离散选择模型中的需求与福利分析

当未观察到的异质性{uvh}相互依赖时，与命题1不同，每个村庄内的均衡信念可能不会减少到常数。对于相关的uvkanduvh，条件期望E[Avk | Ivh]通常是私下观察到的uvh的函数，因为了解uvhis有助于预测uvkandavk（后者是uvk的函数）。虽然（v，h）的信念是由C3-IID下的一个常数给出的，但当允许存在空间依赖性时，它们通常是研究人员未观察到的（v，h）变量的函数，从而使分析复杂化。在本节中，我们研究了信念的这一特征在“极限”内消失的形式条件。空间数据的渐近框架：在空间相关性下，能够一致估计模型参数的第一个关键条件是弱相关性的空间模拟。这相当于说明当（v，k）和（v，h）之间的距离为| | Lvk时，UVK和uvhare的依赖性较小-Lvh | |，较大。我们使用的渐近概念是所谓的“增加域”类型（c.f.Lahiri，1996），其中{Lvk}Nvk=1的采样区域扩展为Nv→ ∞. 特别地，对于每个玩家h，与h几乎不相关的其他玩家的数量扩展到∞, 这些玩家的比例（相对于所有NVPlayer）趋向于1。

鉴于此，并假设Lvkdoes支持下的任何有界区域都不包含太多观测值（即使NV倾向于∞), 我们可以（i）忽略空间依赖性对“极限中”平衡信念的影响，（ii）得出空间数据的极限结果（例如，拉希里（Lahiri，1996，2003）的大数定律和中心极限定理），并使用这些结果开发无症状参考程序。在我们的经验设置中，每个村庄内家庭之间的平均距离超过1公里，在大多数村庄接近2公里。这与上面不断增加的域框架很好地对应。均衡信念的收敛性：我们现在在上述渐近方案下描述了博弈的均衡。分析的正式细节见附录A。2.在这里，我们概述了信仰结构的主要实质性特征及其含义。为了描述平衡信念，写出∏vh=ψvh（Wvh，Lvh，uvh，ξv），（10）给定每个ξv。ψvh（·）可能以确定性方式取决于指数（v，h）。请注意，该表达式（10）源自∏vhin（2）的规定，定义为条件期望的平均值。然后，在平衡状态下，对于每个村庄v，信念由一组函数给出，ψvh（·），h=1。Nv，它求解以下方程组：ψvh（Wvh，Lvh，uvh，ξv）=Nv- 1X1≤k≤内华达州；k6=hE“（U（Yvk- Pvk，ψvk（Wvk，Lvk，uvk，ξv），ηvk）≥ U（Yvk，ψvk（Wvk，Lvk，uvk，ξv），ηvk））Ivh#，（11）Yang和Lee，2017讨论了具有异质信念的社会互动模型的估计，但异质性仅是观察到的p层特定变量的函数（Yang和Lee，2017年的c.f.方程2.1），而未观察到的私人变量是IID，与我们的案例中的空间相关性不同。对于h=1。

，内华达州（几乎可以肯定）。注意，（11）的解{ψvh（·）}取决于Nv，即家庭数量。我们现在讨论当Nv→ ∞. 为此，为了便于暴露，考虑不对称平衡，使得ψvh（·）=ψv（·），对于任何h=1，内华达州；此处规定的对称性仅为便于说明，附录a.2中提供了无对称性的正式证明。在对称性下，将（11）中的函数方程化简为？ψv=Γv，Nvψv, （12） 其中，Γv，Nv是从一个[0，1]值函数g（ran dom变量的，Ivk=（Wvk，Lvk，uvk，ξv））到另一个[0，1]值函数Γv，Nv[g]（在Ivh处求值）的函数运算符（mappin g）：Γv，Nv[g]=Γv，Nv[g]（Ivh）=Nv- 1X1≤k≤内华达州；k6=hE“（U（Yvk- Pvk，g（Wvk，Lvk，uv（Lvk），ξv），ηvk）≥ U（Yvk，g（Wvk，Lvk，uv（Lvk），ξv），ηvk））Ivh#，（13），其中uvh=C3-SD中规定的uv（Lvk）。根据（7）中的C3-IID，我们考虑了最终可通过无条件期望Eξv[·]确定的方程组。相反，这里我们必须考虑f形式E[·| Ivh]=E[·| Wvh，Lvh，uvh，ξv]的条件期望，如（11）和（13）所示。考虑到{uvh}中的相关性，它们不会减少到无条件的UV，这对于预测其他人的uvk很有用。然而，在增加域渐近性和弱依赖条件下（即uv（Lvk）和uv（Lvh），当| | Lvk时相关性较小-Lvh | |较大），这两个都是空间数据推理的标准渐近假设，游戏中不可观测的几乎与任何给定玩家（v，h）不相关的玩家数量随着Nv的增大而增大→ ∞, 此外，此类玩家的比例（在所有NVPlayer中）趋向于1。

