离散选择模型中的需求与福利分析

，“ξ”v-1, α)′∈Q'vv=1['lv，'uv]，表示ZFε（w′c*+ξ+ απ（θ） | c=c*)dFW（w）<ZFε（w′c*+ξ+ απ(R)v（θ）| c=c*)dF'vW（w），（99），其中πv（θ）| c=c*表示πv（（c*′,ξ, . . . ,ξv-1，α），固定点方程的唯一解，πv=RFε（w′c*+ξv+απv）dFvW（w）（v=1，…，v，其中ξ=ξv）。假设7（i）导致v=1的不同“常数”项，在hom生成性假设下的“v”（“ξ=”ξ“v），即“ξ+α”π6=”ξ“v+α”π“v”。这是识别“ξ”、，ξ#v-1，α#inθ#通过Brock-Durlauf型目标函数LBR（θ）。使用条件（ii）-（iv）识别θ*通过LFPL（θ）。参数空间f的直角性，或（|ξ，…，|ξ|v-（ii）中的1，α′是使用Galeand Nikaido（1965）的单叶函数结果时的一个技术要求（参见他们的定理4和我们对Lemma1的证明）。对αin（98）in（iii）的限制保证了定点问题的收缩特性（见附录A.3中的讨论）。对于（iv），由于π（θ） 和πLFPL（θ）中的v（θ）是固定点，我们可以等效地将（99）重写为π（θ） | c=c*< π(R)v（θ）| c=c*. （100）这是（97）对所有（‘ξ，…，‘ξ’v）基于模型的概率f的扩展-参数空间中的1，α），其中我们注意到（99）意味着（97）在（93）下，因为πv=πv（θ*). 注意，如果π（θ） | c=c*6=π(R)v（θ）| c=c*, 我们可以假设（100）而不失概括性。也就是说，如果π（θ） | c=c*> π(R)v（θ）| c=c*,我们可以重新标记ind ices v=1，(R)v以确保“<”。《平等法》（99）没有施加任何实质性限制。

例如，如果α≥ 0和W′1hc的（边际）分布*是由W′vhc随机支配的一阶*, 则固定点解满足π（θ） | c=c*< π(R)v（θ）| c=c*因此（99）对于任何|ξ（因为Fε（·）是严格增加的），其中对Θ的任何限制（除了维持的限制：α≥ 0）是强制的。现在，我们准备建立θ#和θ的识别属性*:引理1（全局识别）假设假设假设6成立。（a） 此外，如果假设7的（i）成立，则对于任何θ#，θ∈ Θ，Fε（W′vhc#+’ξv+α##πv）6=Fε（W′vhc+’ξv+α#πv），（101）对于某些v∈ 具有正概率的{1，…，\'v}，当且仅当θ#6=θ，其中'ξ#='ξ#'vand'ξ='ξ'v.（b）用θ表示*= （c）*′,ξ*, . . . ,ξ*\'\'v-1, α*)′Θ中的任何元素。此外，如果假设7的（ii）-（iv）满足，其中（iv）满足c这个θ的, 那么对于θ∈ Θ，FεW′vhc*+ξ*v+α*πv（θ*)6=Fε（W′vhc+’ξv+απv（θ））（102）对于某些v∈ 具有正概率的{1，…，v}，当且仅当θ*6=θ，其中？ξ*=ξ*‘vand’ξ=‘ξ’v。这个引理的结果允许我们建立θ的（全局）识别*和θ#基于他们的极限目标函数，LFPL（θ）和LBR（θ）。请注意，这一结果并不以（93）中所述的模型混合条件选择概率的正确规格为前提。然而，给定（93）和θ*, 我们基于目标函数的识别分析可以类似于标准I.I.D.情况下ML估计器的识别分析（如Neweyand McFadden，1994，2124-2125页的引理2.2和示例1.2），这是我们目标函数的形式，而它们不是完整的ML函数。我们将基于目标函数的识别结果总结如下：引理2假设θ*满足条件期望限制（93），假设4-7成立，其中假设7的（iv）成立，c*在这个θ中*.

