马尔可夫区域切换模型中区域数的检验

请注意，对于j∈ {a，b}，hjη=0和hjλ=√ntλ（λn，πn）+o（1）在Hj1n下保持不变。因此，命题17在Pnθn下成立，由Hj1n拟合，所述结果来自于重复命题18的proof论点。命题21的证明。我们只对M=1的非正态分布模型提供证明，因为其他模型的证明是相似的。该证明遵循Lehmann和Romano（2005）中定理15.4.2的证明中的论点。将Cη定义为满足{ηn}的序列集√n（ηn- η*) → hη对于某些特定的hη。用^ηn表示一个区域模型参数的MLE。对于H下的MLE，√n（^ηn）-η*) 分布收敛到Pθ*-a、 标准参数指定的s.Fiterandom变量。然后，根据几乎确定的表示定理（如Lehmann和Romano（2005）的定理11.2.19），在公共概率空间上定义了随机变量η和hη，使得η和η具有相同的分布√n（℃ηn-η*) →~hη几乎可以肯定。因此，{ηn}∈ Cη的概率为1，并且所述的结果遵循引理9，因为^η和^ηn具有相同的分布。对于H1n下的MLE，请注意，即使hη6=0，当hη是确定的时，命题18的证明也会通过。因此√n（^ηn）-η*) 在分布上收敛到H1n下的Pθn-a.s.有限随机变量。因此，所述结果来自引理9，并在H.11.2辅助结果11.2.1信息缺失原则的情况下重复论证。以下引理扩展了Louis（1982）中的方程（3.1）和（3.2），根据完整数据对数似然函数导数的条件期望来表示对数似然函数的高阶导数。为了符号简洁，假设θ是标量。对向量值θ的修改很简单，但需要更繁琐的表示法。

允许j`（Y）：=jθlog P（Y；θ）和j`（Y，X）：=jθlog P（Y，X；θ）。对于随机变量V，Vqand Y，将（Vr···Vrqq）的中心条件矩定义为Ec【Vr··Vrqq··Y】：=E[（V- E[V | Y]）r···（Vq- E【Vq | Y】）rq | Y】。引理1。对于密度为P（Y，X；θ）和P（Y；θ）的任意随机变量X和Y，`（Y）=E[`（Y，X）| Y]，`（Y）=E`（Y，X）Y+ 欧共体(`（Y，X））Y,`（Y）=E`（Y，X）Y+ 3Ec`（Y，X）`（Y，X）Y+ 欧共体(`（Y，X））Y,`（Y）=E`（Y，X）Y+ 4Ec`（Y，X）`（Y，X）Y+ 3Ec(`（Y，X））Y+ 6Ec`（Y，X）(`（Y，X））Y+ 欧共体(`（Y，X））Y- 3.欧共体(`（Y，X））Y,`（Y）=E`（Y，X）Y+ 5Ec`（Y，X）`（Y，X）Y+ 10摄氏度`（Y，X）`（Y，X）Y+ 10摄氏度`（Y，X）(`（Y，X））Y+ 15摄氏度(`（Y，X））`（Y，X）Y+ 10摄氏度`（Y，X）（`（Y，X））Y- 30摄氏度`（Y，X）`（Y，X）Y欧共体(`（Y，X））Y+ 欧共体(`（Y，X））Y- 10摄氏度(`（Y，X））Y欧共体(`（Y，X））Y,`（Y）=E`（Y，X）Y+ 6Ec`（Y，X）`（Y，X）Y+ 15摄氏度`（Y，X）`（Y，X）Y+ 15摄氏度`（Y，X）(`（Y，X））Y+ 60摄氏度`（Y，X）`（Y，X）`（Y，X）Y+ 10摄氏度(`（Y，X））Y+ 15摄氏度(`（Y，X））Y+ 20摄氏度`（Y，X）(`（Y，X））Y- 60摄氏度`（Y，X）`（Y，X）YE(`（Y，X））Y+ 45摄氏度(`（Y，X））(`（Y，X））Y- 90欧共体`（Y，X）`（Y，X）Y- 45摄氏度(`（Y，X））Y欧共体(`（Y，X））Y+ 15摄氏度`（Y，X）(`（Y，X））Y- 90摄氏度`（Y，X）(`（Y，X））Y欧共体(`（Y，X））Y- 60摄氏度`（Y，X）`（Y，X）Y欧共体(`（Y，X））Y+ 欧共体(`（Y，X））Y- 15摄氏度(`（Y，X））Y欧共体(`（Y，X））Y- 10欧共体(`（Y，X））Y+ 30欧共体(`（Y，X））Y,前提是右侧存在条件期望。当左侧的P（Y；θ）替换为P（Y | Z；θ）时，所述结果适用于右侧的P（Y，X；θ）和E[·| Y]替换为P（Y，X | Z；θ）和E[·| Y，Z]。引理1的证明。

