离散选择模型中的需求与福利分析

引理5的证明已经完成。引理6假设C1、C2、C3-SD和假设4成立。那么，设G是θ的函数(∈ Θ）、Wvh和uvh一致有界（且可测量）为| Gθ（Wvh，uvh）|≤其中，G是某个正常数（与θ无关）。然后，f或每个v，NvNvXh=1{Gθ（Wvh，uvh）- E[Gθ（Wvh，uvh）]}p→ 每个θ为0∈ Θ.引理6的证明。回想一下，uvh=uv（Lvh）。由于{uv（·）}是α混合，我们将Billingsley不等式（Bosq，1998的推论1.1）应用于| Cov[Gθ（Wvh，uvh），Gθ（Wvk，uvk）|（Wvh，Lvh），（Wvk，Lvk）]|≤ 4’G×α（kLvh- Lvkk/2；1) . （122）通过所谓的条件协方差分解公式，我们得到了Cov[Gθ（Wvh，uvh），Gθ（Wvk，uvk）]=E[Cov[Gθ（Wvh，uvh），Gθ（Wvk，uvk）|（Wvh，Lvh），（Wvk，Lvk）]+Cov[E[Gθ（Wvh，uvh）|（Wvh，Lvh），（Wvh，Lvk）]，E[Gθ（Wvk，uvk）|（Wvh，Lvh），（Wvh），（Lvh），（Wvh，Lvk）]。Wvk，Lvk）]]。（123）（123）RHS上的第二项为零，因为（Wvh，Lvh）⊥ （Wvk，Lvk）和条件期望被简化为[Gθ（Wvh，uv（Lvh））|（Wvh，Lvh），（Wvk，Lvk）]=E[Gθ（Wvh，uv（Lvh））|（Wvh，Lvh）]和[Gθ（Wvk，uv（Lvk））|（Wvh，Lvh），（Wvk，Lvk）]=E[Gθ（Wvk，uv（Lvk））|（Wvk，Lvk）]，它们遵循（Wvk，Lvk）中的条件独立关系（在定理5的证明中）。因此，根据（122）中给出的协方差界，我们得到了COVGθ（Wvh，uvh），Gvθ（Wvk，uvk）≤ 4’GE[α（kLvh-Lvkk/2；1） ]=4？GZ Zα（| | l）-l | |/2；1） dFL（l）dFL（≈l）=O（λ-τ/2N），在任何（v，h）和（v，k）上一致，其中最后一个等式来自与（90）相同的参数（在定理5的证明中）。使用这些，我们可以计算“NvXNvh=1Gθ（Wvh，uvh）- EGvθ（Wvh，uvh）#=NvXNvh=1Eh{Gθ（Wvh，uvh）- E[Gθ（Wvh，uvh）]}i+O（1）NvXX1≤h6=k≤Nvλ-τ/2N≤ 4’G/Nv+O（λ-τ/2N）=o（1），这完成了引理6的证明。引理7假设假设假设5和8成立。然后，它认为Max1≤h类≤Nvsupe公司∈Rθ∈Θ; θ∈Θ^ψv（Lvh，e；θ，θ）- ^πv（θ）= op（1）。引理7的证明。

回想一下^ψvis a fixed point of the functional mapping^F函数映射的固定点v、 （32）和^π中定义的vis a固定点^Fv∞[g] （θ，θ）：=Z Z1{w′c+(R)v+αg（￠l，e；θ，θ）+e≥ 0}h（~e）ded^FvW，L（~w，~L）。请注意，此^Fv∞是一个收缩（根据命题3），它不依赖于θ（对^F的依赖v∞[g] θ上的（θ，θ）仅通过g），其固定点也与θ无关；因此，我们写出^πv（θ）（代替^πv（θ，θ））。通过三角不等式，^ψv（Lvh，e；θ，θ）- ^πv（θ）≤^Fv、 Nvh^ψvi（Lvh，e；θ，θ）-^Fv∞h^ψvi（θ，θ）+^Fv∞h^ψvi（Lvh，e；θ，θ）-^Fv∞[^πv] （θ，θ）≤ supe公司∈Rθ∈Θ; θ∈Θ^Fv、 Nvh^ψvi（Lvh，e；θ，θ）-^Fv∞h^ψvi（θ，θ）+ ρ^ψv（Lvh，e；θ，θ）- ^πv（θ）,其中最后一个不等式适用于ρ∈ （0，1）（由命题3）独立于（θ，θ）和随机变量的任何实现。因此，呃^ψv（Lvh，e；θ，θ）- ^πv（θ）我≤1.- ρsupgE“supe∈Rθ∈Θ; θ∈Θ^Fv、 Nv【g】（Lvh，e；θ，θ）-^Fv∞[g] （θ，θ）#,其中（外部）支持接管任何[0，1]值函数。我们现在显示这个主要方面是op（1）。为此，请注意^Fv、 Nv【g】（l，e；θ，θ）-^Fv∞[克]≤Z Z1{w′c+？+v+αg（~l，e；θ，θ）+e≥ 0}h（|e | e，|l）- l |；θ) - h（e）d▄ed^FvW，L（▄w，▄L）≤ MZ Z | l- l|-τh（e）d（ed）FvW，L（w，L）=MZ（L）-l|-τd^FvL（≈l），其中第二个不等式来自假设8，且该上边界与g、e、θ和θ无关。由于I.I.D.变量的经验分布函数{Lvk}Nvk=1，wehaveE[Z | | l- Lvh公司|-τd^FvL（￠l）]=Nv- 1NvZ Z |l- l|-τdFvL（￠l）dFvL（l）。通过与（90）相同的参数（在定理5的证明中），我们得到了Z Z | l- l|-τdFvL（￠l）dFL（l）=λ-τ/2N。因此，E[max1≤h类≤Nvsupe公司∈Rθ∈Θ; θ∈Θ^ψv（Lvh，e；θ，θ）- ^πv（θ）] = O（Nv×λ-τ/2N），对于τ>4，这是o（1），因为λN=o(√N） 。

