连续时间博弈论最优投资组合

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英文标题：
《Game-Theoretic Optimal Portfolios in Continuous Time》
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作者：
Alex Garivaltis
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a two-person trading game in continuous time whereby each player chooses a constant rebalancing rule $b$ that he must adhere to over $[0,t]$. If $V_t(b)$ denotes the final wealth of the rebalancing rule $b$, then Player 1 (the `numerator player\') picks $b$ so as to maximize $\\mathbb{E}[V_t(b)/V_t(c)]$, while Player 2 (the `denominator player\') picks $c$ so as to minimize it. In the unique Nash equilibrium, both players use the continuous-time Kelly rule $b^*=c^*=\\Sigma^{-1}(\\mu-r\\textbf{1})$, where $\\Sigma$ is the covariance of instantaneous returns per unit time, $\\mu$ is the drift vector of the stock market, and $\\textbf{1}$ is a vector of ones. Thus, even over very short intervals of time $[0,t]$, the desire to perform well relative to other traders leads one to adopt the Kelly rule, which is ordinarily derived by maximizing the asymptotic exponential growth rate of wealth. Hence, we find agreement with Bell and Cover\'s (1988) result in discrete time.
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中文摘要：
我们考虑一个连续时间的两人交易游戏，其中每个玩家选择一个恒定的再平衡规则$b$，他必须遵守超过$0，t]$。如果$V\\t（b）$表示再平衡规则$b$的最终财富，那么玩家1（“分子玩家”）选择$b$以最大化$\\mathbb{E}[V\\t（b）/V\\t（c）]$，而玩家2（“分母玩家”）选择$c$以最小化它。在唯一的纳什均衡中，两个参与者都使用连续时间凯利规则$b^*=c^*=\\Sigma^{-1}（\\mu-r\\textbf{1}）$，其中$\\Sigma$是单位时间瞬时回报的协方差，$\\mu$是股市的漂移向量，而$\\textbf{1}$是一个向量。因此，即使在很短的时间间隔$[0，t]$，相对于其他交易者表现良好的愿望也会导致人们采用凯利规则，这通常是通过最大化财富的渐近指数增长率得出的。因此，我们发现与Bell和Cover（1988）的离散时间结果一致。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：投资组合 连续时间 博弈论 Quantitative Mathematical

博弈论最优投资组合不连续时间*Alex Garivaltis+2019年6月9日摘要我们考虑一个连续时间的两人交易游戏，其中每个玩家选择一个他必须遵守的恒定再平衡规则b，超过[0，t]。如果Vt（b）表示再平衡规则b的最终财富，那么参与者1（“分子参与者”）选择b以使E[Vt（b）/Vt（c）]最大化，而参与者2（“分母参与者”）选择c以使其最小化。在唯一的纳什均衡中，双方都使用连续时间凯利规则b*= c*= Σ-1(u - r1），其中∑是单位时间瞬时收益的协方差，u是股票市场的漂移向量，1是1的向量。因此，即使在很短的时间间隔[0，t]内，相对于其他贸易商表现良好的愿望也会导致人们采用凯利法则，凯利法则通常是通过最大化财富的渐近指数增长率得出的。因此，我们同意Bell和Cover（1988）的离散时间结果。关键词：竞争性最优交易、投资组合选择、连续平衡投资组合、凯利准则、渐进资本增长、MinimaxJEL分类代码：C44、C72、C73、D80、D81、G11*我感谢编辑和一位匿名评论者的有益评论，这些评论改进了论文。+北伊利诺伊大学经济学助理教授，514 Zulauf Hall，DeKalb IL 60115。电子邮件：agarivaltis1@niu.edu.ORCID iD:0000-0003-0944-8517.1简介1.1文献综述（1956）通过在重复赛马中赌博时最大化资本的渐进增长率，获得了同名的凯利规则（“财富公式”，Poundstone2010），其中公布的赔率偏离了真正的获胜概率。著名的是（参见Thorp 2017），card counter Edward O.Thorp使用Kelly规则来衡量他在内华达21点赌桌上的赌注。

