基于路径积分的股票和订单动态模型

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英文标题：
《A path integral based model for stocks and order dynamics》
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作者：
Giovanni Paolinelli and Gianni Arioli
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We introduce a model for the short-term dynamics of financial assets based on an application to finance of quantum gauge theory, developing ideas of Ilinski. We present a numerical algorithm for the computation of the probability distribution of prices and compare the results with APPLE stocks prices and the S&P500 index.
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中文摘要：
基于量子规范理论在金融领域的应用，我们引入了一个金融资产短期动态模型，发展了Ilinski的思想。我们提出了一种计算价格概率分布的数值算法，并将结果与苹果股票价格和标准普尔500指数进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：动态模型 Quantitative distribution Applications Computation

基于路径积分的股票和订单动态模型Giovanni Paolinelli Gianni Ariolidipartitiono di MatematicaPolitecnico di Milanopiazza Leonardo da Vinci 32，20133米兰，Italygiovanni。paolinelli@polimi.it，gianni。arioli@polimi.itKeywords股票价格、经济物理学、路径积分、规范理论、金融市场。摘要基于量子规范理论在金融领域的应用，我们引入了一个金融资产短期动态模型，发展了Ilinski的思想。我们提出了一种计算价格概率分布的数值算法，并将结果与苹果股票价格和标准普尔500指数进行了比较。1简介【2】Ilinski介绍了一个基于经典金融规范解释的股票和投资者短期动态模型。【10、11、12】中也提出了类似的方法，其中开发了基于量子场论的模型。用量子力学解决金融数学问题的方法称为量子金融。在过去20年中，费曼（Feynman）[15]引入的量子力学路径积分方法特别适合金融应用，另见[4、5、6、7、8、9]。我们进一步分析和扩展了这些想法，并开发了一个模型，该模型提供的结果与真实市场数据非常一致。Ilinski的模型描述了投资组合中的现金和股票数量以及所有可能的交易配置，尤其是投资者对股票动态的影响。量子力学在提供强有力的数学背景来描述这一理论的基本思想方面发挥着重要作用。特别是，以股票和现金的整数为特征的投资组合的离散性质由不同的状态路径积分建模。

我们推广了这个模型，并介绍了计算Ilinski提出的相干态路径积分的算法。该模型以苹果股票和标准普尔500指数的数据为测试样本，时间步长为1分钟；真实数据和模型之间的一致性涵盖了四个数量级。特别是我们得到了一个很好的肥尾巴。有趣的是，观察到肥尾现象可以看作是顺序的一种影响。我们指出，尾部的形状对无风险利率有显著影响。更准确地说，在[13]中，它显示了没有财务损失风险的投资回报率和期限溢价，即如果忽略厚尾，投资者承担短期国债收益率没有按预期演变的风险所需的补偿是错误计算的。我们展示了PDF的峰度与阶数引起的扰动强度之间的直接关系；事实上，无阶模型提供了与几何布朗运动等价的结果。我们的模型包含五个参数；【10】和【2】中的模型数量相同。我们分析了参数对PDF的影响，并提供了财务解释。2一个更简单的模型我们在本节中介绍了伊林斯基理论的基本概念；详细解释中感兴趣的读者应参考【1】和【2】。Ilinski的出发点是，没有风险就不可能赚钱；如果是这样的话，那么我们就会有一个任意地理机会。考虑一个基本的市场模型，其中可以购买具有相同初始值的非风险资产B和风险资产S。如果我们暂时假设S不是风险资产，那么经过一段时间T后，B和S的最终值必须相等。