所述结果来自直接计算和关系，如jθP（Y；θ）/P（Y；θ）=E[jθP（Y，X；θ）/P（Y，X；θ）| Y]和日志f=前/后，日志f=前/后-(日志f），日志f=前/后-3.f地面+2(f/f），日志f=前/后-4.f前/后- 3(地面）+12f级(f） /f- 6(前/后），日志f=前/后-5.f前/后- 10f地下+20f级(f） /楼+30(f）前/后- 60f级(f） /楼+24(前/后），日志f=前/后-6.f前/后- 15f地下+30f级(f） /f- 10(f） /楼+120ff前/后- 120f级(f） /楼+30(f） /f- 270(f）(f） /楼+360f级(f） /f- 120(f）/f，前/后=日志f+3日志f日志f+(日志f），前/后=日志f+4日志f日志f+3(对数f）+6日志f(日志f）+(日志f），前/后=日志f+5日志f对数f+10日志f对数f+10日志f(对数f）+15(日志f）对数f+10日志f(日志f）+(日志f），前/后=日志f+6日志f对数f+15日志f对数f+15日志f(对数f）+10(对数f）+60日志f日志f对数f+20日志f(对数f）+15(对数f）+45(日志f）(对数f）+15日志f(日志f）+(日志f）。（91）例如，`（Y）通过书面形式得出`（Y）as，抑制θ，`（Y）=P（Y）P（Y）- 3.P（Y）P（Y）P（Y）P（Y）+2P（Y）P（Y）= EP（Y，X）P（Y，X）Y- 3EP（Y，X）P（Y，X）YEP（Y，X）P（Y，X）Y+ 2.EP（Y，X）P（Y，X）Y= E`（Y，X）+3`（Y，X）`（Y，X）+(`（Y，X））Y- 3E`（Y，X）+(`（Y，X））YE类[`（Y，X）| Y]+2{E[`（Y，X）| Y]}，以及收集项。`（Y），`（Y），以及`（Y）的推导类似。11.2.2辅助引理我们首先收集符号。定义Zkk-1： =（Xk-1，Yk-1，Wk，Xk，Yk），并用φi（θ，Zkk）表示完整数据记录密度的导数-1) := ilog pθ（Yk，Xk | Yk-1，Xk-1，周），i≥ 1.（92）我们使用简写符号φiθk：=φi（θ，Zkk-1). 我们还从φθk中抑制上标1，使φθk=φθk。对于随机变量V，Vq和条件集F，定义（V，…，Vq）asEcθ[V，…]的中心条件矩。

，Vq | F]：=Eθ[（V- Eθ[V | F]·····（Vq- Eθ[Vq | F]| F]。例如，Ecθ[φθkφθk | F]：=Eθ[（φθk- Eθ[φθk | F]（φθk- Eθ[θk | F]| F]。设I（j）=（I，…，ij）表示具有j个元素的正整数序列，设σ（I（j））表示（I，…，ij）的所有唯一置换的集合，并设σ（I（j））|表示其基数。例如，如果I（3）=（2，1，1），则σ（I（3））={（2，1，1），（1，2，1），（1，1，2）}和|σ（I（3））|=3；ifI（3）=（1，1，1），然后σ（I（3））=（1，1，1）和| I（3）|=1。设T（j）=（T，…，tj），对于j=1，对于条件集F，将对称中心条件矩定义为ΦI（1）θT（1）[F]：=EθhφIθTFi，ΦI（2）θT（2）[F]：=|σ（I（2））| X（`，`）∈σ（I（2））Ecθhφ` tφ` tFi，ΦI（3）θT（3）[F]：=|σ（I（3））| X（`，`，`）∈σ（I（3））Ecθhφ` tφ` tφ` tφ` tFi，ΦI（4）θT（4）[F]：=|σ（I（4））| X（`，…，`）∈σ（I（4））～Φ````` T（4），（93）式中～Φ```` T（4）：=Ecθ[φ`Tφ`Tφ`Tφ`Tφ`Tφ`Tφ`T | F]- Ecθ[φ`θtφ` t | F]Ecθ[φ` tφ` t | F]- Ecθ[φ`θtφ` t | F]Ecθ[φ` tφ` t | F]- Ecθ[φ` tφ` t | F]Ecθ[φ` tφ` tF]和ΦI（5）t（5）[F]：=|σ（I（5））| X（`，…，`）∈σ（I（5））Ecθhφ′θtφ′θtφ′θtφ′θtφ′θt金融机构-X（{a，b，c}，{d，e}）∈σEcθhφ\'aθtaφ\'bθtbφ\'cθtcFiEcθhφ\'dθtdφ\'eθte金融机构,ΦI（6）θT（6）[F]：=Ecθ[φθTφθTφθTφθTφθTφθTφθT | F]-X（{a，b，c，d}，{e，f}）∈σEcθ[φθtaφθtbφθtcφθtd | F]EcθφθteφθtfF-X（{a，b，c}，{d，e，f}）∈σEcθ[φθtaφθtbφθtc | F]EcθφθtdφθteφθtfF+ 2X（{a，b}，{c，d}，{e，f}）∈σEcθ[φθtaφθtb | F]Ecθ[φθtcφθtd | F]EcθφθteφθtfF,（94）式中σ：== 形式为{a，b，c}，{d，e}，σ：=的{1，2，3，4，5}的10个分区= 15{1，2，3，4，5，6}的分区，形式为{a，b，c，d}，{e，f}，σ：=/2=形式为{a，b，c}，{d，e，f}，σ：=的{1，2，3，4，5，6}的10个分区/6=形式为{a，b}，{c，d}，{e，f}的{1，2，3，4，5，6}的15个分区。（95）注意，这些力矩相对于（t，…，tj）对称。对于j=1，2。

，6，k≥ 1，米≥ 0和x∈ 十、 定义不同时间指标和条件集上ΦI（j）θT（j）之和之间的差异，如下所示I（j）j，k，m，x（θ）：=XT（j）∈{-m+1，。。。，k} jΦI（j）θT（j）hYk-m、 工作时间：-m、 X个-m=xi-XT（j）∈{-m+1，。。。，k-1} jΦI（j）θT（j）hYk-1.-m、 工作时间：-1.-m、 X个-m=xi，（96），其中pt（j）∈{-m+1，。。。，k} jdenotesPkt=-m+1Pkt=-m+1···Pktj=-m+1和PT（j）∈{-m+1，。。。，k-1} jis定义类似。定义I（j）j，k，m（θ）类似于I（j）j，k，m，x（θ）通过放下x-m=条件变量中的x。从此，我们抑制条件变量Wn-m条件集和条件密度，除非出现混淆。下面的引理表示对数密度的导数，j\'k，m，x（θ）\'s，根据I（j）j，k，m，x（θ）\'s。前两个方程也在inDMR中给出（第2272页和第2276-7页）。引理2。适用于所有1≤ k≤ n、 m级≥ 0和x∈ 十、`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ），`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ）+1,12，k，m，x（θ），`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ）+32,12，k，m，x（θ）+1,1,13，k，m，x（θ），`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ）+43,12，k，m，x（θ）+32,22，k，m，x（θ）+62,1,13，k，m，x（θ）+1,1,1,14，k，m，x（θ），`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ）+54,12，k，m，x（θ）+103,22，k，m，x（θ）+103,1,13，k，m，x（θ）+152,2,13，k，m，x（θ）+102,1,1,14，k，m，x（θ）+1,1,1,1,15，k，m，x（θ），`k、 m，x（θ）=1，k，m，x（θ）+65,12，k，m，x（θ）+154,22，k，m，x（θ）+103,32，k，m，x（θ）+154,1,13，k，m，x（θ）+603,2,13，k，m，x（θ）+152,2,23，k，m，x（θ）+203,1,1,14，k，m，x（θ）+452,2,1,14，k，m，x（θ）+152,1,1,1,15，k，m，x（θ）+1,1,1,1,16，k，m，x（θ）。