离散选择模型中的需求与福利分析

，ψN）到函数方程（75），它可能不是唯一的，sup1≤h类≤NE[|ψh（Wh，Lh，u（Lh））- π|] ≤\'Cρλ-τ/2n对于每个N，（76），其中\'Cρ∈ (0, ∞) 是一个常数（独立于N、ψN和π），其显式表达式在证明中提供，Thusup1≤h类≤NE[|ψh（Wh，Lh，u（Lh））- π|] → 0作为N→ ∞.定理5的一个重要前提是映射T∞是一种收缩。该条件很容易验证，例如，参考第A.3节，了解实用程序线性指数限制下收缩特性的有效条件。粗略地说，我们可以证明∞如果社交互动的程度不是“太大”，那么它就是一种牵引力。无条件期望算子T的压缩性质∞意味着其固定点的唯一性，条件期望运算符TNgN公司= （TN，1gN公司, . . . , TN，NgN公司) 不一定是收缩，可能会有多个固定点（即平衡的多重性）。Theorem指出，每个N人博弈中的每个非唯一均衡信念都收敛到T的唯一固定点∞. 例如，TN固定点解的存在性相对容易检查，但其唯一性或收缩性可能不是；事实上，后者的验证可能需要对{uh}Nh=1={u（Lh）}Nh=1的联合分布特性进行适当的规定，运算符TNis基于条件期望。定理5提供了（76）中平衡信念的收敛速度。利用这一结果，如果τ>4，th en的空间依赖度不是太强，我们可以将置信收敛结果增强为一致的：E[sup1≤h类≤N |ψh（Wh，Lh，u（Lh））- π|]≤ N sup1≤h类≤NE[|ψh（Wh，Lh，u（Lh））- π|]=N×’Cρλ-τ/2N→ 0，因为λN=O(√N） 如（71）所述。定理5的证明。定义功能映射T∞N、 H从N维向量值函数gN=（g。

，gN）至r∈ [0，1]：T∞N、 h类gN公司:=N- 1NXk=1；k6=hT∞[gk]，（77），其中T∞在（74）中定义（作为标量值函数的映射），每个gNhis在（Wh，Lh，u（Lh））的支持下是一个[0，1]-valuedfunction。基于此T∞N、 h，我们还定义了一个N维alvector映射：T∞[gN]：=（T∞N、 1个gN公司, . . . , T∞N、 N个gN公司).我们还写了‘∏N=（’π，…，’π），其中每个元素的N维向量都是‘π’。那么，因为∏是T的固定点∞（即，’π=T∞[π]），它显然认为πN=T∞[°πN]=（T∞N、 1[(R)πN]，T∞N、 N[(R)πN]）。（78）现在，由于ψN=（ψ，…，ψN）解函数方程：（ψ（W，L，u（L）），ψN（WN，LN，u（LN））=TNψN. （79）其中tn将N维向量值函数映射为N维随机向量。给定（78）和（79），我们可以看到ψh（Wh，Lh，u（Lh））- (R)π=TN，hψN- T∞N、 每个h的h[(R)π]。因此，通过三角不等式和T的收缩性质∞, 我们有| |ψh（Wh，Lh，u（Lh））- π| | L≤ ||TN，hψN- T∞N、 h[ψN]| | L+| T∞N、 h[ψN]- T∞N、 h[(R)πN]|对于任何h.（80），通过定义T∞N、 hin（77）以及πN=（π，…，π）的第二项，主边上的第二项以T∞N、 h[ψN]- T∞N、 h[(R)πN]=N- 1NXk=1；k6=hT∞[ψk]- T∞[π]≤ 最大值1≤h类≤N | T∞[ψh]- T∞[π]|≤ ρmax1≤h类≤N | |ψh（Wh，Lh，u（Lh））- π| | L，其中最后一个不等式来自T上的收缩条件∞. 因此，这个束缚和（80）导致tomax1≤h类≤N | |ψh（Wh，Lh，u（Lh））- \'\'π| | L1≤1.-ρmax1≤h类≤N | | TN，hψN- T∞N、 h[ψN]| | L1。因此，如果它保持max1≤h类≤Nsup | | TN，h【gN】- T∞N、 h【gN】| | L≤\'Cλ-τ/2N，（81）对于某些常数'C∈ (0, ∞) 与N无关，当e的上确界接管任何（borelmeasureable）函数时，gN：[0，1]N→ [0，1]N，则所需的r esult（76）保持为\'Cρ=1-ρ′C.证明（81）。