结果，运算符Γv，Nv[g]收敛到无条件期望的平均值：Γv，Nv[g]→ Γv，∞[g] ：=Nv- 1X1≤k≤内华达州；k6=hEξv“（U（Yvk- Pvk，g（Wvk，Lvk，uv（Lvk），ξv），ηvk）≥ U（Yvk，g（Wvk，Lvk，uv（Lvk），ξv，ηvk））#，（14）对于任何g，我们称每个求和Eξv[·]为“无条件”期望，因为它独立于（Wvh，Lvh，uvh），并且我们也抑制了Γv的依赖性，∞关于ξv的符号简单性。附录中正式说明了这种收敛的确切含义以及所需条件（对于没有对称性的一般情况，请参见定理5证明中的（81））。算子Γv，NvtoΓv的收敛性，∞龋齿延伸至Γv，Nv固定点处（即|ψv=Γv，Nv的溶液ψv) 当极限运算符Γv时，∞是一种收缩。上述讨论可以总结为：对于任意随机对象B和C，我们写出E[B |ξv]=Eξv[B]和E[B | C，ξv]=Eξv[B | C]。定理1假设C2和C3-SD与假设4（在附录A.2中介绍）保持一致，并且函数映射Γv，∞[g] （14）中定义的收缩是关于由范数| | g | | L=E[| g（Wvh，Lvh，uv（Lvh））|]（g是在（Wvh，Lvh，uv（Lvh）））支持下的[0，1]值函数，即| v，∞[克]- Γv，∞[g]|≤ ρ| | g- 对于某些ρ，g | | l∈ (0, 1) .设πv∈ [0，1]是函数方程g=Γv的解，∞[g] （在合同属性下是唯一的）。然后，对于每一个v，它认为对于任何解？ψvto g=Γv，Nv[g]，它可能不是唯一的，sup1≤h类≤NvE公司|ψv（Wvh、Lvh、uv（Lvh））- πv|→ 0作为Nv→ ∞.

（15） 请注意，ψv的极限，即Γv的固定点，∞, 对应于C3-II D情况下的平衡（常数和对称）信念（8）中的固定点mv（·）；回想一下∏vh=(R)πvbyPropositions 1-2）。该定理在Ap pendix A.2中重述为定理5，并提供了证明。定理5导出了平衡信念的收敛性（无对称假设ψvh（·）=ψv（·）），即。（11）的解的极限由（7）的解精确给出。该定理还导出了15的收敛速度：如果（1）每个村庄的面积随着Nv的增加而迅速扩大，则收敛速度更快→ ∞ 在增加域假设下；如果（2）{uvh}的空间依赖程度较弱，则为d。注意，极限（无条件）算子的收缩条件意味着解的存在和唯一性，但我们不需要将其强加给通过条件算子定义的算子；解的多重性（(R)ψv=Γv，Nvψv) 并且任何解都会收敛到∏v，在这里，可以使用其他限制性较小的定点定理相对容易地检查解的存在性。总之，即使未观察到的异质性表现出空间依赖性，该收敛结果也证明了Brock和Durlauf（2001a）对常数和对称信念类型规范的使用。这使我们能够克服信念依赖于不可观察事物所带来的识别和推理的复杂性。在下一节中，我们将介绍两种估计器——一种基于Brockand-Durlauf类型规范，另一种考虑到（10）中所述信念的条件期望特征。

