离散选择模型中的需求与福利分析

给定ξv（通过C2），它也与给定ξv（通过C3-SD（ii））的随机过程{uv（l）}条件独立。因此，{（Wvh，Lvh）}Nvh=1是有条件的i.i.d.（{uv（l）}，ξv），这意味着（Wvh，Lvh）⊥ （Wvk，Lvk）|（{uv（l）}，ξv）。因为它也认为（Wvh，Lvh）⊥ {uv（l）}ξv，我们应用Q=（Wvh，Lvh），R=（Wvk，Lvk），S={uv（l）}的条件独立关系（63），得到（Wvk，Lvk，{uv（l）}）⊥ （Wvh，Lvh）|ξv=> （Wvk，Lvk，{uv（l）}）⊥ Wvh |（Lvh，ξv）=> （Wvk、Lvk、uv（Lvk）、uv（Lvh））⊥ Wvh |（Lvh，ξv）=> （Wvk、Lvk、uv（Lvk））⊥ Wvh |（Lvh，uv（Lvh），ξv），其中第二行和第四行的导数使用了以下条件独立关系：对于随机对象T、U、v和C，如果T⊥ （U，V）| C，然后T⊥ U |（V，C）；对于第二行，我们设置T=（Wvk，Lvk，{uv（l）}），U=Wvh，V=Lvh，C=ξV；对于第四条线，T=Wvh，U=（Wvk，Lvk，uv（Lvk）），V=uv（Lvh），C=（Lvh，ξV）。稍微滥用符号，我们写∏vh=(R)ψv（Lvh，uvh，ξv）。（19） 线性索引x结构：我们现在指定效用函数的形式。由于很少有大型对等群体（例如，我们的应用数据集中有11个大型村庄），我们无法一致地估计信念∏vh对选择概率函数的影响，非参数地保持其他回归系数不变。因此，继Manski（1993）和Brock和Durlauf（2001a，2007）之后，我们假设一个η=（η，η）′的线性指数结构，即。实用程序由u（y）给定- p、 π，η）=δ+β（y- p） +απ+η，U（y，π，η）=δ+βy+απ+η，（20）其中，与假设1-2相对应，我们假设β>0，β>0，即数字不满足，β不需要等于β，即可以存在收入效应，并且α≥ 0≥ α、 即，合规性产生更高的效用。

如上文第2节所述，这些效用可以被视为与多个参与者的不完全信息博弈中的托拜斯-纳什均衡对应的预期效用。在下面的第4节中，我们将在讨论福利计算时提供（20）中个人系数解释的更多细节。这些细节在本节剩余部分中不起任何作用。利用（20）和ηvh=ξv+uvh（见（3））的结构，ξv：=（ξv，ξv）′，uvh：=（uvh，uvh）），可以得出u（Yvh- Pvh，∏vh，ηvh）- U（Yvh，∏vh，ηvh）=（δ- δ) + (β- β） Yvh公司- βPvh+（α-α） ∏vh+ξv- ξv+uvh- uvh≡ cPvh+cYvh+α∏vh+’ξv+εvh，（21）其中我们定义了‘ξv：=c+ξv- ξv.回想一下，C2和C3-SD中的概率条件是以村庄（实现值）固定的未观察到的异质性ξv为条件的，如关于面板数据模型的计量经济学文献中所述。从这个意义上说，我们可以(R)ξv非随机性。事实上，考虑到每个村庄的许多观测值(R)ξv可以估计，并包含在一组待估计的参数中。我们将在下面的第4.4节中进一步讨论这一点。计量经济学规范：我们现在提供替代估计值。要做到这一点，我们需要更多的符号。设θ=（c′，α）′表示（偏好）参数向量，其中c=（c，c）′是对应于Wvh=（Pvh，Yvh）′的系数向量。在第3节的其余部分中，这是否是因为在I.I.D.（有条件）情况下，村庄内的∏vhis恒定不变，而这种恒定性也适用于空间情况下的极限模型。特别是，由于维度问题，固定点约束没有帮助。

