离散选择模型中的需求与福利分析

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《计量经济学杂志》，198（1），第65-83页。附录本附录有七节，分别标记为A.1-A.7。他们分别处理了I.I.D.不可观测信度的一致性和对称性证明、空间相关不可观测信度的收敛性、收缩的有效条件、估计量的收敛性（定理2的证明）、π<π下的福利分析、收入内生性和非参与家庭。A、 （有条件地）I.I.D.的证明。命题1的案例证明。根据（2）中的定义（h替换为k），∏vk=Nv-1P1≤j≤内华达州；j6=kE[平均Ivk]。由于这是给定Ivk=（Wvk，Lvk，uvk，ξv）的条件期望的平均值，我们可以使用一些函数gvk（·）将（v，k）的信念写成∏vk=gvk（Wvk，Lvk，uvk，ξv），该函数可能取决于每个指数（v，k），但具有确定性（非随机）。因此，将∏vkinto Avk=1{U（Yvk- Pvk，∏vk，ηvk）≥ U（Yvk，πvk，ηvk）}，我们也可以写avk=fvk（Wvk，Lvk，uvk，ξv），（61）对于某些确定性函数fvk（·），这里Wvk=（Yvk，Pvk）。根据C3-IID，我们有两个条件独立性限制：（uvh，uvk）⊥ （Wvh，Lvh）|ξvand uvh⊥ uvk |ξv。这意味着uvk⊥ （Wvh，Lvh）| uvh，ξvand uvk⊥ uvh |ξv<=> uvk⊥ （Wvh，Lvh，uvh）|ξv，（62），其中我们使用了以下条件独立关系：对于随机对象Q，R，and，“Q⊥ R |（S，ξv）和Q⊥ S |ξv“相当于”Q⊥ （R，S）|ξv“，（63）施加Q=uvk，R=（Wvh，Lvh），S=uvh。同样，C3-IID表示（Wvk、Lvk、Wvh、Lvh）⊥ （uvk，uvh）|ξvand（Wvk，Lvk）⊥ （Wvh，Lvh）|ξv=> （Wvk，Lvk）⊥ （uvk，uvh）|（Wvh，Lvh，ξv）和（Wvk，Lvk）⊥ （Wvh，Lvh）|ξv，相当于（Wvk，Lvk）⊥ （Wvh，Lvh，uvk，uvh）|ξv.（64）下面我们用Eξv[·]表示给定ξv的条件期望算子（即，E[·|ξv]；我们还写出了ξv[·| B]=E[·|ξv，B]对于任何随机变量）。

综上所述，我们有E[Avk | Ivh]=Eξv[fvk（Wvk，Lvk，uvk，ξv）| Wvh，Lvh，uvh]=ZEξv[fvk（Wvk，Lvk，u，ξv）| Wvh，Lvh，uvh，uvk=u]dFvu（| uξv）=ZEξv[fvk（Wvk，Lvk，u，ξv）]dFvu（|ξv）=Eξv[fvk（Wvk，Lvk，uvk，ξv）]=E[Avk |ξv]，其中第一个等式使用（61），第二个和第三个等式分别在（62）和（64）之后，第四个等式自（Wvk，Lvk）起保持不变⊥ uvk |ξv，完成证明。命题2的证明。设‘πvk=’πvk（ξv）：=E【Avk |ξv】，对于h=1，Nv，（65），其中，从今以后，我们支持∏vkonξvf对符号简单性的依赖性。通过位置1和（6），我们得到了∏vh=(R)∏vh=Nv-1X1≤k≤内华达州；k6=h'πvk。（66）给定这些，我们可以写出‘πvh=Eξv’（U（Yvh- 内华达州Pvh-1P1≤k≤内华达州；k6=h'πvk，ηvh）≥ U（y，Nv-1P1≤k≤内华达州；k6=h'πvk，ηvh））#，h=1，内华达州。（67）我们可以很容易地看到，如果（67）中方程的对称解唯一存在，那么（7）（用{∏vh}Nvh=1表示）的对称解也同样存在（反之亦然；请注意∏vh=PNvk=1∏vk-（内华达州- 1） (R)∏vhby（66））。因此，我们调查（67）。对应于（67），定义一个Nv维向量值函数r=（r，r，…，rNv）∈[0，1]NvasMv（r）：=mv（Nv-1Pk6=1rk），mv（Nv-1Pk6=Nvrk）,我们写的地方1≤k≤内华达州；k6=h=Pk6=h表示简单，Mvis域和范围内的度量定义为| | s- s||∞:= 最大值1≤h类≤内华达州| sh- sh |，对于任何s=（s，…，sNv），▄s=（▄s，…，sNv）∈ [0，1]Nv（请注意，两个空格均为[0，1]Nv）。考虑到Mv（r）的这些定义和度量，我们可以很容易地证明Mv（·）的收缩特性会延续到Mv（·），即kMv（r）- Mv（￠r）k∞≤ ρkr- rk∞,这意味着存在唯一的解r*（Nv维）向量值方程：r=Mv（r）。（68）现在，考虑以下标量值方程r=mv（r）。通过收缩性质（9），它有一个唯一的解。