那么，θ*是fpl（θ）in的唯一最大化子，也是LBR（θ）in的唯一最大化子。而θ*和θ#（分别在（95）和（96）中介绍）通常会有所不同，这说明如果我们使用正确的规格，它们是相同的，我们将在该规格下识别它们并始终写入θ*以后A、 4.2一致收敛结果：引理3-4在本小节中，我们使用以下条件建立目标函数的一致收敛：假设8（i）对于任何v，Wvhis的支持包括在SW中，RdW的有界子集。（ii）设h（▄e▄e，▄l-l |；θ） 是εvkgiven（v，k）位置的条件概率密度，Lvk=~land（v，h）变量（Lvh，εvh）=（l，e）（由θ参数化∈ Θ）令人满意h（|e | e，|l）- l |；θ) - h（e）≤ 米|升- l|-τh（~e），其中M，τ∈ (0, ∞) 是常数（与e和θ无关）；τ> 4与假设4中得出的恒量相同（如果l=l，则主边定义为0）。假设8（ii）可以从马尔可夫链理论中使用的所谓强Doeblin条件的空间模拟中得出（参见，例如，Holden，2000年的定理1），这可以通过各种参数模型来满足。它加强了假设4（i）中的α混合条件。引理3假设假设C1-C2，C3-SD，（i）假设6，（ii）-（iii）假设7，假设4-8成立。然后，supθ∈Θ^LFPL（θ）- LFPL（θ）= op（1）。引理4假设C1-C2，C3-SD，假设5，（i）假设6，（ii）-（iii）假设7，假设4-8成立。然后，对于每个v，supθ∈Θ;θ∈Θsup1≤h类≤内华达州^C（Wvh，Lvh；θ，θ）- FεW′vhc+’ξv+α^πv（θ）= op（1）（103）和supθ∈Θ^LSD（θ，^θ）-^LFPL（θ）= op（1）对于θ的任何估计量^θ*.A、 4.3引理1的证明-4引理1的证明。结果（a）的证明是标准的，省略了。

这里，我们关注（b）。为了便于解释，我们让v=11，就像在我们的经验应用中一样，并设置ξ=ξ。任何其他v的p屋顶都可以用完全相同的方式完成。我们让θ=（c′，ξ，…，ξ，α）并定义θ*类似地。由于Fε（·）严格递增，（102）相当于toW′vhc*+ξ*v+α*πv（θ*) 6=W′vhc+’ξv+απv（θ）对于某些v∈ {1，…，\'v}，（104），具有正概率。我们可以立即看到，这（104）意味着θ*6= θ. 现在，假设θ*6=θ，我们将导出（104）。为此，我们考虑以下五种情况：1）如果c*6=c，（104）通过假设4的（i）以正概率成立，而不管其他（常数）项（即|ξ）的等式*v+α*πv（θ*) 等于ξv+απv（θ）与否）。2） 如果是c*= c和α*= α=0，我们必须有（(R)ξ*, . . . ,ξ*) 6=（‘ξ，’ξ），表示（104）。3） 如果是c*= c、 α*= 0，α6=0，和（(R)ξ*, . . . ,ξ*) = （\'ξ，…，\'ξ），我们必须至少有π（θ） >0乘以假设7的（99）和usαπ（θ） 6=0，这意味着（104）。4） 对于带有c的情况*= c、 α*= 0，α6=0，和（(R)ξ*, . . . ,ξ*) 6=（\'ξ，…，\'ξ），我们假设不矛盾的是\'ξ*v=(R)ξv+απv（θ）对于任何v∈ {1，…，v}。那么，π(θ) =ξ*-ξ/α和π(θ) =ξ*-ξ/α、 因为ξ=ξ，所以π(θ) = π(θ). 然而，这与假设7.5的（99）相矛盾。最后，我们考虑c的情况*= c、 α*6=0，α6=0。在这种情况下，通过重新参数化κv=’ξv+απv，定点方程（相对于πv），πv=ZFε（w′c+’ξv+απv）dFvW（w）（v=1，…，11，’ξ=’ξ），（105）可以等效地重新编写为关于κv的方程：κv=’ξv+αZFε（w′c+κv）dFvW（v=1，…，11，’ξξ）。（106）也就是说，如果πv=πv（θ）是（105）的解，然后是κv（θ）=ξv+απv（θ）是（106）的解；andifκv（θ）解为（106），然后是πv（θ）=（κv（θ）-ξv）/α解（105）。我们还可以检查（105）的解的唯一性等价于（106）。