索普继续在华尔街的资金管理中使用相同的原则（对数最优常数再平衡投资组合）。对于一般的离散时间投资组合问题，凯利投资者愿意放弃相切投资组合（最大夏普比率），以换取可能的最高渐进资本增长率。布雷曼（1961）指出，凯利赌徒几乎肯定会胜过任何本质上不同的策略（通过指数因子），而且他拥有最短的平均等待时间来实现遥远的财富目标。在一对文章中，Bell和Cover（1980、1988）证明了离散时间Kelly规则的短期最优性。他们表明，凯利标准是一类广泛的“投资φ-博弈”的解决方案，其中目标是一个投资者胜过另一个投资者（在两个参与者最终财富比率的函数φ（o）递增的意义上）。这两篇论文都使用了一种技巧，即在游戏开始之前，允许每个玩家对其初始美元进行“公平随机”，将其交换为分布在[0，∞) 其平均值为atmost 1.1.2贡献这篇论文研究了一个连续时间的类似游戏，其中每个玩家都致力于重新平衡规则，该规则必须在时间间隔内持续使用[0，t]。uniqueNash均衡（构成预期财富比率t的鞍点）适用于两个参与者使用连续时间Kelly规则。这一结果与Bell和Cover（1988）的结果一致，适用于具有n个相关股票（i=1，…，n）的几何布朗运动的一般市场。这样做之后，我们证明了连续时间Kelly规则是“连续时间投资φ-博弈”解的基础，这类似于Bell和Cover求解的离散时间版本。2模型我们考虑两个参与者之间的连续时间交易博弈。

有一种无风险债券，其价格Bt：=Ert根据dBt=rBtdt演变，而一只股票的价格St遵循几何布朗运动Dst：=St（udt+σdWt），（1）其中u是漂移，σ是波动，WT是标准布朗运动。Att=0每个玩家选择一个恒定的再平衡规则b∈ 他必须坚持0≤ t型≤ T再平衡规则b是一种固定分数下注方案，用于维持股票财富的分数b和1- b在任何时候都在债券中。让Vt（b）表示再平衡规则b中1美元存款在t时的财富。在瞬间t，交易方持有bVt（b）/ST股票和（1-b） Vt（b）e-债券的rtunits。该投资组合将在不同的时间步【t，t+dt】内持有，之后必须重新平衡。如果需要，玩家可以自由使用任何数量的杠杆（b>1或b<0）。玩家1（“分子玩家”）选择再平衡规则b∈ R和Player2（“分母玩家”）选择重新平衡规则c∈ R、 我们考虑两人零和博弈，其payoff核π（b，c）：=E[VT（b）/VT（c）]。分子玩家寻求最大化其最终财富与支持者财富的预期比率。分母玩家寻求最小化该数量。2.1支付计算每个玩家的财富遵循几何布朗运动dvt（b）Vt（b）=bdStSt+（1- b） dBtBt=[r+b（u- r） ]dt+bσdWt。（2） 求解，我们得到vt（b）=exp{[r+b（u- r）- σb/2]t+bσWt}。（3） 最终财富比率为Vt（b）Vt（c）=exp{[（u- r） （b）- c） +（c- b） σ/2]t+（b- c） σWt}。（4） 因此，由于最终财富比率是对数正态分布的（参见Shonkwiler 2013），简化后，我们得到了EVt（b）Vt（c）= exp{（u- r-σc）（b- c） t}。

（5） 在单调变换之后，我们可以将payoff核重新写为π（b，c）：=（u- r-σc）（b- c） ，（6）是E[Vt（b）/Vt（c）]的指数增长率。2.2平衡层1的最佳响应对应isb*（c）=+∞ 如果c<（u- r） /σr，如果c=（u- r） /σ-∞ 如果c>（u- r） /σ。玩家2的最佳响应函数isc*（b）=b+u- rσ. （7） 因此，唯一的纳什均衡是b*= c*= (u - r） /σ，这恰好是连续时间Kelly规则（参见Luenberger 1998）。通常，Kelly（1956）规则是通过最大化渐进连续复合资本增长率增长率（b）：=limt得出的→∞t对数Vt（b）=r+（u- r） b类-σb.（8）因此，即使在很短的时间间隔内[0，t]，想要在市场上跑赢其他交易者的欲望也决定了凯利规则b的使用*:= (u - r） /σ。因此，我们导出了连续时间Kelly规则的短期最优性，这与Bell和Cover（1988）在离散时间获得的结果相匹配。2.3几个相关股票将上述结果推广到一般股票市场，其中n个相关股票（i=1，…，n）的价格遵循几何布朗运动（参见Bj"ork 1998）dSit：=Sit（uidt+σidWit），（9）其中u：=（u，…，un）是漂移向量，σ：=（σ，…，σn）是波动向量，∑是单位时间瞬时收益的协方差矩阵，例如，∑ij=Cov（dSit/Sit，dSjt/Sjt）/dt。Witare关联标准布朗运动，ρij：=Corr（dWit，dWjt）和∑ij=ρijσiσj。我们假设∑是可逆的。在这种情况下，再平衡规则是向量b：=（b，…，bn）∈ Rn，赌徒在股票i中始终保持固定部分的生物财富。他保留分数1-nPi=10亿债券财富。