用“r”表示此解决方案*∈ [0, 1]. 根据Mv（·）的定义，向量r*= （(R)r*, . . . , \'\'r*) ∈ [0，1]Nvmus不是（68）的解决方案。然后，通过（68）的解的唯一性，这个*must可能是唯一的解决方案，这是一组对称的信念。证明已完成。A、 2空间相关酪蛋白在本节中，我们给出了空间相关过程{uvh}的形式规范，并得出了信念收敛结果。我们证明了下面的定理5，这是第2节中定理1的一个更明确、更一般的版本，因为它还导出了在不假设对称信念的情况下的收敛速度。注意，考虑到C1（独立于村庄），每个村庄可以单独分析。因此，为了简单起见，我们删除了村庄索引v，即写入{（Wh，Lh，uh）}Nh=1，而不是{（Wvh，Lvh，uvh）}Nvh=1。这里的所有条件和陈述都应解释为每个村庄v的ξvf所给出的条件，其中我们注意到C2和C3-SD是在ξv上有条件地陈述的。为了避免任何符号混淆，我们以以下简化形式重新书写C2和C3-SD（无村庄特定影响ξvand村庄指数v）：C2’{（Wh，Lh）}Nh=1is I.I.D.with（Wh，Lh）~ FW L（w，L）。C3-SD{uh}Nh=1通过uh=u（Lh）定义，其中{u（l）}l∈Ris是rw上的一个随机过程，具有以下性质：i{u（l）}是满足假设3的α混合（如下提供）；ii）{u（l）}l∈Ris独立于{（Wh，Lh）}Nh=1。A、 2.1空间混合结构现在，我们提供了{uh}的其他规范，这些规范被建模为空间相关过程。为此，我们引入了更多的符号。对于集合L R、 设σ[L]是{u（L）：L生成的σ代数∈ 五十} 定义|α（L，L）：=sup|Pr[B∩ C]- Pr【B】∩ （69）当最高法院接管任何事件时∈ σ[L]和d C∈ σ[升]。

这个∧α度量两个代数之间的依赖程度；如果任何B和C是独立的，则为零。我们还编码（b）：={∪kj=1Dj：Pkj=1 | Dj |≤ b、 k是有限的}，是所有有限的不相交的正方形并集Dj的集合，在rw中，其总体积不超过b，其中| Dj |表示每个正方形Dj的体积。给定这些，我们用α（a；b）：=su p{α（l，l）：d（l，l）定义随机过程{u（l）}的α-（强）混合系数≥ a、 L，L∈ R（b）}，（70）其中d（L，L）是两个集合之间的距离：d（L，L）：=inf{124; L-l | |：l∈ 五十、 L∈ 五十} ，| | L-l | |表示R中两点之间的l距离：| l-l |+| l-对于l=（l，l）和▄l=（▄l，▄l），为▄l▄。我们假设α（a；b）在a中减少（在b中增加）。特别是，α在a中的递减意味着当| | l时，u（l）和u（~l）的相关性较小-| l | |较大，即当混合系数α（a；b）随着a趋于完整而衰减为零时，该过程弱依赖。对于位置变量{Lh}，我们考虑以下递增域渐近格式，大致遵循Lahiri（1996）。我们将Ras视为采样区域（即村庄）的“原型”，该区域被定义为r的有界和连通子集，对于每个N，我们表示村庄的byRNa采样区域，该区域通过比例因子λN对集合RB进行拟合而获得→ ∞ 保持相同的形状，使得N/λN→ c代表一些c∈ (0, ∞). （71）特别是，如果Rc包含原点0∈ R、 我们可以写RN=λNR，这可以假设为dwlog。还假设Ris包含在边长为1 WLOG的正方形中。因此，Rn的面积等于或小于λN。