通过此重新参数化，给定c= c、 （104）isκv（θ*) 6= κv（θ）对于某些v∈ {1，…，11}，（107），我们将在下面展示。现在，为了研究（106），我们定义了κ的以下向量值（11by-1）函数：=（κ，…，κ）′和λ=（‘ξ，…，ξ，α）′∈Qv=1[lv，uv]asK（κ，λ）：=K（κ，λ）。。。K（κ，λ）,式中kV（κ，λ）=-κv+？ξv+αZFε（w′c*+ k v）dFvW（w）对于v=1，10，K（κ，λ）=-κ+(R)ξ+αZFε（w′c*+ κ） dFW（w），以及K和kv对c的依赖关系*= 为简化符号，支持c。给定假设7的（98），使用压缩映射定理：对于任何λ=（‘ξ，…，‘ξ，α’），我们可以找到一个K=κ（λ）的等式，使得K（κ，λ）=0。（108）给定λ的函数，我们考虑其值集：Vκ：=nκ（λ）∈ Rλ ∈Qv=1【lv，uv】o。接下来，我们计算K关于λ=（‘ξ，…，‘ξ，α）’的雅可比矩阵：(/λ′）K（κ，λ）=1·····0RFε（w′c*+ κ） dFW（w）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。0·····1RFε（w′c*+ κ） dFW（w）01 0···0RFε（w′c*+ κ） dFW（w）0,其中左上角的10×10子矩阵是单位矩阵。此矩阵(/λ′）K（κ，λ）对于Gale和Nikaido（1965，p.84）意义上的任何（κ，λ）都有支配对角线，即lettinglv=RFε（w′c*+κv）dFvW（w），其依赖于c*和κvis表示符号的适用性(/如果我们能找到严格的正数，则λ′）K（κ，λ）被称为具有优势对角线(R)dvv=1，对于v=1，…，dv>lv，10和l'd>d.（109）如果我们为d=2设置'dv=1，11，则对于v=2，…，将（109）减少到1>LV，10和l>d>l，并且可以找到一些∈ （0，1）sincel=ZFε（w′c*+ κ） dFW（w）=ZFε（w′c*+ξ+ απ（θ） ）dFW（w）>ZFε（w′c*+ξ+ απ（θ） ）dFW（w）=ZFε（w′c*+ κ） dFW（w）=l，在假设7的（99）中施加。S英寸(/λ′）K（κ，λ）具有每个（κ，λ）的主对角线，它是Gale and Nikaido（1965，P.84）意义上每个（κ，λ）的P矩阵。

应用Gale和Nikaido的理论4，我们可以看到每个（固定的）κ∈ Vκ，K（κ，λ）是λ的一价函数∈Qv=1【lv，uv】，即K（κ，λ）=0仅在唯一λ处成立∈Qv=1[低压，紫外线]。在此之前，我们可以定义Vκ上的函数λ（κ），即（108）中引入的κ（λ）的反函数。也就是说，我们已经证明了κ（λ）是一对一（内射的；对于λ6=∧λ，κ（λ）6=κ（∧），这意味着期望的结果（107）。我们现在已经完成了C ase 5），从而完成了整个证明。引理2的证明。鉴于∞vhin（94），ob serve thatLFPL（θ）- LFPL（θ*)=\'vXv=1rvE“FεW′vhc*+ξ*v+απv（θ*)对数（FεW′vhc+’ξv+απv（θ）FεW′vhc*+ξ*v+απv（θ*))+1.- FεW′vhc*+ξ*v+απv（θ*)日志（1- FεW′vhc+’ξv+απv（θ）1.- FεW′vhc*+ξ*v+απv（θ*))#≤(R)vXv=1rvlog EFεW′vhc+’ξv+απv（θ）+1.- FεW′vhc*+ξ*v+απv（θ*)=\'vXv=1rvlog E[1]=0，（110），其中第一个等式遵循迭代期望定律和正确的特定假设，该不等式由Jensen不等式确定。通过对数的严格凹性，该不等式成立，当且仅当FεW′vhc*+ξ*v+απv（θ*)= Fε（W′vhc+’ξv+απv（θ）），相当于θ*= θ乘以引理1的（b）。也就是说，我们已经证明θ*是LFPL（θ）在Θ上的唯一最大化子。要建立LBR（θ）的相同结果，请注意πv（θ*) 是固定点，因此是确定θ的条件（93*) 表示πv=E[A∞vh]=ZFε（w′c*+ξ*v+απv（θ*))dFvW（w）=πv（θ*).因此，FεW′vhc*+ξ*v+α*πv= FεW′vhc*+ξ*v+α*πv（θ*),这意味着条件选择概率模型具有‘πv（而不是πv（θ*)) 在θ=θ时也正确指定*. 通过与（110）中相同的参数，我们可以看到θ*也是LBR（θ）在Θ上的唯一最大化子。证明已完成。引理3的证明。