事实上，定点条件：π=Rq（p，y，π）dFP，y（p，y），其中FP，y（p，y），识别（p，y）的联合CDF，未知函数q（p，y，π）的维数高于可观测的FP，y（p，y）。假设村庄固定参数\'ξ，已知“ξ”变量，这是为了符号的简单性；这一假设并没有改变关于估计量收敛性的任何实质性论点。我们在下文中讨论了这些参数的识别/估计方案，并为“ξ，…”，使用附录A.4中的一种识别方案（例如同质性假设）估算出的ξ变量。给定（19）和（21），我们可以写出avh=1W′vhc+’ξv+α′ψv（Lvh，uvh）+εvh≥ 0. （22）为了结合ψvin估计的定点特征，在这里我们写下ψv（Lvh，uvh）=ψv（Lvh，uvh，ξv）以简化符号，我们可以假设s-Tocastic过程{εvh}的空间依赖性参数模型，这需要计算函数方程定义ψv。对应于定义uvh=uv（Lvh），uv（l）=（uv（￠l），uv（￠l）），我们假设εvh=εv（Lvh），其中{εv（l）}是一个定义为εv（l）=uv（l）的随机过程- 紫外线（l）。我们让H（| e | e，| | l）- l | |；θ*)为εv（l）=uv（l）的条件分布- 给定εv（l）=e的uv（l），由有限维参数θ参数化∈ Θ，且（伪）真值由θ表示*. 我们还用H（e）写出了εv（～l）的边缘CDF及其概率密度H（e）。在续集中，我们还编写了-εv（l）等于Fε（e），因此H（e）=1- Fε(-e） 。

（εv（≈l），εv（l））isRs的联合分布函数≤eH（| e | s，| l）- l |；θ*)h（s）ds，给定位置指数l和l。对于包含定点限制的d-evelop估计器，基于h定义以下函数：Fv、 Nv[g]（l，e；θ，θ）：=Z Z1{▄w′c+▄ξv+αg（▄l，e；θ，θ）+▄e≥ 0}dH（▄e▄e，▄l- l |；θ） dFvW L（￠w，￠L），（23）对于v=1，\'\'v，其中Fv、 NV是从一个[0，1]值函数g=g（l，e；θ，θ）到另一个函数F的函数运算符v、 Nv【g】，FvW L（w，L）是（Wvh，Lvh）的联合CDF。我们为该F提供了有效条件v、 NV为附录a.3中的收缩。鉴于上述设置，将模型定义为：Avh=1W′vhc+’ξv+αψv（Lvh，εvh；θ，θ）+εvh≥ 0θ=θ*; θ=θ*, （24）式中θ*（=（c）*′, α*)′) 和θ*表示真参数和ψv（Lvh，εvh；θ，θ）是通过运算符（23）定义的函数方程的解（对于给定的每个（θ，θ））：ψ=Fv、 Nv[ψ]；（25）该规范暗示了{εv（l）}的成对平稳性，即εv（| l）和εv（l）的联合分布仅取决于距离| l- l |。对于我们的目的来说，平稳性并不是绝对必要的，但为了简单起见，需要保持平稳性。我们还可以指定整个εv（l）的全关节分布（对于任何l∈ Lv，或任何l，l，lq公司∈ Lvwithq为任意整数；例如，高斯过程），这不会影响我们的估计方法。满足C1、C2、C3-SD和一些正则性条件（如下所示）。此后，将假设模型（24）为观测变量{（Avh，Wvh，Lvh）}Nvh=1（v=1，…，v）的DGP。3.1计量经济学估计值定义估计值：目前假设th为真参数θ*给出了空间相关性。

然后，基于（22），我们确定了真正的偏好参数θ*（即我们的估计）作为条件矩限制的解：e[{Avh- Cv（Wvh，Lvh；θ，θ*)}|Wvh，Lvh]=0（v=1，…，v），（26），其中Cv是条件选择概率函数：Cv（Wvh，Lvh；θ，θ）：=ZW′vhc+’ξv+αψv（Lvh，e；θ，θ）+e≥ 0dH（e）。（27）基于极限模型的实际估计器：考虑到我们的参数设置，我们可以通过求解固定点方程（25）的经验版本来计算（27）的经验模拟。下面用^θSD表示的估计量在实践中很难计算。因此，我们考虑了一种基于模拟条件矩条件的替代估计器：E[平均值-FεW′vhc+’ξv+α′πv|Wvh]=0（v=1，…，v）。（28）这是从极限信念为πv的极限模型得出的，它不依赖于未观察到的异质性和其他（v，h）特殊变量。事实上，极限模型并非真正的DGP，而第（28）项在C3-SD下的规定错误（在C3-IID下的规定正确）。尽管如此，我们认为基于（28）的估计量（我们最终在经验应用中使用）可以在渐近意义上得到验证。这个更简单的估计量由以下公式给出：^θBR=argmaxθ∈ΘLBR（θ），其中^LBR（θ）：=N'vXv=1NvXh=1Avhlog FεW′vhc+’ξv+α^πv+(1 - Avh）日志1.- FεW′vhc+’ξv+α^πv, （29）其中θ=（c′，α）′，Θ是紧致于RDD的参数空间-1是Wvh的维数，N=P'vv=1Nv，常数信念'πv（出现在极限模型中）通过'πv=NvPNvh=1Avh估计。