这就完成了引理7的证明。A、 5福利分析：π<π的情况：回忆公式（40）maxδ+β（y+a- p） +απ+η，δ+β（y+a）+απ+η≥ 最大值δ+β（y- p） +απ+η，δ+βy+απ+η.现在，ifa<最小值p- p-αβ(π- π) < 0,αβ(π- π),那么LHS上的每个项都小于RHS上的相应项。另一方面，如果≥ 最大值αβ(π- π） ，p- p-αβ(π- π),那么LHS上的每个项都大于RHS上的相应项。这使得usPr≤ （a）=0，如果a<minnp- p-αβ(π- π) ,αβ(π- π） o，1，如果a≥ maxnαβ（π-π） ，p- p-αβ(π- π） o.在中间情况下，最小值αβ(π- π） ，p- p-αβ(π- π)≤ a<最大值p- p-αβ(π- π) < 0,αβ(π-π),如果p- p-αβ(π- π) <αβ(π- π） ，然后是PR≤ a） =Prδ+β（y+a- p） +απ+η≥ δ+βy+απ+η！=Prδ+β（y+a- p） +απ+η≥ δ+βy+απ+α（π-π) + η!= qp- a、 y，π+α- αα(π- π),如果p- p-αβ(π- π) ≥αβ(π- π） ，然后是PR≤ a） =Prδ+β（y+a）+απ+η≥ δ+β（y- p） +απ+η！=Prδ+β（y+a）+απ+η≥ δ+β（y+a- （p+a））+απ+η！=Prδ+β（y+a）+απ+α（π- π) + η≥ δ+β（y+a- （p+a））+απ+η！=qp+a，y+a，π+α- αα(π- π).综上所述，我们有命题4，假设假设假设1，2和线性指数结构成立，π≤ π.然后，对于每个α∈ [0，α]，如果p- p-αβ(π- π) <αβ(π- π） ，然后是PR塞利格≤ 一=0，如果a<p- p-αβ(π- π） ，qp- a、 y，π+α-αα(π- π), 如果a∈hp（马力）- p-αβ(π- π) ,αβ(π- π),1，如果a≥αβ(π- π) ;（124）如果p- p-αβ(π- π) >αβ(π- π） ，然后是PR塞利格≤ 一=0，如果a<αβ（π- π） ，qp+a，y+a，π+α-αα(π- π), 如果a∈hαβ（π- π） ，p- p-αβ(π- π),1，如果a≥ p- p-αβ(π- π) .（125）不合格：召回公式（39）最大值δ+β（y+a- p） +απ+η，δ+β（y+a）+απ+η≥ 最大值δ+β（y- p） +απ+η，δ+βy+απ+η.现在如果a<minnαβ（π- π) ,αβ(π- π） o=αβ（π- π） ，则对于ηs的每个实现，LHS上的每个项都比RHS上的相应项小。因此概率为0。类似地，对于≥αβ(π- π） ，概率为1。

最后，对于αβ（π- π) ≤ a<αβ（π- π） ，上述不等式等价于δ+β（y+a）+απ+η≥ δ+β（y- p） +απ+η<=> δ+β（y+a）+απ+α（π- π) + η≥ δ+β（y- p） +απ+η。因此，我们得到了：命题5假设假设假设1、2和线性指数结构保持和π≤ π.然后，对于每个α∈ [0，α]，Pr西尼利格≤ 一=0，如果a<α-αβ(π- π） ，qp+a，y+a，π+α-αα(π- π), 如果α-αβ(π- π) ≤ a<αβ（π-π） ，1，如果a≥αβ(π- π) .（126）A.6收入内生性（总结自Bhatta charya，2018年，第3.1节）：观察到的收入可能是个人选择的内生性，例如，当忽略变量时，如未记录的教育水平，既可以决定个人选择，也可以与收入相关。在这种内生性下，观察到的选择概率可能与结构选择概率不同，一个done可以无条件地或有条件地根据收入确定福利分配，类似于项目评估文献中的平均治疗效果和平均治疗效果。在这种情况下，一个重要而有用的见解是，对于价格上涨，收入制约型电动汽车的分配不受收入内生性的影响，这一点以前没有提及过；对于价格下跌，结论是CV而不是EV。要了解为什么会出现这种情况，请回想上文讨论的二元选择设置，并定义收入结构选择概率的条件p、 y′，y=ZUy′- p、 η≥ Uy′，ηdFη（η| y），其中Fη（·| y）表示实际收入为y的个人未观察到的异质性η的分布，其中y可能等于或不等于y′。