设f（·）为R上的概率密度，然后为sh~ f（·），Lh=λNsh，（72），其中，为了符号简单，支持Lhon N的依赖性。考虑到这些，我们有~ （1/λN）f（·/λN），以及居住在a区的预期家庭数量 注册护士( R） isN Pr（左侧∈ A） =N Pr上海∈ λ-1NA= NZλ-1NAf（u）du。我们还可以用Lk和Lh计算两个人的期望距离：E[| | Lk- Lh | |]=ZRNZRN | | l- l | |（1/λN）f（▄l/λN）f（l/λN）d▄ldl=λN×ZRZR |▄s- s | | f（~s）f（s）dsds，（73）对于下面定理5的验证，使用R（b）对混合系数的定义比必要的定义稍微复杂一些。然而，我们坚持这一定义。这与Lahiri和Zhu（2006）中使用的方法相同，他们展示了在这种定义和一些温和的规则性条件下空间引导的有效性。注意，当Rdoes不包含原点时，我们需要考虑一些位置偏移：Lh=λN（sh- s*)而不是（72），其中s*R中的某个点- s*’ （按s移位*) 包含原点。使用变化变量，s=~l/λ，s=l/λN。由于最后一行上的第二项是有限积分（与N无关），它在sups下存在∈射频（·）<∞, 任意k和h之间的平均距离以λN的速率增长。这种增长平均距离特征是在上述弱相关（混合）条件下建立空间相关数据极限理论的关键。在介绍假设3之后，我们将在下面讨论这一点及其含义。现在，我们陈述了以下关于数据生成机制的附加条件：假设3（i）随机过程{u（l）}l∈RNisα混合，其混合系数满足α（a；b）≤ 加利福尼亚州-τbτ，对于某些常数，C，τ∈ (0, ∞) 和τ≥ 0，其中α（a；b）在（70）中定义。（ii）设{Lh}Nh=1为C2\'中引入的I.I.D.序列。

通过（72）定义的每个LH连续分布，其支撑RN（通过RN=λNR定义）和概率密度函数fL（·）=（1/λN）f（·/λN），满足sups∈射频<∞.条件（i）控制{u（l）}的空间依赖程度，这是建立极限（LLN/CLT）结果的关键。Lahiri和Zhu（2006）也采用了相同的条件，Jenish和Prucha（2012）等其他论文也采用了类似的条件。（ii）是增量域条件，对于建立估计量的一致性很重要（Lahiri，1996）。密度的一致有界性是为了简化证明而强加的，但可以以更复杂的证明为代价来放松。条件（i）和（ii）对我们的模型的识别和估计有着重要的意义：考虑到域条件（ii）的增加，两个个体之间的距离k和h平均随着λN的增加而增加→ ∞ 作为N→ ∞, 如（73）所示。这意味着，给定弱依赖条件（i），对于任何k和h，两个变量η和ηh之间的相关性随着N趋于∞. 换言之，对于每个h，几乎与h无关的其他个体的数量趋于∞ 此外，这些个体的比例（在gall N玩家中为am）趋向于1。也就是说，对于较大的N，u（Lk）和Akare的条件定律受u（Lh）的影响较小，因此E[Ak | Wh，Lh，u（Lh）]收敛于E[Ak]。我们在定理5中正式验证了这个收敛结果。请注意，苏奇收敛并不是我们对数据生成机制的特定要求，但它通常发生在具有空间数据的环境中。

例如，Jenish和Prucha（2012）在不断增加的域假设和所谓的最小距离条件下得出了空间数据（或随机场）的各种极限结果，其中最小距离条件意味着任何两个独立变量之间的距离大于某个固定常数d>0（与N无关）。这两个假设意味着，距离每个h“很远”的个体数量往往∞.请注意，我们的递增域假设（以及Lh密度的具体情况）表明，这与假设3（i）中的混合条件一起，推动了条件期望的收敛。在结束本小节之前，我们提出了以下假设4，在该假设下，第2节中的定理1得到验证。这是假设3的多村庄版本，其中我们考虑了“v>1，ξv6=0（因此ηvh=ξv+uvh）：假设4（i）对于每个v∈ {1，…，v}，给定ξv，随机过程{uv（l）}l∈RNvisα混合，其混合系数满足αv（a；b）≤ 加利福尼亚州-某些常数C的τbτ∈ (0, ∞),τ> 0和τ≥ 0，其中α（a；b）=αv（a；b）的定义如下（70）。（ii）对于每个v，给定ξv，设{Lvh}Nvh=1b为C2中引入的条件I.I.D.序列。