我们使用标签“BR”作为该估计量，因为它基于Brock，并注意到第3节中的所有（条件）期望，E[·]和E[······]是根据Avh、Wvh、Lvh和εvh（=εv（Lvh），或uvh=uv（Lvh）的定律，条件是u非均匀性ξv（或ξv）。Durlauf（2001a）型公式。该估计器^θ易于计算，因为其目标函数^LBR（·）既不需要解决定点问题，也不需要任何数值积分，其中信念公式基于具有常数信念‘∏v的极限模型。下面，我们证明了复杂估计器^θSD（基于（24））和简单估计器^θ具有相同的极限。有限人博弈的势估计：我们现在正式介绍了基于（26）的计算困难势估计量^θSDbased。通过以下目标函数定义：^LSD（θ，θ）：=N'vXv=1NvXh=1nAvhlog^C（Wvh，Lvh；θ，θ）+（1- Avh）logh1-^C（Wvh，Lvh；θ，θ）Io其中，^C是对条件选择概率的估计，该概率明确包含条件选择概率和定点特征：^C（Wvh，Lvh；θ，θ）：=ZnW′vhc+(R)v+α^ψv（Lvh，e；θ，θ）+e≥ 0odH（e），（30）和^ψv（Lvh，e；θ，θ）是信念的估计量，定义为每个（θ，θ）的以下函数方程的解：ψ=^Fv、 Nv[ψ]f或v=1，五、（31）华氏度v、 Nvis是F的经验版本v、 Nv（在（23）中定义），其中真实FvW，Lis替换为^FvW，L：^Fv、 Nv[g]（l，e；θ，θ）：=Z Z1{▄w′c+▄ξv+αg（▄l，e；θ，θ）+▄e≥ 0}dH（▄e▄e，▄l- l |；θ） d^FvW，L（▄w，▄L）。（32）本^ψvis（23）解的经验版本。这一点的一个显著特征是，它是u非服务异质性的函数（由变量e表示）。

由于对e的依赖性，计算（30）和（F）中的^Cv、 Nvin（32）比较困难，需要对指示器功能进行数值积分；此外，确定固定点^ψ函数方程（31）也需要一些数值程序。这里，我们不讨论如何识别和估计空间相关性θ的p参数*（由于我们的经验应用并非基于^LSD（θ，θ）），而是假设一些合理的初步估计值^θ与^θp的可用性→ θ*, 并将我们的估计值定义为^θSD=argmaxθ∈Θ^LSD（θ，^θ）。注意，给定这种形式的^θSD，我们可以再次将此估计器解释为解^MSD（θ，^θ）：=N'vXv=1NvXh=1ω（Wvh，θ）nAvh的矩估计器-^CWvh，Lvh；θ,^θo=0，适当选择权重ωWvh，θ，^θ. 这可以被视为基于（26）中人口的抽样矩条件。相应的估计程序应类似于Rust（1987）中的嵌套定点算法。3.2估值器的收敛性现在表明| |^θSD-^θ| p→ 0，即基于正确条件力矩限制（26）的^θSd和基于错误规定力矩限制（28）的^θSd是渐近等效的。也就是说，如果^θ是一致的，那么^θsda也是一致的，反之亦然；在证明中，我们证明了θ的两个估计量是一致的*这令人满意（93）。这在下面的定理中正式说明：定理2假设C1、C2、C3-SD、假设4、5、6、7和8成立。然后| |^θSD-^θ| |=op（1）。正式证明见附录A.4；概述如下。