此外，当j`k，m，x（θ）和I（j）j、k、m、x（θ）替换为j\'k，m（θ）和I（j）j，k，m（θ）。引理2的证明。所述结果来自书面j\'k，m，x（θ）=jlog pθ（Yk-m+1 | Y-m、 X个-m=x）- jlog pθ（Yk-1.-m+1 | Y-m、 X个-m=x），将引理1应用于右侧，并注意jlog pθ（Yk-m+1，Xk-m+1 | Y-m、 X个-m） =包装=-m+1φj（θ，Ztt-1） （见（1）和（92））。的结果j'k，m，x（θ），j=1，2也在DMR中给出（p。

2272和2276-7页）。对于j=3，术语2,12，k，m，x（θ）来自PKT=-m+1Pkt=-m+1Ecθ[φθtφθt | Yk-m、 X个-m=x]=包装=-m+1Pkt=-m+1Φ2,1θtt[Yk-m、 X个-m=x]。对于j=4，请注意，当我们将引理1应用于对数pθ（Yk-m+1 | Y-m、 X个-m=x），引理1右侧的最后两项可以写成asPT（4）∈{-m+1，。。。，k} Φ1,1,1,1θT（4）[Yk-m、 X个-m=x]。j=5的结果来自类似的参数。对于j=6，请注意，当我们将yma 1应用于对数pθ（Yk-m+1 | Y-m、 X个-m=x），Lemma1右侧的最后四项可以写成asPT（6）∈{-m+1，。。。，k} ΦI（6）θT（6）[Yk-m、 X个-m=x]。以下引理提供了（93）和（94）中定义的ΦI（j）θT（j）[F]的界限，并用于引理4的顶部。对于j=2，6，定义kφitk∞:= supθ∈N*supx，x |φi（θ，Yt，x，Yt-1，x）|和kφI（j）T（j）k∞:=P（`，…，`j）∈σ（I（j））kφ\'tk∞···kφ\'jtjk∞.引理3。在假设1、2和4下，存在一个不依赖于ρ的有限非随机常数C，因此，对于所有m≥ m级≥ 0，全部-m<t≤ t型≤ ··· ≤ tj公司≤ n、 全部θ∈ N*和所有x∈ 十、 j=2，6，（a）|ΦI（j）θT（j）[Yn-m] |≤ Cρ（t-t型-1)+∨（t-t型-1)+∨···∨（tj-tj公司-1.-1） +kφI（j）T（j）k∞,（b） |ΦI（j）θT（j）[Yn-m、 X个-m=x]|≤ Cρ（t-t型-1)+∨（t-t型-1)+∨···∨（tj-tj公司-1.-1） +kφI（j）T（j）k∞,（c） |ΦI（j）θT（j）[Yn-m、 X个-m=x]- ΦI（j）θT（j）[Yn-m] |≤ Cρ（m+t-1） +kφI（j）T（j）k∞,（d） |ΦI（j）θT（j）[Yn-m、 X个-m=x]- ΦI（j）θT（j）[Yn-m、 X个-m=x]|≤ Cρ（m+t-1） +kφI（j）T（j）k∞,（e） |ΦI（j）θT（j）[Yn-米]- ΦI（j）θT（j）[Yn-1.-m] |≤ Cρ（n-1.-tj）+kφI（j）T（j）k∞,（f） |ΦI（j）θT（j）[Yn-m、 X个-m=x]- ΦI（j）θT（j）[Yn-1.-m、 X个-m=x]|≤ Cρ（n-1.-tj）+kφI（j）T（j）k∞.引理3的证明。召回supθ∈N*supx，x |φi（θ，Yt，x，Yt-1，x）- Eθ[φi（θ，Yt，x，Yt-1，x）| F]|≤ 2 supθ∈N*supx，x |φi（θ，Yt，x，Yt-1，x）|对于出现在该列表中的条件集F。定义φiθt：=φi（θ，Ztt-1) - Eθ[φi（θ，Ztt-1） | Yn-m] ，因此Ecθ[φ\'θt··φ\'jθtj | Yn-m] =Eθ[°φ` t····φ` jθtj | Yn-m] 。

