/2），^tu=op（n-1/2).鉴于此，设tλ（λ，%，α）：=（t%u，tu，tu，tβu，tv（β））∈ Rqλ，并考虑以下集合：■λλ：={tλ（λ，%，α）：t%u=c（α）%λu，tu=c（α）（1）- 2α）λu，tu=c（α）（1- 6α+6α）λu，tβu=c（α）λβλu，tv（β）=0（λ，%，α）∈ λ×λ%×α}，∧∧∧λα%：={tλ（λ，%，α）：t%u=c（α）%λu，tu=tu=0，tβu=c（α）λβλu，tv（β）=c（α）v（λβ）对于某些λ∈ Θλ}.通过B0n确定（∧、￠%、￠α）和￠λα%(√ntλ（∧，.%，α））=最大λ（λ，%，α）∈∧∧B0n(√ntλ（λ，%，α））和b%n(√ntλ（∧α%，%，α））=最大λ（λ，%，α）∈∧∧∧α%B%n(√ntλ（λ，%，α））。∧∧∧局部（在%=0的附近，λ=0）等于锥∧∧，因为当| 1-2α| ≥  > 0表示某个正常量, 我们有tu/tu→ 0为λu→ 0，当α在1/2附近时，我们有1-6α + 6α< 0.∧∧α%局部等于锥∧∧%均匀地在%∈ Θ%.定义值：=最大值{B0n(√ntλ（￠λ，￠%，￠α）），sup（α，%）∈Θα×Θ%B%n(√ntλ（∧α%，%，α））}。按照命题10的证明进行，得到2[`n（ψ，Γ%，α，ξ）- `0n（^θ）]=Wn+op（1），LRT的共态分布遵循Andrews（2001）的定理1（c）到（B0n(√ntλ（￠λ，￠%，￠α）），B%n(√ntλ（∧α%，%，α））。命题14、15和16的证明。让N*mdenote一个任意的小邻域*m、 andlet^ψmdenote最大化\'n（ψm，πm，ξm+1）的局部极大似然估计∈ N*m、 命题13和Υ*= ∪Mm=1Υ*n（^θM+1，ξM+1）=最大值=1，。。。，M\'n（^ψM，πM，ξM+1），概率接近1。因为ψ*`/∈ N*m对于任何` 6=m，从命题13可以得出^ψm- ψ*m=op（1）。下一步，`n（ψm，πm，ξm+1）- `n（ψ）*m、 πm，ξm+1）允许与\'n（ψ，π，ξ）相同的展开式-`n（ψ）*, π、 ξ）in（19）或（34）。

因此，所述结果来自于将命题8、10和12的证明应用于\'n（^ψm、πm、ξm+1）- `n（ψM，πM，ξM+1）的联合渐近分布- `n（^θM，ξM）}Mm=1。命题17的证明。请注意，根据Pnθ，提案2成立*,根据提议7、9和11的假设。因为θn=（ηn，λn，πn）∈ 北卡罗来纳州/√通过选择c>| h |，它遵循命题2 thatsupx∈十、logdPnθn，xdPnθ*,x个- hνn（s%nk）+高%nh= oPnθ*,x（1），（90），其中，对于非正态分布、异方差正态分布和同方差正态分布的模型，s%kis分别由（17），（33）和（43）给出。此外，νn（s%nk）=> Pnθ下的G%*,x、 其中，G%是平均零高斯过程，cov（G%，G%）=I%%：=limk→∞Eθ*（s%ks%k）。因此，dPnθn，x/dPnθ*,Pnθ下的X分布收敛*,xto exp公司N（u，σ）u=-（1/2）hI%h和σ=hI%h，因此E（expN（u，σ）) = 因此，第（a）部分源自Le Cam的第一引理（参见Lehmannand Romano（2005）的推论12.3.1）。（b）部分源自勒坎的第三引理（参见，例如，莱曼和罗马诺（2005）的推论12.3.2），因为（a）和（90）部分暗示νn（s%nk）logdPnθn，xdPnθ*,x个d→ N-您好%h！，我%I%hhI%hI%h！！根据Pnθ*,x、 命题18的证明。证明遵循命题8证明中的论点。观察hη=0和hλ=√ntλ（λn，πn）在H1n下保持不变。因此，命题17在Pnθn下成立，由H1n乘以，并且，结合Lehmann和Romano（2005）的定理12.3.2（a），命题5和7在Pnθn，x下成立。因此，如果我们替换Gλ，则命题8的证明将通过。η%n=> Gλ。η%和Gλ。η%n=> Gλ。η%+（Iλ%%- Iλη%I-1ηIηλ%）hλ=Gλ。η%+Iλ。η%hλ，所述结果如下。命题19和命题20的证明。这个证明类似于命题18的证明。