我们首先介绍了中间估计量Ganother，它基于常数信念，但解决了Limi t模型的不动点问题，即^θFPL=argmaxθ∈Θ^LFPL（θ），wher e^LFPL（θ）：=N？vXv=1NvXh=1Avhlog FεW′vhc+’ξv+α^πv（θ）+ (1 - Avh）日志1.- FεW′vhc+’ξv+α^πv（θ）,式中π=^πv（θ）∈ [0，1]是每个θ（fixed）的定点方程的解：π=ZFε（w′c+’ξv+απ）d^FvW（w），（33）注意v（θ）∈ [0，1]是π的一个示例版本v（θ），求出π=ZFε（w′c+’ξv+απ）dFvW（w），（34），这是（33）的总体版本，其中^fvw由真正的CDF FvWof Wvh代替。该^θfplis基于极限模型（具有常数信念）构建，但它明确解决了固定点限制（33）（不同于从Brock-Durlauf ty-pe力矩限制（28）导出的^θ）。^θfplm可以解释为从条件矩限制中导出的矩估计量：E平均值- Fε（W′vhc+’ξv+απv（θ））| Wvh= 0（v=1，…，v）。请注意，^θfplca也可定义为求解^MFPL（θ）=0，其中，给定适当的权重ω（Wvh，θ），^MFPL（θ）：=N？vXv=1NvXh=1ω（Wvh，θ）平均值- FεW′vhc+’ξv+α^πv（θ）.请注意，此限制也是一个错误的限制。我们证明了| |^θSD的收敛性-^θ| |分两步。在第一步中，我们表明^θFPLand^θ具有相同的极限，这是不同条件力矩限制的解（见附录a.4中的（93））。在第二步中，我们证明了^LSD（θ，^θ）是由θ上的^LFPL（θ）一致逼近的∈ Θ对于^θ的任何序列（作为N→ ∞).4福利分析我们现在进入论文的第二部分，涉及溢出下政策干预的福利分析。由于我们假设溢出仅限于住户所在的村庄，因此政策干预的任何福利影响都可以按村庄进行分析。

因此，对于符号经济学，我们去掉了（v，h）下标，除非我们在估算过程中明确说明了村庄固定效应。此外，我们使用相同的符号π来表示进入个体效用的个体信念，以及进入平均需求函数的关于村庄接受率的唯一均衡信念。通过结果命题10、命题11和定理1证明了常数（村庄内）π的假设。在下面得出的福利结果中，第4.1-4.3节中的所有概率和期望值（例如平均福利损失）都是根据总u不可服务的边际分布来计算的，表示为η=ηvh以上和以下。从这个意义上讲，它们类似于Blundell和Powell（2004）提出的“平均结构函数”（average structuralfunctions，ASF）。稍后，在讨论ASF的估计以及第4.4节中隐含的干预前后总选择概率和平均福利时，我们将明确提及村庄固定效应，并说明它们是如何估计和纳入需求和福利预测的。为了进行福利分析，我们对公用事业提出了两个限制。假设1 U（·，π，η）和U（·，π，η）（在第2节（1）中介绍）对于π和η的每个固定值都是连续且严格递增的，即所有其他值都相等，计算中的效用不满足要求。假设2对于每个y和η，U（y，·，η）是连续且严格递增的，而U（y，·，η）是连续且弱递减的，即每个个体的一致性比不一致性产生更高的效用。将q（p，y，π）定义为结构概率（即。

当一个家庭面临p的价格，并且有收入y和信念π：q（p，y，π）=Z1{U（y）时，它选择1的平均结构函数（ASF）- p、 π，s）>U（y，π，s）}dFη（s），（35），设q（p，y，π）=1- q（p，y，π），其中Fη是ηvhPolicy干预的CDF：在备选方案1的价格为，π的值为π的情况下，星形t。然后引入价格补贴，使收入低于收入阈值τ的个人有资格以p大米p<p的价格购买产品。这一政策将改变均衡采用率；假设新的均衡采用率变为π。下面将描述如何计算反事实π和π。对于给定的π和π值，我们现在推导出干预所产生的福利的表达式。所谓“福利”，我们指的是补偿变化（CV），即。什么样的假设收入补偿可以将个人的变动后间接效用恢复到变动前的水平。对于符合补贴条件的个人，对于n个新平衡点对应的π的任何潜在值，个人补偿变化是等式max{U（y+S）的解S- p、 π，η），U（y+S，π，η）}=最大{U（y- p、 π，η），U（y，π，η）}，（36）而对于补贴不合格的个体，它是s{U（y+s）的解- p、 π，η），U（y+S，π，η）}=最大{U（y- p、 π，η），U（y，π，η）}。（37）请注意，在确定简历时，我们没有再次考虑同伴效应，因为简历定义的基本收入补偿是假设的。因此，实际收入补偿对邻近家庭的影响无关紧要。