从今以后，我们从φiθ和|φiθt中抑制下标θ-1） 取决于Xt和Xt-（c）和（d）部分来自引理11（a），并且对于任意两个概率测度u和u，supf（x）：maxx | f（x）|≤1 | Rf（x）du（x）-Rf（x）du（x）|=2ku- ukT V（参见Levin等人（2009年，命题4.5））。类似地，tj的（e）和（f）部分≤ n- 1遵循引理11（b），tj=n的部分（e）和（f）遵循|ΦI（j）θT（j）[·]|≤ 2jkφI（j）T（j）k∞.我们继续展示（a）和（b）部分。j=2和j=3的结果来自引理11（c）和（Xt- 分机）···（Xtj- EXtj）=cov[Xt，（Xt- 分机）···（Xtj- EXtj）]=cov[（Xt- 分机）···（Xtj-1.- EXtj公司-1） ，Xtj]。（97）在证明j的结果之前≥ 4、我们收集了一些结果。对于调节集F=Yn-莫尔{Yn-m、 Xm=x}，引理11（c）和（97）暗示| Ecθ[φ\'t··φ\'jtj | F]|≤ Cρ（t-t型-1)+∨（tj-tj公司-1.-1） +kφI（j）T（j）k∞, （98）| Ecθ[φ\'t··φ\'jtj | F]- Ecθ[φ\'t··φ\'ktk | F]Ecθ[φ\'k+1tk+1··φ\'jtj | F]|=| covθ[|φ\'t··φ\'ktk，|φ\'k+1tk+1··φ\'jtj | F]≤ Cρ（tk+1-tk公司-1） +kφI（j）T（j）k∞对于任意2个≤ k≤ j- 2.（99）由于ΦI（4）θT（4）[F]，零件（a）和（b）保持j=4≤ Cρ（t-t型-1)+∨（t-t型-1） +kφI（4）T（4）k∞从（98）我们得到ΦI（4）θT（4）[F]≤ Cρ（t-t型-1） +kφI（4）T（4）k∞将（93）中定义的▄Φ````` T（4）写成▄Φ```` T（4）=covθ[▄φ`T▄φ`T，▄φ`T▄φ`T▄F]- Ecθ[φ\'tφ\'t | F]Ecθ[φ\'tφ\'t | F]- Ecθ[φ\'tφ\'t | F]Ecθ[φ\'tφ\'t | F]和应用（99）。j=5的第（a）–（b）部分源自类似的论证。对于j=6，首先，ΦI（6）θT（6）[F]以Cρ（T）为界-t型-1)+∨（t-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞自（98）。第二，写出ΦI（6）θT（6）[F]=A+A，其中A=Ecθ[φTφTφTφTφTφTφT | F]-Ecθ[φtφtφt | F]Ecθ[φtφtφt | F]和Adentes（94）中ΦI（6）θt（6）[F]右侧的所有术语，但A.Ais以Cρ（t）为界-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞从（99）开始，Ais以Cρ（t）为边界-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞自（98）。

因此，ΦI（6）θT（6）[F]以Cρ（T）为界-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞.第三，写出ΦI（6）θT（6）[F]=B+B+B，其中B=Ecθ[φTφTφTφTφTφTφTφT | F]-Ecθ[φtφtφtφt | F]Ecθ[φtφt | F]，B=-P（{1,2，c，d}，{e，f}）∈XEcθ[φφtcφtd | F]Ecθ[φteφtf | F]+P（{a，b}，{c，d}，{e，F}）∈XEcθ[φtaφtb | F]Ecθ[φtcφtd | F]Ecθ[φteφtf | F]，其中Xis是= {1，2，c，d}，{e，f}和x形式的{1，2，3，4，5，6}的6个分区：={（{1，2}，{3，4}，{5，6}），（{1，2}，{3，5}，{4，6}），（{1，2}，{3，6}，{4，5}），并注意ΦI（6）的右侧的所有术语；T（6）[f]除B+B外。B以cρ（T）为界-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞自（99）。