每个Lvhis连续分布，其支架RNv=λNRvand PDF fvL（·）=（1/λN）fv（·/λN）满足支持∈Rvfv（s）<∞, 式中，rv是每个村庄v的“原型”采样区域，λNis是N/λN的缩放常数→ c代表一些c∈ (0, ∞).A、 2.2平衡信念的收敛为了正式说明我们的信念收敛结果，我们引入了以下函数al算子T∞将一个[0，1]值函数g映射到[0，1]:T中的某个常数∞[g] ：=E“（U（Yk- Pk，g（Wk，Lk，u（Lk）），u（Lk））≥ U（Yk，g（Wk，Lk，U（Lk）），（74），其中T∞[g] 通过{Wk，Lk}（Wk=（Yk，Pk）\'）的（有条件）I.I.D.-度和{Wk，Lk}和{u（l）}之间的独立性，在C2\'和C3-SD\'中施加。如果{（Wk，Lk，u（Lk））}Nk=1为I.I.D.，则平衡信念将被描述为该T的固定点∞（如提案1和提案2所述）。尽管在C3-SD中建模的未观察到的异质性的空间依赖性下，信念s作为条件期望给出，但它们仍然通过∞在下文所述的渐进意义上。为了说明这一点，我们引入以下映射来描述C3-SD’foreach N下的信念。设gN=（g，…，gN）是一个N维向量值函数，其中每个元素都是一个支持（Wh，Lh，u（Lh））的[0，1]值函数Gh。然后，将TN定义为从GN到N维随机向量的函数映射：TNgN公司:= （TN，1gN公司, . . .

，TN，NgN公司),对于任何d>0，k 6=h，Pr（| | Lk- 左侧||≤ d） =请购单||sk公司- 上海||≤ λ-第1个=Z Z Z||u- r||≤ λ-第1个f（u）f（r）dudr→ 0，其中收敛面积为（u，r）||u- r||≤ λ-第1个收缩到零，f（·）一致有界；因此，对于任何d>0的情况，我们都有概率接近1的最小距离条件。其中每个TN，hgN公司是从GN到定义为asTN，h的[0，1]值随机变量的m ap pinggN公司:=N- 1NXk=1；k6=hE“（U（Yk- Pk、gk（Wk、Lk、u（Lk））、u（Lk））≥ U（Yk，gk（Wk，Lk，U（Lk）），U（Lk）））Wh、Lh、u（Lh）#。注意，TN，hgN公司当h使用gk（Wk、Lk、u（Lk））命令其他k的行为时，对应于个人h的信念∏h（在第2节中，这被写为∏VH，其中考虑了多个村庄）。因此，在平衡状态下，信念的s y干，（π，…πN）=（ψ（W，L，u（L）），ψN（WN，LN，u（LN）），满足固定点限制：（ψ（W，L，u（L）），ψN（WN，LN，u（LN））=TNψN（75）几乎可以肯定，我们写ψN=（ψ，…，ψN），一个函数向量；注意解的每个元素，ψ，ψN依赖于N，但为了符号简单，我们抑制了它。注意，（75）可等效为以下坐标形式：ψh（Wh，Lh，u（Lh））=TN，hψNh=1，N、 下一个定理说明了每个ψh（Wh，Lh，u（Lh））收敛到一个唯一的固定点ofT∞, 这是一个常数'π=E[Ak]：定理5（空间相关性下的信念收敛）假设C2\'和C3SD\'与假设3保持一致，函数映射T∞（74）中定义的收缩是由标准| | g | | L=E[| g（Wh，Lh，u（Lh））|]引起的度量收缩∞ （g是一个支持（Wh，Lh，u（Lh）），即| T的[0，1]-值函数∞[克]- T∞[g]|≤ ρ| | g- 对于某些ρ，g | | l∈ (0, 1) .设‘∏∈ [0，1]是函数方程g=T的（唯一）解∞[g] 。然后，它认为对于任何解ψN=（ψ。