为了简化符号，我们编写emg（Wk，Lk，u（Lk））：=1（u（Yk- Pk，g（Wk，Lk，u（Lk）），u（Lk））≥ U（Yk，g（Wk，Lk，U（Lk）），U（Lk）），对于任意函数，g:[0，1]→ [0, 1]. 然后，不等式（81）遵循ifmax1≤h、 k级≤Nsup kE[mg（Wk，Lk，u（Lk））| Wh，Lh，u（Lh）]- E【mg（Wk，Lk，u（Lk））】kL≤\'Cλ-τ/2N，（82）其中上确界接管任何（Borel measure ab le）函数，g:[0，1]→ [0, 1].为了证明这个不等式，观察C3-SD′，{u（l）}的（ii）⊥ （Wh、Lh、Wk、Lk）=> {u（l）}⊥ （Wk，Lk）| Wh，Lh。（83）在这里，我们回顾关于独立性的以下结果：对于随机对象Q，R和S，Q⊥ R | S和R⊥ S=> （Q，S）⊥ R、 用Q={u（l）}，R=（Wk，Lk），S=（Wh，Lh），S ince C2\'表示（Wh，Lh）⊥（Wk，Lk），我们可以得到（{u（l）}，Wh，Lh）⊥ （Wk，Lk），（84），这又意味着（uv（Lh），Wh，Lh）⊥ （周，Lk）。（85）关系式（84）还导致（u（￠l）、u（Lh）、Wh、Lh）⊥ （周，Lk）=> u（￠l）⊥ （Wk，Lk）| u（Lh），Wh，Lh。（86）对于任何￠l。

然后，我们可以计算（82）asE[mg（Wk，Lk，u（Lk））| Wh，Lh，u（Lh）]=ZE“mg（Wk，Lk，u（Lk））Wh，Lh，u（Lh），（Wk，Lk）=（￠w，l）#dFW l（￠w，l）=ZE“mg（￠w，l，u（￠l））Wh，Lh，u（Lh），（Wk，Lk）=（￠w，l）#dFW l（￠w，l）=ZEhmg（￠w，l，u（￠l））| Wh，Lh，u（Lh）idFW l（￠w，l）（87），其中第一个和第三个等式分别使用了（85）和（86）。现在，我们看一下（82）的LHS上的最大值：Eh | E[mg（Wk，Lk，u（Lk））| Wh，Lh，u（Lh）]- E【mg（Wk，Lk，u（Lk））】i=EuhZZEhmg（▄w，▄l，u（▄l））|（Wh，Lh）=（w，l），u（l）idFW l（▄w，▄l）- E【mg（Wk，Lk，u（Lk））】dFW L（w，L）i=欧盟ZZEhmg（▄w，▄l，u（▄l））| u（l）idFW l（▄w，▄l）- E【mg（Wk，Lk，u（Lk））】dFW L（w，L）= 欧盟ZZnEhmg（￠w，￠l，u（￠l））| u（l）i- Ehmg（▄w，▄l，u（▄l））iodFW l（▄w，▄l）dFL（l）≤Z ZEuh公司Ehmg（▄w，▄l，u（▄l））| u（l）i-Ehmg（▄w，▄l，u（▄l））iidFW L（▄w，▄L）dFL（L），（88），其中Eu[·]是仅涉及{u（L）}L的期望值∈R第一个等式使用（87）和{u（l）}l的独立性∈兰德（白色，左侧）；第二个等式再次使用相同的独立条件（即，（u（≈l），u（l））⊥ （Wh，Lh）和u（▄l）⊥ （Wh，Lh）| u（l））；第三个等式通过{u（l）}和（Wk，Lk）的独立性，保持ssincee[mg（Wk，Lk，u（Lk））]=ZEhmg（~w，~l，u（~l））idFW l（~w，~l），最后一个不等式使用Fubini定理。若要绑定（88）的RHS，请注意-l | |>0，我们总是可以在R上构造两个集，l满足1）前者包含| l，后者包含l，2）两个集之间的距离大于| | | l- l | |/2，3）l和l中的每一个都是一个面积小于1的正方形。u（￠l）和u（l）分别相对于σ[￠l]和σ[l]是可测量的。然后，注意到（69）和（70）中{u（l）}混合系数的定义，这1）-3）允许我们应用McLeish的混合指数（p。