与单变量情况一样，这允许在需要时尽可能使用杠杆。每个玩家的最终财富Vt（b）遵循几何布朗运动Vt（b）Vt（b）=nXi=1biditsit+1.-nXi=1bidBtBt=[r+（u- r1）b]dt+nXi=1biσidWit。（10） 该随机微分方程的解为vt（b）=exp[r+（u- r1）b- b∑b/2]t+nXi=1biσiWit. （11） 这可以通过对函数F（W，…，Wn，t）应用几个扩散过程的It^o引理直接验证（参见Wilmott 2001）：=exp{[r+（u-r1）b-b∑b/2]t+nPi=1biσiWi}。最终财富比率为Vt（b）Vt（c）=exp(u - r1）（b- c） +（c∑c- b∑b）/2]t+nXi=1（bi- ci）σiWit. （12） 因此，最终财富比率为对数正态分布，其中Vt（b）Vt（c）= exp{（u- r1级- ∑c）（b- c） t}。（13） 经过单调变换后，我们得到了简化的payoff核π（b，c）：=（u- r1级- ∑c）（b- c） 。（14） 玩家1的最佳响应通信isb*i（c）=+∞ 如果（∑c）i<ui- rR如果（∑c）i=ui- r-∞ 如果（∑c）i>ui- r、 其中（∑c）i：=nPj=1ρijσiσjcjis是向量∑c的ITH坐标。假设∑是可逆的，游戏者2的最佳响应函数为*（b） =[b+∑-1(u - r1）]。（15） 通过对最佳响应的交叉，我们发现唯一的纳什均衡为b*= c*=Σ-1(u - r1），这是连续时间内的多元Kelly规则。因此，我们有了identitymaxb∈Rminc公司∈重新Vt（b）Vt（c）= minc公司∈Rmaxb∈重新Vt（b）Vt（c）= 因此，由于凯利规则b*是玩家1的最大化策略，我们有E[Vt（b*)/Vt（c）]≥1代表所有c，且自Kelly规则c起*是玩家2的极大极小策略，我们有*)] ≤ 1对于所有b.3投资φ-游戏基于凯利规则b*= c*担保E[Vt（b*)/Vt（c）]≥ 1适用于所有cand E[Vt（b）/Vt（c*)] ≤ 1对于所有b，我们可以得到类似于Bell和Cover（1988）的一般结果。首先，我们需要一些定义。定义1。

初始美元的“公平随机化”意味着一个随机变量W，支持度为[0，∞) 和E[W]≤ 1、定义2。对于任何递增函数φ（o），具有值vφ的“原始φ-博弈”是两人零和博弈，其中玩家1选择公平随机化，玩家2选择公平随机化。原始φ-博弈的值为vφ：=supWinfWE[φ（W/W）]=infWsupWE[φ（W/W）]。随机财富魔杖相互独立。定义3。对于任何递增函数φ（o），“投资φ-博弈”是两人零和博弈，其支付核为E[φ{WVt（b）/（WVt（c））}]，其中，玩家1选择初始美元的再平衡规则b和公平随机化WO，玩家2选择其初始美元的再平衡规则c和公平随机化WO。随机财富与所有股票价格无关，并且相互独立。定理1。投资φ-对策与原始φ-对策具有相同的值vφ。在平衡状态下，双方都使用连续时间凯利规则b*:= Σ-1(u-r1），玩家使用相同的极大极小随机化（W*, W*) 解决了原始φ-对策。证据首先，我们证明了E[φ{W*Vt（b*)/（WVt（c））}]≥ vφ对于任何公平随机化Wand和任何再平衡规则c，其中b*是凯利法则。请注意，数量wvt（c）/Vt（b*) ≥ 0是一个公平的随机化，因为E[Vt（c）/Vt（b*)] ≤ 1、不平等*)] ≤ 1源于b的直接替换*:= Σ-1(u - r1）转化为预期财富比率。因此，由于W*, 是原φ对策中参和者1的极大极小解，我们必须有E[φ{W*Vt（b*)/（WVt（c））}]≥ vφ。同样，我们证明了E[φ{WVt（b）/（W*Vt（c*))}] ≤ vφ对于任何公平随机化Wand和任何再平衡规则b，其中c*是凯利法则。请注意数量WVt（b）/Vt（c*) ≥ 0是一个公平的随机化，因为E[Vt（b）/Vt（c*)] ≤ 1.