我们可以写BasP（{1,2，c，d}，{e，f}）∈X个{-Ecθ[φtφtφtcφtd | F]Ecθ[φteφtf | F]+Ecθ[φtφt | F]Ecθ[φtcφtd | F]Ecθ[φteφtf | F]}=-P（{1,2，c，d}，{e，f}）∈XEcθ[φteφtf | F]covθ[φθtθt，φθtcθtd | F]，那么这是以cρ（t）为界的-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞自（99）。最后，Bis以Cρ（t）为界-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞自（98）。因此，ΦI（6）θT（6）[F]以Cρ（T）为界-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞. 从一个类似的论点来看，ΦI（6）θT（6）[F]也是由Cρ（T）决定的-t型-1） +kφI（6）T（6）k∞, （a）和（b）部分如下。接下来，我们将给出一个结果，该结果限制了I（j）j、k、m、x（θ）和引理2中出现在右边的I（j）j，k，m（θ）。这个引理扩展了DMR的引理13和17。设rI（1）=qi；rI（2）=qi/2，如果i=i和（qi∧ 如果i6=i，则qi）/2；rI（3）=qi/3，如果i=i=i，（qi/2∧qi/4）如果i6=i=i，（qi∧气∧qi）/3如果i、i、i是不同的；rI（4）=qi/4如果i=i=i=i=i，（qi∧ qi）/4如果i6=i=i=ior i=i6=i=i；如果i=i=i=i=i=i，则rI（5）=qi/5；（合格中介机构/3∧qi/6）如果i6=i=i=i=i=i；rI（6）=q/6。这个引理的（d）部分建立了{I（j）j，k，m，x（θ）}m≥0到不依赖于x引理4的随机变量。在假设1、2和4下，对于j=1。

，6，存在随机变量ski（j），{MI（j），k}nk=1∈ LrI（j）（Pθ*) 这样，对于所有1≤ k≤ n和m≥ m级≥ 0，（a）supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，m，x（θ）- I（j）j，k，m（θ）|≤ KI（j）（k+m）ρb（k+m）-1） /24cPθ*-a、 s.，（b）supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，m，x（θ）- I（j）j，k，m，x（θ）|≤ KI（j）（k+m）ρb（k+m）-1） /1340cPθ*-a、 s.，（c）supm≥0supx∈Xsupθ∈N*|I（j）j，k，m，x（θ）|+supm≥0supθ∈N*|I（j）j，k，m（θ）|≤ MI（j），kPθ*-a、 s.，（d）均匀分布在θ中∈ N*和x∈ 十、I（j）j、k、m、x（θ）和I（j）j，k，m（θ）收敛Pθ*-a、 s.和LrI（j）（Pθ*) 到I（j）j，k，∞(θ) ∈ LrI（j）（Pθ*) 作为m→ ∞.引理4的证明。首先，我们证明（a）和（b）部分。回忆T（j）=（T，…，tj）。对于第（a）部分，定义，抑制AT（j）对θ和I（j）的依赖，AT（j）：=ΦI（j）θT（j）hYk-m、 X个-m=xi- ΦI（j）θT（j）hYk-1.-m、 X个-m=xi- ΦI（j）θT（j）hYk-mi+ΦI（j）θT（j）hYk-1.-mi，如果max{t，…，tj}<k，ΦI（j）θt（j）hYk-m、 X个-m=xi- ΦI（j）θT（j）hYk-mi，否则，在（j，`，k）：=收件人···tj-`k···k |{z}`次，其中T（j，`，k）：=（T（j- `), k、 ···，k |{z}`次）。然后，我们可以写I（j）j，k，m，x（θ）- I（j）j，k，m（θ）=PT（j）∈{-m+1，。。。，k} jAT（j）=a+b+c、 在哪里a： =XT（j）∈{-m+1，。。。，k-1} jAT（j），b： =j-1X`=1j`XT（j-`)∈{-m+1，。。。，k-1} j-`在（j，`，k），c： =A（k，…，k），和b： 当j=1时=0。