McLeish的834，1975年；或Davidson，1994年的定理14.2），并导出其α（| | | l）的界- l | |/2；1). 也就是说，因为| mg |是一致有界的(≤ 1） ，我们得到了Ehmg（▄w，▄l，u（▄l））| u（l）i- Ehmg（▄w，▄l，u（▄l））i我≤ 6α（| | l）- l | |/2；1） ，（89）均匀分布在任何▄w、▄l和l上。为了找到（88）主要侧的上界，回想一下（边缘）分布函数FL（其支持由RN给出）的密度FL（l）=（1/λN）f（l/λN），以及（69）和（70）中混合系数的定义，α（a；b）≤ 2无论是a、b、Th、Th、BLOCKING（89），我们的RHS为（88）≤Z Zα（| | l）- l | |/2；1） dFL（| l）dFL（l）=6ZRNZRNα（| | l- l | |/2；1） dFL（￠l）dFL（l）=6ZRZRα（λN | | s- s | |/2；1） fs（s）fs（▄s）dsd▄≤ 6Z Z | | s-s||≤λ-τ/2N；s，s∈R2fs（s）fs（▄s）dsd▄s+6Z Z▄s-s | |>λ-τ/2N；s，s∈RC2τλ-τN | | s- s||-τfs（s）fs（▄s）dsd▄≤ 6[2λ-τ/2N+C2τλ-τ/2N]`f，（90），其中`f：=s ups∈Rf（·），最后一个不等式成立-s||≤λ-τ/2N；s，s∈R2fs（s）fs（▄s）dsd▄≤ 2Z Z | | v||≤λ-τ/2N；s∈Rdsd？v？f≤ 2λ-τ/2N×(R)fb通过改变变量，对于| |  s- s | |>λ-τ/2N，| | | s- s||-τ≤ λ-τ/2N。因此，我们可以看到（88）的上界与h、k和g无关，因此不等式（82）成立，C：=6[2+C2τ]’f，完成了证明。A、 3收缩的充分条件这里，我们研究F的收缩性质v、 Nv（在（23）中定义）及其极限运算符：Fv∞[g] （l，e；θ，θ）：=Z Z1{w′c+v+αg（l，e；θ，θ）+e≥ 0}dH（▄e）dFvW，L（▄w，▄L）。（91）Fv∞是从[0，1]值函数g=g（l，e；θ，θ）到常数F的函数运算符v∞[克]∈[0, 1]. 该极限算子被用来研究估计量的收敛性。

我们施加以下条件：假设5（i）对于任何α∈ [‘l’v、‘u’v]，α≥ 0和条件CDF的密度h h（| e | ea，d；θ）满足α×supe，e∈R||l-l||≥0; θ∈Θh（| e | e，| l）- l | |；θ) ∈ [0，1），（92），其中▄l和l分别表示与▄e和e相关的位置指数，▄l- l | |表示距离，间隔[\'l\'v，\'u\'v]是α的一组可能值（在假设7中引入）。（ii）条件CDF H（·| e，d；θ）满足（| e，ea，d；θ）≤ H（| e | eb，d；θ），对于任何| e∈ R和任意d，θ，如果ea≥ eb。这些条件用于验证所谓的Blackwell有效条件（Stokey和Lucas的c.f.T heorem3.3，1989:I）。α的非负性用于单调性。虽然（92）是条件密度的一个条件，但它也暗示了边缘密度的相同条件：α×supe∈右侧（￠e）∈ [0，1），因为h（▄e）=Rh（▄e▄e，▄l- l | |；θ） h（e）de（回顾h（e）被定义为εvhandFε的CDF(-e） 是的-εvh，它认为h（e）=fε(-e） ）。条件（ii）意味着H（·| ea，d；θ）一阶随机支配H（·| eb，d；θ），这意味着任意两个（空间相关）变量εvkandεvh（弱）正相关，这也可以方便地用于显示F的单调性v、 内华达州。根据这些公式，我们可以显示F的收缩性质v∞和Fv、 Nv：命题3假设假设假设5的（i）成立。然后，Fv∞是RvNv×R×上[0，1]值函数空间中的收缩×Θ，g（l，e；θ，θ），每一个都是非减小线，配有sup度量，其中RVNV表示随机变量Lvh的支持。b） 假设假设5成立。然后，Fv、 NV是同一空间中的收缩。当考虑固定点时，g的非减损性限制是无害的v∞和Fv、 内华达州。

