最优能源需求响应管理的平均场道德风险

2017年5月10日第2017-976号决议，关于消费者获取电力或天然气消耗数据以及供应商提供此类数据的程序。通信仪表合规包[通信仪表合规包]、国家信息和自由委员会[国家信息技术和自由委员会]。例如，请参见法国电力生产商和提供商法国电力公司（Electricitéde France）的电话应用程序EDF&Moi，或澳大利亚生产商和提供商Synergy的网站。对于闭式解，我们关注一种特殊情况：线性能量值差异情况。能源价值差异是指消费者对其偏差消费的偏好与该偏差的生产成本之间的差异。如果这种差异是积极的，这意味着能源对消费者的价值高于对生产者的成本。相反，如果差异为负，则消费减少对消费者福利的负面影响将小于对生产者储蓄的正面影响。如果这种差异与偏差消耗呈线性关系，则很容易表明，通过使用我们的新合同，生产者的效用增加了。此外，在大多数情况下，这些新合同会从消费者那里获得更多的好处，以降低他们的平均消费水平，减少波动性。更准确地说，通过使用[1]中校准的参数值，我们可以看到增加：o本金的效用高达50%（分别为15%）；o努力将平均消费量减少至50%（分别为30%）；o方差响应性高达4%（分别为3%）；根据与共同噪声的相关性，对于风险中性本金（对应于具有[1]中校准的风险厌恶的本金）。

此外，共同噪声解释的方差越大，结果越显著。因此，这些新合同可以改善受天气条件强烈影响的消费期间的需求响应，例如在冬季，停电风险很高，因此需求响应超出了需要。在整个工作过程中，我们认为一位负责人无法观察到常见噪音，或者至少存在一些监管规则阻止她在合同中直接使用常见噪音。这一假设在能源消耗领域相对完善。尽管一些电力供应商根据用电量的日期或时间（高峰时段、不同高峰时段…）提供不同的价格，称为时变定价，这些电价更符合通过电力现货价格对天气的间接指数化。我们发现，将合同与其他人挂钩是间接将合同与天气挂钩的另一种方式。事实上，它允许校长将偏差消耗分为两部分：由代理商实际控制的部分，对应于针对气候危害校正的偏差，以及常见噪音。因此，她可以在真正受控的偏差上提供补偿指数，以鼓励代理人做出补偿。如果她是风险厌恶者，她可以在本合同中添加一个以其他人为索引的部分，这实际上是对常见噪音的索引，以分担剩余的风险，即使监管规则阻止她在合同中直接使用常见噪音。因此，如果委托人可以根据第6.1节研究的常见噪音对合同进行索引，我们可以获得相同形式的合同。

因此，我们得出结论，根据有条件法律或共同噪声订立合同是严格等效的。除了我们的模型的实际贡献之外，我们还开发了新的技术成果。正如【17，18】所解释的，代理人控制产出波动性的连续时间道德风险问题很难研究。因此，据我们所知，我们的模型是第一个将多代理设置（实际上是代理与平均场相互作用的连续体）与漂移和波动控制相结合的模型。此外，与[25]或[13]中的情况不同，我们还考虑了具有常见噪声的设置。虽然普通噪音对电力消费者来说很自然，但它会引发一系列额外的数学难题，这些问题直到最近才得到解决，见Carmona、Delarue和Lacker【14】，尽管只适用于纯平均场游戏，而顶部没有额外的Stackelberg，就像我们的设置一样。特别是，与[25]或[13]中的情况不同，我们在第3节中得出的简化合同类别几乎无法通过定义证明没有失去一般性，我们需要使用平均二阶BSDE的广义概念来获得这一基本结果。此外，我们强调，即使我们使用一个特定的模型，我们在本文中开发的操作方法也可以很容易地扩展到具有平均场相互作用和常见噪声的连续代理的一般道德风险问题。这也是我们做出特殊努力以确保我们的所有陈述和定义在数学上完全严格的原因之一，尤其是对McKean-Vlasov随机微分方程中具有常见噪声和最优控制问题的平均场博弈弱公式的定义，因为这两种工具是我们方法的基本基石。