然后，我们（a）表明，两个估计值之间的差异渐近可以忽略不计，（b）证明在布罗克和杜劳夫的估计程序中，在独立二级二元选择的计量经济学规范中，使用可观察的组平均结果作为回归器是合理的。注意，给定C2和C3-SD，E[| g（Wvh，Lvh，uv（Lvh））|]与h无关；它可以作为一种标准。与Menzel（2016）的进一步讨论和比较：在我们对空间情况的讨论中，通过两个独立分量定义的序列{uvh}={uv（Lvh）}，通过指数变量{Lvh}被称为服从于随机过程{uv（l）}。c.f.Andrews（2005年，第7节）和Lahiri and Zhu（2006年），在计量经济学和统计学中，从属关系被重新用于空间相关过程的建模。从属关系的一个含义是所谓的可交换性属性（参见，例如Andrews，2005），如果dom变量的序列是可交换的，则它可以在某些sigma代数上有条件地是I.I.D.（通常用F表示∞, Tail-sigma代数），称为de-Finetti定理（参见Hall和Heyde的第7章，1980）。在我们的设置中，这对应于{（Wvh，Lvh，uv（Lvh））}的条件I.I.D.，给出了随机过程uv（·）（以及ξv）的实现，其中F∞设置为随机函数uv（·）生成的西格玛代数。Menzel（2016）提出了一种条件推理方法，用于交换性假设下的多人博弈。事实上，Menzel（2016）和最近的论文相似，都考虑了在I.I.D.条件放松的情况下以及在许多游戏符号下对游戏的估计。然而，Menzel（2016）的框架与我们的框架之间存在一些实质性差异。

首先，在他的条件推理方案中，agame中玩家识别的概率定律与研究人员用于推理目的的概率定律不同（即前者是条件定律，后者是给定的条件定律）∞), 但它们在我们的环境中是相同的。不相同定律的这一特征导致难以构建有效、可解释的动量约束，以保证一致的估计。在估计结构经济模型（包括博弈论模型）的背景下，这种限制通常表现为某种外生或排除条件，这些条件是通过考虑参与者的优化行为得出的，即限制是基于参与者的视角构建的。在条件推理方案下，这种结构可能不会给出有效的力矩限制，而条件推理方案的有效性必须从研究者的角度用条件定律来判断。要了解这一点，请考虑一个简单的二进制选择示例：Yi=1{X′iβ+εi≥ 0}，其中εi | Xi~ N（0，1）和xi是协变量。在标准情况下，参数β可以通过E[w（Xi）{Yi估计- Φ（X′iβ）}]=0，其中w（·）是加权函数，Φ是N（0，1）的分布函数。相反，在一个利用{（Yi，Xi）}的可交换性或条件I.I.D.-ness的推理方案下∞i=1，一致估计需要E[w（Xi）{Yi- Φ（X′iβ）}F∞] = 0，其中F∞是{（Yi，Xi）}的尾部西格玛代数∞i=1。F∞-条件矩通常很难解释，不是由无条件矩暗示的，它是否成立并不总是显而易见的。

事实上，Andrews（2005）讨论了在使用条件定律的简单最小二乘回归情况下的一致性失败。Menzel（2016）的另一个不同于我们的特点是他专注于聚合游戏。在他的设置中，p层的效用取决于“聚合状态”，该状态是通过其他人行为的条件预期计算的（Gmn（s；σm），见第311页的公式（2.1），Menzel，2016）。该对象与∏vhin ou r设置相对应，因为玩家的交互仅通过聚合状态σm（我们的符号∏vhin）进行。在（10）和（11）的粗略条件期望（E[Avk | Ivh]）中定义了空间依赖性案例的∏vh，给出了参与者（v，h）所能获得的所有信息，即单个变量（Wvh，Lvh，uv（Lvh））和公共变量ξv。另一方面，在我们的上下文中，Menzel的聚合状态对应物是nv- 1X1≤k≤内华达州；k6=hE【Avk |ξv】，（16），其中仅在给定公共ξv的情况下计算条件期望（称为公共信号，Menzel，2016，第310页，用wm表示）。公式（16）意味着，由于uvk和uvh之间的相关性，即使uvh对（v，h）预测uvk（从而预测Avk）有用，每个玩家也不会利用所有可用信息来预测其他人的行为。这与在我们的环境中，通过理性预期的贝叶斯博弈中信念形式的直观自然结构相矛盾。然而，请注意，Menzel（2016年，第3节）也讨论了监管者博弈的收敛性和相关均衡。他的收敛结果基于这样一个假设，即玩家对其他玩家的预测基于有限博弈中的E[·|ξv]及其极限，而他的结果建立了信念过程的收敛，其中E[·| Ivh]用于有限博弈中，但在极限中减少为E[·|ξv]。