这是因为，考虑到α的非负性和h的随机优势，e中的固定点也不会减少（sinceFv∞[g] 和Fv、 Nv[g]在e中也是不减损的，因为这样的不减损）。在这个命题中，我们定义了极限算子Fv∞在一般函数集g（l，e；θ，θ）上，它可能依赖于（l，e）。这个一般的域空间需要考虑算子F的收敛性v、 NV及其固定点。然而，如果我们定义了限制运算符Fv∞只有在函数s，g（θ，θ）的受限空间上，每个函数都独立于（l，e），我们才能写v∞[g] （θ，θ）=ZFε（▄w′c+▄v+αg（θ，θ））dFvW，L（▄w，▄L），因为H（e）=1- Fε(-e） 。在这种情况下，通过Fε的Lipsch-itz连续性，我们可以检验F的压缩性质v∞关于|α| supe下的受限空间∈Rh（e）=α| supe∈Rfε（e）<1。注意，在假设εvh低于标准正常值的概率规范中，SUP∈Rfε（e）=1/√2π; 以及logit规范，supe∈Rfε（e）=1/4。命题3的证明。首先，我们研究Fv∞通过使用Blackwell有效条件。自α起≥ 0，我们有Fv∞[f]≥ Fv∞[g] 对于任意两个函数f，g和f（l，e；θ，θ）≥ g（l，e；θ，θ），表示单调性条件。二） 对于常数“a”≥ 0，Fv∞[g+\'a]（θ，θ）=Z Z1{w′c+\'ξv+αg（▄l，e；θ，θ）+α′a+▄e≥ 0}小时（▄e）d▄edFvW，L（▄w，▄L）。因为g（|l，|e；θ，θ）在|e和α中是不变的≥ 0，αg（l，~e；θ，θ）+e在▄e中严格增加。因此，我们可以找到唯一的满足▄w′c+▄v+αg（▄l，e；θ，θ）+e=0的e，对于每个（▄w，▄l，θ，θ）。对于每个“a”≥ 0，设“e”为唯一数，满足“w′c+”ξv+αg（~l，e；θ，θ）+α′a+”e=0。自α′a起≥ 0且函数αg（l，e；θ，θ）+e的斜率大于或等于1，我们必须有e>e和（e- \'\'e）×1≤ α′a.（e）的上界- e）任意（▄w，▄l，θ，θ）的h值。

因此，Fv∞[g+(R)a]（θ，θ）≤ Fv∞[g] （θ，θ）+（e- e）辅助∈右侧（￠e）≤ Fv∞[g] （θ，θ）+aα×supe∈右侧（￠e）。因此，如果（92）成立，则满足所谓的贴现条件。在此之前，给定I）和II），我们验证了v∞是一种收缩。接下来，我们研究Fv、 内华达州。注意，由于g（l，e；θ，θ）在e中是非减量的，因此1{w′c+(R)v+αg（~l，e；θ，θ）+e也是如此≥ 0}，并给出假设5的（ii），映射的f函数fv、 Nv[g]（l，e；θ，θ）也是不变的。因此，F的域空间和值域空间v、 NV可以被视为相同。我们还可以检查F的Blackwell有效条件v、 与F的方式相同v∞,表示所需的收缩特性。A、 定理2的证明（估计的收敛性）在这里，我们通过几个引理来证明定理2。在第3节中，为了便于阐述，我们假设村庄固定效应‘ξ，“ξ”变量是计量经济学家所熟知的。这里，我们明确地将它们包含在要估计的参数θ中。还需注意的是，识别存在“ξ”的偏好参数需要识别“ξ”本身；因此，我们需要使用第4.4节中所述的方法之一。这里我们使用同质性假设‘ξ=’ξ’v；对于相关随机效应的情况，可以给出一个替代性证明。综上所述，对于本节，我们将最终参数定义为θ=（c′，\'ξ，…，\'ξ\'v-1，α）（例如，见假设7），同素异形体相关量的解释类似。对于具有ξ，…，的情况，估计量的一致性，ξvknown是定理2的一个类似推论。为了分析^θFPLand^θBR，我们定义了以下条件力矩限制：EA.∞vh公司- Fε（W′vhc+’ξv+απv（θ））| Wvh= 0（v=1，…，v），（93），其中∞VH是基于极限模型的假设结果变量：a∞vh：=1W′vhc*+ξ*v+α*πv（θ*) + εvh≥ 0.