我们相信，这将证明对我们的技术的其他应用和推广是有用的。总之，本文的组织结构如下。第2节描述了模型。第3节提供了最优契约的类别，并解决了代表性消费者问题以及平均场均衡。第4节专门用于参见环境保护基金在https://www.edf.org/sites/default/files/time-variant_pricing_fact_sheet_-_april_2015.pdfto用新合同解决道德风险下的委托人问题。第5节允许将效用和效果与仅向消费者提供经典合同的情况进行比较。第6.1节提供了合同可以直接根据常见噪音进行索引的结果，我们在第6.2节中调查了第一个最佳问题，作为委托人可以直接监控代理人效果的基准。第7节结束。标记。在本文中，Ta0表示合同中确定的一些到期日。我们设置了一个表示不同用电量的正整数d。让N媫：“Nzt0u.在本文中，对于具有d P N媫的每个d维向量b，对于任何1didd，我们用b，…，b表示其坐标。设0d和1d是大小为d的向量，其坐标分别等于0和1。对于任何P\'，cqp N媫N媫，我们用带实数项的^c矩阵的空间来标识R^cw。矩阵M P R^cw的元素将用pMi，jq1d表示。”id′、1djdc和M的转置将由MJP Rc^′表示。对于任何正整数n和pα，βq p Rn^Rnwe也用α¨β表示通常的内积，与范数}¨}。对于任何正整数n和任何t P r0，t s，让Cnt：“Cpr0，ts，Rnq表示从r0，ts到Rn，和Ct：”Ct的连续函数集。

在Cpr0，ts，Rnq，s P r0，ts的定义上，s P r0，ts的求值映射πsbyπspxq“xs和截断的上确界范数}}}}}}sby}}x}s”supuPr0，ss}xu}，对于s P r0，ts。除非另有说明，对于可测空间P，CnTis被赋予范数}}}}}}TOhm, F q，让PpOhmq表示p上的概率测度集Ohm, 特别是对于t P r0，t s，我们用PpCntq表示Cpr0，ts，Rnq上的所有概率测度集。对于uP PpCnTq，让utP PpCnTq表示π¨t下的u图像。对于Pě0和可分离度量空间pE，`q，让PppEq表示uP PpEq的集合，其中对于某些（因此对于任何）x"P E，x"qupdxqa8。对于Pě1和u，νP PppEq，让\'E，pdenote-Wasserstein距离，由\'E，ppu，νq：“inf”^E^E ` ppx，yqγpdx，dyq˙1{p：γp PpE^Eq具有边缘u，ν*。空间PppEq配备了度量‘E，p，PpEq具有弱收敛的拓扑结构。两者都配备了相应的Borelσ–场，这与映射up PppEq（分别为PpEq）生成的σ–场一致'YupF q，F是E.2问题公式2.1非正式描述的任何Borel子集。我们在经典的平均场框架下工作，其中所有代理都是相同的：所有消费者都有相同的特征、相同的成本、相同的风险规避参数。。。因此，我们将研究局限于一个具有代表性的代理人，该代理人是一个单一的消费者，与其他消费者群体完全相同，而且规模太小，无法影响全球消费。为了更好地确定问题的数学模型，我们需要一个过程来表示代表性代理的偏差消耗，由每次使用的特殊噪声（d维）和常见噪声（1维）驱动。代理通过选择一对ν：“pα，βq，其中α和β分别为a值和B值，a和B的精确定义见下文（2.2）。为简单起见，我们将U表示为：“a^B”。