通过wvh支撑的有界性和参数空间Θ，Fε的有界性W′vhc+’ξv+απv（θ）在θ、v和（任意实现的）Wvh上一致远离0和1，即我们可以找到一些（小）常数 ∈ （0，1/2）（与θ和v无关）使得 ≤ FεW′vhc+’ξv+απv（θ）≤ 1.- . （111）因此，考虑到对数（·）的全局Lipschitz连续性[, 1.- ], Fε（·）和π的v（·）（参见引理5证明中的全局Lipschitz连续性结果（120）），以及fε（·）的一致有界性，我们可以看到EA.∞vhlog FεW′vhc+’ξv+απv（θ）和E[（1-A.∞vh）日志1.- FεW′vhc+’ξv+απv（θ）] 在θ中也是全局Lipshitz连续的，这意味着LFPL（θ）在θ中是全局Lipshitz连续的∈ Θ.现在，替换^πv（θ）in^LFPL（θ）byπv（θ），我们定义以下函数：▄LFPL（θ）：=N▄vXv=1NvXh=1Avhlog FεW′vhc+’ξv+απv（θ）+ (1 - Avh）日志1.- FεW′vhc+’ξv+απv（θ）.给定^π的一致收敛性v（θ）至πv（θ）（引理5），通过类似于LFPL（θ）的全局Lipsch-itz连续性的参数，我们可以很容易地看到thatsupθ∈Θ^LFPL（θ）-LFPL（θ）= op（1）。（112）同样，考虑到上述相关函数的全局Lips-chitz连续性，我们还可以检查▄LFPL（θ）的随机等连续性（SE）（使用Newey，1991年的推论2.2）以及Eh▄LFPL（θ）i的（全局Lipschitz）连续性。由于假设Θ是紧的，我们已经验证了▄LFPL（θ）的（全局Lipschitz）连续性和▄LFPL（θ）的（全局Lipschitz）连续性，Newey（1991）的定理2.1暗示了一致收敛：supθ∈ΘLFPL（θ）- EhLFPL（θ）i= op（1），如果逐点收敛成立LFPL（θ）- EhLFPL（θ）i= 每个θ的op（1）∈ Θ，（113），如下所示。类似于下面引理7的证明，我们可以得到Max1≤h类≤Nvsupe公司∈Rθ∈Θ; θ∈Θ|ψv（Lvh，e；θ，θ）- πv（θ）|=op（1），作为其更简单的推论。

然后，使用这个结果和类似于下面的定理4的证明的参数，我们也得到了supθ∈ΘEhLFPL（θ）i-LFPL（θ）= op（1），表示SUPθ∈ΘLFPL（θ）- LFPL（θ）= op（1）。（114）然后，通过（112）和（114），我们可以得到引理的期望结论。需要说明的是逐点收敛（113），注意▄LFPL（θ）的每个和都是θ、Wvh和uvh的函数（因为uvh=（uv（Lvh））、uv（Lvh））\'和εvh=εv（Lvh）=uv（Lvh）-紫外线（Lvh））。因此，lettingGθ（Wvh，uvh）=Gvθ（Wvh，uvh）=Avhlog FεW′vhc+’ξv+απv（θ）+ (1 - Avh）日志1.- FεW′vhc+’ξv+απv（θ）,这是一致的，因为（111）成立，我们可以应用引理6得到▄LFPL（θ）=▄vXv=1NvN公司NvNvXh=1Gvθ（Wvh，uvh）p→(R)vXv=1rvEGvθ（Wvh，uvh）= 每个θ的LFPL（θ）∈ Θ，其中rv∈ （0，1）是Nv/N的限制。这就完成了证明。引理4的证明。Let^kNv：=最大值1≤h类≤Nvsup▄e∈Rθ∈Θ; θ∈Θ^ψvLvh，~e；θ,^θ- ^πv（θ）,这是引理7中的op（1）。然后，通过（30）中^C（Wvh，Lvh；θ，θ）的定义，wehaveZnW′vhc+’ξv+απv（θ）- |α|^kNv+e≥ 0odH（e）≤^C（Wvh，Lvh；θ，θ）≤ZnW′vhc+’ξv+απv（θ）+α| kNv+e≥ 0odH（e）还可以回忆H（e）=1的定义- Fε(-e） （Fε是-ε） ，这些上下界可按fε计算W′vhc+’ξv+απv（θ） |α|^kNv.由于Fε是Lipschitz连续的，因此两个界都收敛于FεW′vhc+’ξv+απv（θ）在概率上。此外，上下限的绝对差异由supz限定∈Rfε（z）×2 |α| kNv，影响^C（Wvh，Lvh；θ，θ）的一致收敛，如（103）所示。A、 4.4辅助引理和ir证明定理5假设假设假设6的C2、（i）-（ii）-（iii）假设7和（i）假设8成立。然后，sup1≤v≤\'vsupθ∈Θ|^πv（θ）- πv（θ）|=op（1）。（115）引理5的证明。