否则就有可能进行套利操作；也就是说，我们可以借入并出售表现不佳的资产，然后用获得的资本购买表现不佳的资产。当我们出售表现过度的资产时，我们有足够的钱买回表现不佳的资产，还有一些钱，即套利收入。这种情况在现实中不会发生，因为我们无法知道S在未来的价值，也就是说，我们不知道S是表现不佳还是表现过度的资产。这意味着，只有冒着一定的风险，才能从之前的情况中获得收入。在[2]中，Ilinski展示了一种涉及股票和现金的策略，该策略产生的正收入与风险资产的最终价值无关。这种策略被称为套利。在传统金融中，假设该金额为零。Ilinski提出了一个较弱的假设，这需要最小化套利。用Ag（{S}）表示上述套利收益；在Ilinski的模型中，该量被视为系统动力学的拉格朗日描述中的作用。我们假设关联toAg（{S}）的概率由p（{S}）=N e给出-βAg（{S}）。（1） 这个假设代表了与量子力学特别是路径积分的主要联系。量子力学的路径积分表示法的核心思想在于，所有的轨迹都被考虑在内，但实现较低作用力的轨迹更有可能实现。在Ilinski的财务模型中，行动最少（~→ 量子力学中的0）对应于零套利。考虑了具有小套利（量子函数）的轨迹，但当它们远离零套利轨迹时，其概率会降低。

普朗克常数的作用由金融资产的方差发挥。我们还假设股票动态在货币变化下是不变的。这个概念在物理学中被称为规范不变性。我们要求我们的理论在任何时候都不依赖于任何资产的计价单位的选择。代理人不会开始以不同的方式行事，因为他们处理的是100便士，而不是1英镑或等值的美元金额。这个不变性必须用这个理论中描述的所有数量来编码。我们假设，如果资产以不同的货币表示，一定数量的套利Ag（{S}）的概率不会改变。在物理学中，规范理论中描述系统的方程在局部或全局群作用引起的变换下是不变的。如果我们想在%中表示10美元，也就是说，进行一次尺度的改变，我们必须将资本乘以一个正数，即转换率；上一个数字是仪表组的一个元素。所有可能的货币换算都是如此，因此本文中的计量组是乘法R+。Ilinski使用前面的框架来获取股票价格的条件概率。他考虑了一个离散时间模型，其中时间取ti=i 对一些人来说 > 0，则资产的价格由Si=S（ti）=S（i）表示), i=0，N、 用时间0的价格和时间T=N的最终价格表示; Ilinski证明：P（T，S | 0，S）=N-1Yi=1Z∞dSiSi！经验值-12σN-1Xi=0Ri！，（2） 其中ri=S-1工程师Si+1e-r+ 溶剂同位素效应-rS-1i+1er- 2是双重套利时的收入，常数R分别表示现金和风险资产的利率。指数是（1）中描述的概率，而σ是风险资产价格的方差。

请注意，这些值是规范不变的。微分的乘积是路径空间微分，用于求和从S（0）到S（T）的所有可能轨迹；有关此概念的详细信息，请参见[16]。度量是规范不变表达式dSi/Si。在文献[2]中，Ilinski证明了（2）的结果是正常的PDF。图1显示了一个数值模拟的结果，证实了这样的结果。图1：对数标度下与最终股价相关的概率密度函数。通过（2）-红色-和解析公式-黑色-的数值计算得出。两条曲线具有相同的参数σ=0.00648、T=10、N=10和r=r=0.3。具有阶数的模型在[2]Ilinski中还引入了前一个模型的推广，该模型考虑了股票动态中阶数的影响，并考虑了扰动。在本文中，我们证明了修正的扰动会产生收益的轻轨概率分布。Ilinski在动作中添加了一个术语，描述了理论者的动态，因此当有人购买（出售）股票时，价格会上升（下降）。该操作由- βAg（S）=-2σN-1Xi=0对数（Si+1）-对数（Si）-u -Niλ; （3） 推导可在[2]中找到。术语NIR表示ti时的订单净额，如果净额为买入订单，则其值为正值，否则为负值，而λ表示股票流动性。投资组合的初始分配由一对（n，m）来描述，该对表示初始时间的现金和股票金额；最终分配用（n，m）表示。