现在，考虑到pto p的价格上涨，对于实数a，满足0≤ a<p- p、 （参见Bhattacharya，2015）Pr（EV）给出了a的等价变动分布（类似于a f综合价格和a补贴中的补偿变动），在收入y时进行评估，条件是实现收入为y≤ a | Y=Y）=qc（p+a，Y，Y），（127）现在，qc（p+a，Y，Y），根据定义，是当前收入为Y=Y的个人中，如果他们的收入为Y，他们会选择价格为p+a的备选方案1。如果价格是外生的，那么p⊥ η| Y，则以价格p和收入为条件的可观测选择概率由q（p，Y）=Z1{U（Y）给出- p、 η）≥ U（y，η）}fη（η| p，y）dη=Z1{U（y- p、 η）≥ U（y，η）}fη（η| y）dη（通过P⊥ η| Y）=qc（p，Y，Y）。因此，（127）等于q（p+a，y），因此由于内生性，不需要进行校正。这意味着，如果怀疑收入的外生性，并且没有明显的工具或控制功能可用，那么研究人员仍然可以基于实现收入的EV分布进行有意义的福利分析，前提是价格是以收入和其他观察到的协变量为外生条件的。对于补贴导致的价格下跌，我们在应用程序中计算的补偿变化也适用相同的结论。此外，我们可以通过在收入的边际分布上积分q（p，y）=qc（p，y，y）来计算人口的福利。A、 7非参与户主我们注意到，在我们对肯尼亚西部11个村庄进行的实地实验中，每个村庄的一部分户主参与了游戏，我们的样本并没有覆盖所有村民。这可能会导致一个问题，因为选定的家庭可能会与未选定的家庭互动，但我们没有关于后者的任何数据。

然而，在实验时，n个被选中的家庭没有任何机会购买IT n，这些家庭的结果变量A总是零，其条件期望也是零。因此，在我们的规范中，即使我们允许所有村庄成员（我们选出或未选出）之间的互动，也很容易对经验进行必要的调整。为了了解这一点，我们将指数（v，k）解释为代表任何选定和非选定家庭，即k∈ {1，…，ˋNv}其中ˋNv是v村所有家庭的数量（因此，ˋNv>Nv），并定义ˋAvkas作为一个变量来表示任何村庄成员的结果，即，如果在实验中选择了（v，k），则ˋAvk=avkandotherw ise=0。对应于ˇAvk，让ˇ∏vhbe（v，h）的信念定义为ˇ∏vh=ˇNv-1X1≤k≤ˇNv；k6=hE[ˋAvk | Ivh]，这是v村所有家庭的条件期望的平均值。通过ˋAvk的定义，我们可以很容易地看到ˋ∏vh=（Nv-1ˇNv-1） 内华达州-1X1≤k≤内华达州；k6=hE[平均Ivh]=（内华达州-1ˇNv-1） ∏vh，（128），是∏vh的缩放版本。即使（v，h）的行为受到未选定家庭的影响，即由（1）决定，但∏vh被∏vh取代，其与前一种情况的区别仅在于（Nv-1ˇNv-1). 在我们的经验设置中，该比率为0.8，我们在整个分析过程中应用该调整。附录Gale，D.和Nikaido，H.（1965）的参考文献雅可比矩阵和映射的全局单价，Mathematische Annalen 159，81-93。Holden，L.（2000）相对su-premum范数中马尔可夫链的收敛性。适用概率杂志371074-1083。Jenish，N.&Prucha，I.R.（2012）关于近时代依赖下的空间过程和渐近推断。《计量经济学杂志》170178-190。Lee，L.-F。

（2004）《空间自回归模型的拟i-最大似然估计的渐近分布》，计量经济学721899-1925。Newey，W.K.（1991）《概率一致收敛与随机等连续性》，计量经济学591161-1167。Newey，W.K.和McFadden，D.（1994）《大样本估计和假设》，计量经济学手册，第四卷（Ed.R.F.Engle和D.L.McFadden），第36章，第2111-2245页，Elsevier。Stokey，N.L.&Lucas，Robert E.Jr.（1989）《经济动力学中的递归方法》，哈佛大学出版社。Varin，C.、Reid，N.，&Firth，D.（2011）《复合似然法概述》，StatisticaSinica 21，5-42。