下面我们展示了1）^π的逐点收敛v（θ）：|^πv（θ）- πv（θ）|=每个θ的op（1）∈ Θ; （116）和2）极限函数π的连续性（θ） 以及^π的随机等连续性(θ). 然后，给定Θ的紧性（通过假设7的（ii），我们得到supθ∈Θ|^πv（θ）- πv（θ）|=根据Newey（1991）的定理2.1，op（1）（对于每个v），这意味着期望的结果（115），因为v在有限集{1，…，v}上。我们将在下面显示1）和2）。1） 为了显示逐点收敛，我们计算了E|^πv（θ）- πv（θ）|. 为此，定义功能映射g(∈ (0, 1)) 7→ TVθ（g）(∈ （0，1））对于每个（v，θ）：Tvθ（g）=ZFε（w′c+’ξv+αg）dFvW（w），类似地，我们定义了以下映射：^Tvθ（g）=ZFε（w′c+’ξv+αg）d^FvW（w），其中（真实）CDF FvWin Tvθ被经验值^FvW代替。因为Tvθ和^Tvθ是收缩（根据假设7的（iii））；另见附录A.3中的离子讨论），我们可以找到πv（θ）和^πv（θ），分别为每个（θ，v）的Tvθ和^Tvθ的唯一固定点。通过{Wvh}Nvh=1in C2，E[| Tvθ（g）的I.I.D- Tvθ（g）|]=NvNvXh=1EhFε（W′vhc+’ξv+αg（θ））- EFε（W′vhc+’ξv+αg（θ））我≤Nv，其中最后一个不等式成立，因为Fε是CDF和| Fε（W′vhc+’ξv+αg（θ））-EFε（W′vhc+’ξv+αg（θ））|≤ 4.

因此，我们已经证明了SUPGE[|^Tvθ（g）- Tvθ（g）|]=O（1/Nv）=O（1），（117），其中上确界接管了Θ上的任何[0，1]值函数。注意到^π（θ） 和π（θ） 是固定点，根据三角形不等式，我们有(θ) - π(θ) |] ≤ Eh | Tvθ（^π）(θ)) - Tvθ（^π）（θ） ）| i+E|Tvθ（^π）(θ)) - Tvθ（π(θ)) |≤ supgEh |^Tvθ（g）- Tvθ（g）| i+ρE[|^π(θ) - π（θ） |]，与（117）一起，表示e[|^πv（θ）- πv（θ）|]=1- ρsupgEh |^Tvθ（g）- Tvθ（g）| i=o（1）。这意味着所需的逐点收敛（116）。2） 验证π的连续性v（θ），观察θ6=°θ，πv（θ）- πv~θ=ZFε（w′c+’ξv+απ（θ） ）dFvW（w）-ZFε（w′~c+e′ξv+~απ）~θ)dFvW（w）≤ supzfε（z）×ZKWKDFWW（宽）×kc- ck+|ξv-e’ξv |+απv（θ）- ~απv~θ. （118）利用三角形不等式，我们得到了卷曲曲线中最后一项的以下上界：απv（θ）- ~απv~θ≤απv（θ）- απv~θ+απv~θ- ~απv~θ≤ |α|πv（θ）- πv~θ+ |α - ~α|. （119）通过组合（118）和（119），我们得到πv（θ）- πv~θ≤ supzfε（z）×kc公司- CKZKWKDFWW（w）+ξv-e'ξv |+|α|πv（θ）- πv~θ+ |α - ~α|.因为我们可以找到一些ρ∈ (-1，1）使得supzfε（z）|α|≤ 任意α的ρ∈ 【lv，uv】（根据假设7的（ii），这个不等式导致πv（θ）- πv~θ≤1.- ρsupzfε（z）×kc公司- CKZKWKDFWW（w）+ξv-e'ξv |+|α- ~α|≤ Cθ-~θ, （120）其中C∈ （0，1）是一个正常数，它的存在遵循假设8的fr om（i）。也就是说，我们已经证明了π（θ） 是（全局Lipschitz）连续的。我们也可以证明^πv（θ）- ^πv~θ≤^Cθ-~θ, （121）其中^C是一个Op（1）随机变量，独立于θ，|θ；注意，（121）可以用与（120）相同的方式导出，其中RKWKDFVW（w）替换为KWKD^FvW（w）（=Op（1））。这（121）意味着^π的随机等连续性（·）根据Newey（1991）的推论2.2。