更具体地说，α代表消费者减少名义消费水平的作用，β代表减少每次用电消费变化的作用。我们强调，α和β是d维向量，因此捕获了不同用途之间的差异，例如冰箱、暖气或空调、闪电、电视、洗衣机、计算机。。。一组可接受的效果，用U“A^B表示，将在下一节中严格定义。我们还定义了一个向量σP p0，`8qd表示试剂在不产生任何影响时的消耗变化，以及一个常数σP R`表示与常见噪声的相关性。因此，对于一个封闭控制ν“pα，βq p U，对于任何t p r0，t s，asXt”x'tαs¨1dds'tσpβsq¨dWs'tσ"dW"s，可以非正式地编写代理的控制过程，带有σpbq：`σ？b，…，σd？bdJ，对于b p p0，1sd。（2.1）状态变量x表示消费者对其消费的确定性利润的偏差。一个效应ν会导致一个可分离的成本cpνq：“cαpαq ` cβpβq，其中：cαpaq：“d"yk”1pakqρk，a p a，和cβpbq：“d"yk“1pσkqλkηk'pbkq'ηk'1'，b P b，对于固定的Pρ，λ，ηq P p0，`8qd^p0，`8qd^p1，`8qd^p1，`8qd。特别是，漂移项X中的效用成本，用cα表示，是一个经典的二次成本函数，这意味着对代理没有任何效用，也不会产生内在成本，因此他没有兴趣提供负效用。与对X禁止代理去除挥发性（bka0），如果代理没有做出任何影响，则等于零（案例bk“1）。

出于技术原因，我们需要考虑有界效应，然后，我们为一些常数Amaxa0和BminP p0，1q设置A：“r0，ρAmaxs¨¨¨¨r0，ρdAmaxs和B：”rBmin，1sd，（2.2）。可以注意到，除了常见噪声W"引起的术语外，之前定义的数学设置与A"id，possamai和Touzi中的相同【1】. 然而，公共噪声的引入迫使我们严格定义弱公式。在以下部分中，我们正确定义了规范空间Ohm 对于第2.2.1小节中的代表性代理，以及规范空间POhm 对于第2.2.2.2.2小节理论公式2.2.1中的其他代表性因素的正则空间，为了与控制问题的弱公式一致，我们将U设为r0上所有有限和正相关测度的集合，T s^U，其在r0上的投影，T s是Lebesgue测度。换言之，每个qpu可以被集成为qpd，dvq“qspdvqds，用于适当的Borel可测量内核qs。

弱公式要求考虑U的子集，即所有q P U的集Uo，使得对于某些Borelfunctionφ，核qs的形式为Δφspdvq，其中Δφ通常是φs处的狄拉克质量。为了结合平均场对策和McKean-Vlasov问题的理论公式，我们考虑以下正则空间Ohm :“ Ohm"^ Ohm^ Ohm^U，其中Ohm"：：“CT，Ohm:“CT^CdT，以及Ohm:“PpCTq，从符号中回顾CdT：“Cpr0，T s，Rdq和CT：”Cpr0，T s，Rq，具有规范过程pW"，X，W，u，λq，其中对于任何pt，W"，X，W，u，qq P r0，T s^Ohm,W"tpw"，x，W，u，qq：“w"ptq，Xtpw"，x，w，u，qq：”xptq，Wtpw"，x，w，u，qq：”wptq，utpw"，x，w，u，qq：“uptq，and∧tpw"，x，w，u，qq：“q.不太正式地说，X代表由代表性消费者控制的偏差消耗量，受异向噪声W和公共噪声W"的影响。该过程u允许有条件地跟踪X定律到公共噪声，空间U对应于控制。规范过滤F：“pFtqtPr0，T定义为FT：”σ'''W"s，Xs，Ws，us，spхq：ps，Дq P r0，ts^Cb\'r0，T s^U，R\'，T P r0，T s，其中Cbpr0，T s^U，Rq是从r0，T s^U到R的所有有界连续函数的集合，对于任何ps，Дq Pr0，T s^Cbpr0，T s^U，Rq，spsq：“sssUspr，vq∧pdr，dvq。我们还需要一个较小的过滤，只包含由公共噪声和X的条件定律生成的信息。即，我们定义F"）：“pF"tqtPr0，T sbyF"T：“σ` pW"s，usq：s P r0，ts，t P r0，t s。请注意，由于X是与基线消耗的偏差，漂移控制的上限是一致的，因为代理不能消耗负电量。备注2.1。对过滤F"的限制源于我们模型中存在的常见噪声。