（94）对于每个v，设rv=limNvN，其中该极限比值应在（0，1）中（注意，n=P'vv=1Nv）。我们还考虑了^LFPL（θ）和^LBR（θ），LFPL（θ）：=(R)vXv=1rvE的极限版本A.∞vhlog FεW′vhc+’ξv+απv（θ）+(1 - A.∞vh）日志1.- FεW′vhc+’ξv+απv（θ）,LBR（θ）：=？vXv=1rvEA.∞vhlog FεW′vhc+’ξv+α′πv+(1 - A.∞vh）日志1.- FεW′vhc+’ξv+α′πv,回想一下θ*已通过观察变量（Avh、Wvh、Lvh）的条件矩限制（26）定义，这些变量是由有限玩家游戏（Avhis由（22）或等效（24）生成）生成的）。θ*也可定义为一个满足限制条件（93），该限制条件正确规定了由限制模型（A∞vh，Wvh）。分别，其中πLFPL（θ）中的v（θ）被定义为每个θ的（34）解，而‘πvinLBR（θ）被定义为^πv=NvPNvh=1Avh的（概率）极限（注：在^πvandvnvh=1A的极限处∞vhealize，它来自于类似于引理3）证明中的论点。LFPL（θ）的一阶条件可以视为基于条件约束（93）的无条件力矩约束。注意，给定Fε（·）的连续性，LFPL（θ）和LBR（θ）在Θ中是连续的。引理3显示了^LFPL（θ）到LFPL（θ）在Θ上概率的一致收敛性；我们还可以证明，概率上的^LBR（θ）到LBR（θ）超过了Θ（这个结果的证明类似于表3的结果，省略了）。给定极限目标函数，我们让θ*= argmaxθ∈ΘLFPL（θ），（95）θ#=argmaxθ∈ΘLBR（θ）。（96）引理2显示θ的识别*（即，它是LFPL（θ）在Θ上的唯一最大化子）和θ#的相同结果。

因此，根据Newey和McFadden（1994）的定理2.1，给定参数空间Θ的紧性，我们得到了^θFPLp→ θ*和^θp→ θ#.引理2也表示θ*= θ#在正确的规格下，我们有| |^θFPL-^θ||.通过引理4，我们得到了supθ∈Θ^LSD（θ，^θ）-^LFPL（θ）= op（1），它与引理3一起，意味着supθ∈Θ^LSD（θ，^θ）- LFPL（θ）= op（1）。这反过来意味着^θSDp→ θ*（再次使用Newey和McFadden定理2.1）。这就得出了定理的结论。A、 4.1识别结果：引理1-2在这一部分中，我们研究θ的识别*和θ#（分别在（95）和（96）中定义）。为此，我们施加以下条件：假设6（i）设uv（l）=（uv（l）），uv（l））和εv（l）：=uv（l）- uv（l）和-εv（l）是每l的Fε（·）∈ Lv，其函数形式假定为beknown，且Fε（·）在R上严格递增，其连续P DF Fε（·）满足supz∈Rfε（z）<∞.（ii）随机向量wvh不包括常数分量。（W′vh，1）′的支撑不包括在RdW+1的任何适当线性子空间中，其中dw是Wvh的维数。假设6非常标准。（i）中的条件支持-εv（l）可以放宽，允许一些有界支撑（而不是R），但它简化了我们随后的条件和证明，因此保持不变。假设7（i）设πv(∈ （0，1））是^πv=NvPNvh=1Avh的概率极限。它认为，’π6=’π’v.（97）（ii）用θ=（c′，’ξ，…，’ξ’v表示-1，α）′参数空间Θ中的泛型元素。Θ是RdW+vsuch的一个紧子集，其Θ=Θc×Q'vv=1['lv，'uv]，其中Θ是RdWin的一个紧子集，其中c位于其中，Q'vv=1['lv，'uv]是R'v的闭合矩形区域（带有一些'lv，'uv∈ R） 其中（ξ，…，ξ）v-1，α）′位。（iii）对于任何α∈ [‘l’v，‘u’v]，|α| supzfε（z）<1。（98）（iv）让c是Θc的元素。给定此c（固定），对于任何（(R)ξ。