因此，由于W*, 是本原φ-对策的参和者2的极大极小解，我们必须有e[φ{WVt（b）/（W*Vt（c*))}] ≤ vφ。因此，我们已经证明（W*, b*) 强制支付≥ vφ和（W*, c*)强制支付≤ b时vφ*和c*等于凯利法则和（W*, W*)是原始φ-对策中的极大极小策略。这证明了定理。示例1。与Bell and Cover（1980）一样，我们让φ（x）：=1[1，∞)（x） 是[1]的指示函数，∞). 这将payoff内核转换为Prob{WVt（b）≥ WVt（c）}。平衡相当于凯利法则b*= c*以及初始美元与统一（0，2）变量的公平交换。游戏的价值是1/2.4模拟游戏的一个示例来说明，我们使用了连续时间的“香农的恶魔”的例子。在汉农经典的离散时间例子中，有现金（不支付利息）和“热门股票”，每一期的价格要么翻倍，要么减半，每一期都有50%的可能性。连续时间模拟设置r：=0，dst：=σStσdt+dWt, （17） σ：=对数2≈ 0.693. 该博弈的唯一纯策略纳什均衡是双方都使用再平衡规则b*:= 0.5; 图1绘制了参与者的最佳响应。为了便于论证，假设玩家1的行为正确，但玩家2（可能被24%的年漂移率弄糊涂了）选择将所有资金投入股票并持有。玩家1在t时的财富为经验值（0.06t+0.3465Wt），玩家2在t时的财富为经验值（0.693Wt）。预期财富比率为exp（0.12吨）。在图2中，我们模拟了游戏的单打，视界为T：=300。在时间t，玩家1比玩家2拥有更多财富的概率为N（0.173√t） ，其中N（o）是累积非线性分布函数。当t：=50时，玩家1拥有更多财富的几率为89%。

当t：=100时，这个数字上升到96%。5一般随机微分对策最后，我们证明了对常数再平衡规则的限制不会导致一般性损失。我们在下面对一个股票案例进行了说明；几个股票的证据是相似的。让m1和m2t分别成为分子和分母玩家的财富。我们现在允许玩家的投资组合依赖于最通用的图1：最佳响应对应b*（c） 和c*（b） 参数值r：=0，σ：=log 2，u：=σ/2获得的值。状态向量，即（St、t、M1t、M2t）。玩家1的交易策略现在表示为DB（s，t，M，M），而玩家2的策略是c（s，t，M，M）。我们表明，在平衡状态下，两个参与者仍然遵守常数再平衡规则b（S，t，M，M）=c（S，t，M，M）：=（u- r） /σ。首先，假设分母播放器使用Kelly规则c：=（u- r） /σ。我们证明了分子参与者的最佳反应是使用相同的控制策略。设J（S，t，M，M）为分子游戏者的最大值函数。他的方程是-Jt=最大值∈RuSJS+[r+b（u- r） ]米JM+[r+c（u- r） ]米JM+σSJS+bσMJM+cσMJM+bσSMJSM+cσSMJSM+bcσMMJMM. （18） 边界条件是J（S，T，M，M）：=M/M。我们猜测J（S，T，M，M）≡图2：模拟一场游戏（b：=0.5，c：=1），参数值r：=0，σ：=log 2，u：=σ/2，T：=300。M/M，明显满足边界条件。在这种猜测下，Player1的HJB方程简化了tomaxb∈R（u- r-σc）（b- c） =0，（19），其中c：=（u- r） /σ。c的这个值使最大值等于0，当然b也是如此*:= c是最大化器。因此，J的替换≡ M/Mhas将HJBequation转化为一个身份。

这证明了分子玩家对凯利规则的最佳反应是自己玩凯利规则。我们可以重复上述计算，这次假设numeratorplayer的策略是b（s，t，M，M）≡ (u -r） /σ。再次使用J表示分母player的（最小）值函数，我们得到了相同的HJB方程和边界条件，除了maxb∈R{o}替换为minc∈R{o}。我们再次猜测J≡ M/M，将玩家2的HJB方程转换为恒等式∈R（u- r-σc）（b- c） =0。（20） 唯一的最小值为c=b=（u- r） /σ。这就证明了常数控制策略b（S，t，M，M）=c（S，t，M，M）=（u-r） /σ是相互之间的最佳响应。几个股票的证明类似，除了（u-r-σc）（b-c） 替换为（u- r1级- ∑c）（b- c） 。6结论对于连续时间两人交易博弈，其中玩家1寻求最大化其财富与玩家2财富的预期比率（而玩家2寻求最小化该比率），唯一的纳什均衡是两个玩家都使用（可能杠杆化的）凯利再平衡规则b*:= Σ-1(u - r1）。更一般地说，我们证明了凯利规则是“连续时间投资φ-博弈”解的基础，该博弈类似于Bell和Cover（1980，1988）求解的离散时间版本。对于短期相对表现的任何标准φ{WVt（b）/（WVt（c））}，正确的行为是双方都使用凯利规则b*= c*结合适当的公平随机（W*, W*) 最初的美元。因此，连续时间Kelly规则（以其最佳渐进增长率著称）即使对于目标是在很短的时间内相对于其他交易员表现良好的交易员来说也是可取的。参考文献【1】Bell，R.M.和Cover，T.M.，1980年。对数投资的竞争最优性。