由于计量不变性，我们可以在同一个单位中表达股票和货币价值，这样一个单位的现金就可以交易成一股股票。我们假设封闭环境假设，这意味着在任何时候都有恒定数量的地块；用M表示交易地块（货币和股票）的总数，我们有n+M=n+M=M。在这种情况下，系统的初始配置是资本分配（n，M）；在每个时间步骤i中，系统都会演变为直到时间T的资本分配（ni，mi），从而实现最终分配（n，m）。为了考虑订单对价格动态的影响，有必要计算资本配置空间中所有可能的路径，并将每个路径的影响相加。这种计算是用相干态路径积分（CSPI）实现的，参见[2，16，17]。数字（ni，mi）是整数，在CSPI的上下文中，它们被描述为ni=？ψ1，iψ1，i，mi=？ψ2，iψ2，i，其中{ψj，k}是复数，对应于创建/湮灭操作符。我们通过ψj，kooperators表示一个阶Nivia。购买k股，我们损失了k单位的现金，反之亦然。我们有：Ni=δi[？ψ2，iψ2，i-ψ1，iψ1，i]。其中，符号δi表示前向差商，即δih（i）=h（i+1）- h（一）,具有 等于最小时间范围。变量ψ，ψ的动力学由一个哈密顿量H（t）（ψ，ψ）=H（i）jkψj，i+1ψk，i来描述，它连接ψ（j，k），ito S（i) = 硅。下面的表达式是在[2]中推导出来的：H（i）jk=0γSβie-βre-βutγS-βie-βre▄βut, (4)γ = (1 - tc）/.这里tc是交易的相对成本；是哈密顿动力学中模型的时间步长，|β表示价格变化的幅度。在我们的模拟中，我们假设u=r=r=tc=0和= .

给定哈密顿量，我们计算传播子：h？ψ1，N。。。，ψZ，N | | U（T=N, 0)||ψ1,0, ..., ψZ，0i=N-1Yj=1ZYk=1Zdψk，jd？ψk，j2iπ×exp-N-1Xj=1xk=1ψk，j？ψk，j+N-1Xj=1xk=1ψk，j？ψk，j+1×（5）经验ZXj，k=1H（N- 1） jk？ψi，Nψk，N-1+ . . . + ZXj，k=1H（0）jk'ψi，1ψk，0.第一个方括号内的数量对应于ZXk=1？ψk，0ψk，0+ZXk=1N-1Xj=0（(R)ψk，j+1-ψk，j）ψk，j.（6）在（5）中替换（4）和（6），我们得到：h？ψN？U（T=N, 0）|ψi=e‘ψ1,0ψ1,0+’ψ2,0ψ2,0ZYk=1,2N-1Yi=1dψk，jd？ψk，j2iπ×expN-1Xi=0（(R)ψ1，i+1ψ1，i-ψ1，iψ1，i+(R)ψ2，i+1ψ2，i-ψ2，iψ2，i+S|βiψ1，i+1ψ2，i+S-βi？ψ2，i+1ψ1，i）.（7） 我们引入了流体动力学变量ψk=pMρkeiφkψk=pMρke-iφk，（8），其中ρ∈ [0，1]和φ∈ [0, 2π]. 注意，由于闭合环境假设，M（ρ+ρ）=M，然后ρ=1- ρ.我们在流体动力学变量中写（7）。从？ψ1，i+1ψ1，i开始-ψ1，iψ1，i=[√ρ1，i+1ei（φ1，i+1-φ1，i）-√ρ1，i]√ρ1，i，（9）如果我们假设（φ1，i+1-φ1，i）“1+i（φ1，i+1- φ1，i）则（9）变成：(R)ψ1，i+1ψ1，i-ψ1，iψ1，i=[√ρ1，i+1-√ρ1，i+i√ρ1，i+1（φ1，i+1- φ1，i）]√ρ1，i；回顾前向差异商的定义，我们得到：(R)ψ1，i+1ψ1，i-ψ1，iψ1，i=√ρ1，i（δi√ρ1，i）+i√ρ1，i+1ρ1，i（δiφ1，i）；回顾√ρ1，i（δi√ρ1，i）=δiρ1，i，我们得到ψ1，i+1ψ1，i-ψ1，iψ1，i+(R)ψ2，i+1ψ2，i-ψ2，iψ2，i==i（φ1，i+1- φ1，i）√ρi+1ρi+（φ2，i+1- φ2，i）q（1- ρi+1）（1- ρi）, （10） 其中使用了守恒定律ρ+ρ=1。我们还有βiψ1，i+1ψ2，i+S-βi(R)ψ2，i+1ψ1，i==S▄βiqρi+1（1- ρi）ei（φ1，i+1-φ2，i）+S-βiq（1- ρi+1）ρiei（φ2，i+1-φ1，i）。