正如Carmona、Delarue和Lacker[14]指出的那样，弱公式中的控制问题很常见，实际上SDE的弱解也很容易解决，即潜在的驱动噪声不够丰富，无法获得仅适用于它的解决方案。在我们的背景下，这转化为一个事实，即一般而言，X定律可能无法仅就公共噪声W"产生的信息进行测量，这正好说明了F"定义的扩大。这与共同噪声制造理论中所谓的兼容性条件有关，该条件直观地表示，游戏中的给定玩家确实可以访问由特殊和共同噪声W和W生成的全部信息，以及所有其他玩家状态的分布，并且允许其控制在这些观察之外随机化，但这种随机化必须有条件地独立于给定当前信息的未来信息。设CbpR^Rd^R，Rq是从R^Rd^R到R的有界两次连续可微分函数集，其一阶和二阶导数也是有界的，对于任何ps，Дq P r0，T s^CbpR^Rd^R，Rq，我们设置mspДq：“ДpXs，Ws，W"sq'szU^Apvq¨^1pXr，Wr，W"rq ` Tr“DДpXr，Wr，W"rqBpvqBJpvq‰∧pdr，dvq，其中DД表示Д的Hessian矩阵，A和B分别是向量过程pX，W，W的漂移向量和扩散矩阵；qJApvq：¨A¨1dd，Bpvq：¨0σJpbqσ¨dIdd0 jd，v：¨pa因此，向量过程pX，W，W"qJis的协变量矩阵由bpvqbjpvq为所有v P U定义“∑pbq ``σ"σJpbqσ"σpbq Iddσ"Jd，其中∑pbq：∑Jpbqσpbq对于所有b P b。我们确定了一些初始条件，即R上的概率度量%表示x定义2.2的0处的定律。设M为P上的概率度量集Ohm, FTq。

子集PAM由所有P组成，使得piq M P^q是一个pP，Fq–r0上的局部鞅，T s表示所有的φP CbpR^Rd^R，Rq；piiq P"pXq'1“%，RdR上存在一个度量，使得P"` pW，W"q'1“；piiq P∧P Us”1；P–a.eωP的pivqOhm 对于每个t P r0，t s，我们有utpωq“Pωt"pXt ^¨q'1，其中pPωtqωPOhm是一类正则条件概率分布Pr。c、 p.d表示给定F"t的p的缩写q。我们将用EPωt表示分布pωt下的期望。为了便于记法，我们通常会在表示期望的符号中省略ω；pvq pW"，uq是P–与W无关。粗略地说，集P表示弱公式中的容许控制集。尽管如此，前面的公式并没有让我们直接获得消耗偏差X的动力学。然而，这是一个重要的结果，如果必要的话，扩大正则空间，我们可以构造布朗运动，从而可以写出动力学（2.1），参见Stroock和Varadhan【46，定理4.5.2】。事实证明，由于我们从一开始就扩大了正则空间，以解释特殊和常见的噪声，因此不需要进一步扩大，见下面的引理2.3，其证明推迟到附录A.1。我们记得这些物体对于任何ωPOhm, Pω是P上的概率测度Ohm, Fq，使得对于任何A P F，映射ωTh'Y~nPωtrAs是F"t–可测的，并且对于P上的任何P–可积随机变量ξOhm, Fq，我们有eprξ| F"tspωq“EPωtrξs，对于P–a.e.ωPOhm.注意，由于pOhm, F q是一个波兰空间，F"是可数生成的，例如Cohenand Elliott[15，定理2.6.5和2.6.7]保证了这些r.c.p.d.的存在。引理2.3。