从这个意义上讲，我们的信念收敛结果可能被解释为提供了Menzel（2016）“聚合博弈”框架的渐近合理性。3计量经济学规范和估计在本节中，我们列出了我们模型的计量经济学规范，并描述了参数估计（用θ表示*), 假设观察到的样本是通过上一节介绍的游戏生成的，并且满足假设C1、C2和C3-SD（C3-IIDcase更简单，嵌套在C3-SD案例中；请参阅下面的更多内容）。特别是，我们通过一个条件矩限制来确定真实参数，该条件矩限制是从每一个v村庄的效用函数和博弈结构的规定中派生出来的。如上所述，有限人游戏中的信念具有条件期望特征，因此条件期望用于定义θ*有一个复杂的形式，因此基于它的估计量很难实现，下面用^θsdlower表示。因此，我们构建了另一个计算更简单的估值器^θ，该估值器基于从极限模型导出的条件期望约束，极限信念为πv（在Theorem1中导出），并将其用于我们的实证应用中。我们将^θBrock-Durlauf类型称为Brock-Durlauf类型，因为它代表了Brock和Durlauf（2001a，2007）中使用的估计器。由于极限模型不是实际的数据生成过程（DGP），我们首选的估计量^θ基于错误规定的条件动量约束。然而，我们表明，考虑到信念的条件期望特征（如（10）所示）的有限人博弈的估计量^θSD与基于极限模型的^θ具有相同的极限，如N→ ∞, 根据前一节和Ap pend ix A.2.1中介绍的空间数据的渐近s模式。

从这个意义上讲，两个估计量^θsda和^θ是渐近等价的，这一结果证明了使用简单的Brock-Durlauf型估计程序是正确的。下面的定理2正式证明了这个结果。该证明中的关键挑战是显示参数空间上固定点解（信念）的一致收敛性。空间依赖下的信念形式：为了发展我们的估计器，我们假设（10）中p层的信念是对称的：∏vh=(R)ψv（Wvh，Lvh，uvh，ξv），即？ψv（·）的函数形式对于同一村庄v中的所有p层都是常见的。我们注意到，考虑到C2和C3-SD中的（条件）独立性假设，信念的形式可以稍微简化。也就是说，信念是条件期望算子（13）的固定点，其中（Wvh、Lvh、uvh、ξv）是条件变量；然而，我们可以证明（v，h）的变量wvh与预测其他（v，k）的变量（Wvk，Lvk，uv（Lvk））无关⊥ Wvh |（Lvh，uv（Lvh），ξv），（18），因此，不含Wvh的固定点解是（Lvh，uvh，ξv）的函数。因此，当从一个[0，1]值函数g（·）映射到另一个[0，1]值函数e”（U（Yvk））时，这可以在C1、C2和C3-SD下进行调整- Pvk，g（Wvk，Lvk，uv（Lvk），ξv），ηvk）≥ U（Yvk，g（Wvk，Lvk，uv（Lvk），ξv），ηvk））Ivh#（17）是收缩，其中Ivh=（Wvh，Lvh，uvh，ξv）。函数映射的收缩条件类似于命题2中函数mv（r）（定义于（8））的收缩条件。对称平衡信念ψv（·）的证明类似于命题2的证明，为了简洁起见，省略了它。我们在附录a.3中提供并讨论了（17）为收缩的有效条件。我们可以证明（18）如下：序列{（Wvh，Lvh）}Nvh=1是条件I.I.D。