根据引理3和AT（j）的对称性，ais以Cbj，k，mMI（j）j，k，m为界，其中bj，k，m：=X-m+1≤t型≤t型≤···≤tj公司≤k-1.ρ（m+t-1)+∧ ρ（t-t型-1)+∧ ··· ∧ ρ（tj-tj公司-1.-1)+∧ ρ（k-1.-tj公司-1)+=X1≤t型≤t型≤···≤tj公司≤k+m-1.ρ（t-1)+∧ ρ（t-t型-1)+∧ ··· ∧ ρ（tj-tj公司-1.-1)+∧ ρ（k+m-1.-tj公司-1)+,MI（j）j，k，m：=最大值-m+1≤t、 ，。。。，tj公司≤k-1kφitk∞kφitk∞···kφijtjk∞.从（t- 1)+≥ bt/2c和引理13，Bj，k，Cj2（ρ）ρb（k+m）的mis界-1） /4jc。我们继续推导MI（j）j，k，m的界。定义kφik`∞:=P∞t型=-∞（| t |∨ 1)-2kφitk`∞. 当i=i=···=ij时，引理14得出MI（j）j，k，m≤ （k+m）j+1kφikj∞, 和kφikj∞∈LrI（j）（Pθ*) 根据假设4。

在其他情况下，观察如果x、y、z≥ 0，我们有xy≤ x+y，xyz≤ x+y+z，xy≤ x+y4/3和xy≤ x+y3/2来自杨氏不等式。利用这个结果和引理14，我们可以束缚MI（j）j，k，mbyj=2和i6=i：（k+m）（kφik∞+ kφik∞),j=3和i6=i=i：（k+m）（kφik∞+ kφik∞),j=3，i，i不同：（k+m）（kφik∞+ kφik∞+ kφik∞),j=4和i6=i=i=i：（k+m）（kφik∞+ kφik∞),j=4，i=i6=i=i：（k+m）（kφik∞+ kφik∞),j=5和i6=i=i=i=i：（k+m）（kφik∞+ kφik∞).因此，根据假设4，ais以零件（a）的右侧为边界。引理3和13，以CPj为界的bis-1`=1P-m+1≤t型≤···≤tj公司-`≤k-1（ρ（m+t-1)+∧ ρ（t-t型-1)+∧··· ∧ ρ（k-tj公司-`-1） +）MI（j）j，k+1，m≤ Cρb（k+m-1） /4（j-1） cMI（j）j，k+1，m。类似地，以cρb（k+m）为界的cis-1） /4（j-1） cMI（j）j，k+1，m和引理的（a）部分如下。对于第（b）部分，定义-m+1≤ t、 ，tj公司≤ k、 DT（j），m，x：=ΦI（j）θT（j）[Yk-m、 X个-m=x]- ΦI（j）θT（j）[Yk-1.-m、 X个-m=x]，如果max{t，…，tj}<k，ΦI（j）θt（j）[Yk-m、 X个-m=x]，否则，同样定义DT（j）、m、x。然后，我们可以写I（j）j，k，m，x（θ）=PT（j）∈{-m+1，。。。，k} jDT（j）、m、X和I（j）j，k，m，x（θ）=PT（j）∈{-m+1，。。。，k} jDT（j），m，x=d+e、 在哪里d： =PT（j）∈{-m+1，。。。，k} jDT（j）、m、X和e： =jX`=1j`-mXt公司=-m+1···-mXt`=-m+1kXt `+1=-m+1···kXtj=-m+1DT（j），m，x。来自与（a）部分相同的参数，I（j）j，k，m，x（θ）- dis以零件（a）的右侧为边界。对于e、 观察Mj：=max1时≤`≤jj`,|e |≤ MjjX`=1-mXt公司=-m+1-mXt公司=-m+1···-mXt公司`=-m+1kXt `+1=-m+1···kXtj=-m+1DT（j），m，x≤ jMj公司-mXt公司=-m+1kXt=-m+1···kXtj=-m+1DT（j），m，x≤ jMjj！-mXt公司=-m+1Xt≤t型≤···≤tj公司≤kDT（j），m，x.引理3，如果t≤ ··· ≤ tj，我们有| DT（j），m，x |≤ C[I{tj<k}（ρ（t-t型-1)+∧ ρ（tj-tj公司-1.-1)+∧··· ∧ ρ（k-1.-tj公司-1） +）+I{tj=k}（ρ（t-t型-1)+∧ ··· ∧ ρ（tj-tj公司-1.-1） +）]kφI（j）T（j）k∞.