（11） 利用（7）中的方程（10）和（11），我们得到了传播子的公式：h？ψN？U（T=N, 0）|ψi=eMYk=1,2N-1Yi=1Zdρk，iρk，iπZ2πdφk，i×exp明尼苏达州-1Xi=0i{（φ1，i+1- φ1，i）√ρ1，i+1ρ1，i+（φ2，i+1- φ2，i）√ρ2，i+1ρ2，i}++Sβi√ρ1，i+1ρ2，iei（φ1，i+1-φ2，i）+S-βi√ρ2，i+1ρ1，iei（φ2，i+1-φ1，i）.前一传播子依赖于组合空间中的所有可能路径；为了获得条件概率，我们需要使用（3）将其与价格动力学联系起来。

我们可以写出Nias:Ni=δi[(R)ψ2，iψ2，i-ψ1，iψ1，i]=δi[ρ- ρ] =2δiρi，（12），使方程（3）变成-βAg（S）=N-1Xi=0-12σ对数（Si+1）-对数（Si）-2α[（ρi+1-ρi）]α=M/λ。我们现在考虑上面的传播子和股票价格作用（3），得到了新的传播子，它同时考虑了投资组合分配空间中的传播子和股票价格。h？ψN？U（T=N, 0）|ψi=eMYk=1,2N-1Yi=1ZdρiρiπZ2πdφk，iZ∞-∞d对数（Si）×exp[-βAg（S）+S]。使用：-βAg（S）=N-1Xi=0-12σ对数（Si+1）- 对数（Si）- 2α[（ρi+1- ρi）]S=MN-1Xi=0我（φ1，i+1-φ1，i）√ρi+1ρi+（φ2，i+1-φ2，i）q（1- ρi+1）（1- ρi）++S▄βiqρi+1（1- ρi）ei（φ1，i+1-φ2，i）+S-βiq（1- ρi+1）ρiei（φ2，i+1-φ1，i）.我们注意到，在之前的公式中，初始和最终时间的相干态没有被积分。根据量子力学形式，条件概率由p（S（T），（n，m）| S（0），（n，m））==ZYi，k2πid'ψi，kdψi，ke给出-ψi，kψi，khn，m | |ψ1，kihψN | U（T=N, 0）|ψih |ψ2，k | n，mi，其中：hn，m |=h0 |ψn1，nψm2，Nn！m|n、 mi=’ψn1,0’’ψm2,0 | 0i通过[2]中解释的一些计算，我们得到了公式p（S（T），（n，m）| S（0），（n，m））=n！m！S（T）-β（n-m） S（0）～β（n-m） （13）×Zd′ψdψh′ψN | U（T=N, 0）|ψi？ψn1,0？ψm2,0ψn1，Nψm2，Ne-2M，其中：Zd？ψdψ=Yk=1,2Yi=0，NZ2πid？ψk，idψk，i.之前的积分用相干态变量表示，这意味着为了计算它，我们需要将整个表达式转换为流体动力学变量；请注意，与量子力学一样，积分的结果是一个复数，而概率是它的模PG。s、 136、166和277-281方形。我们保留了Ilinski的符号，以简化与histheory的比较。前面的公式允许我们在给定初始价格S（0）和投资组合分配（n，m）的情况下，计算最终价格S（T）与最终投资组合分配（n，m）的概率密度函数。