关于泛双线性投资组合的一个注记

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英文标题：
《A Note on Universal Bilinear Portfolios》
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作者：
Alex Garivaltis
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This note provides a neat and enjoyable expansion and application of the magnificent Ordentlich-Cover theory of \"universal portfolios.\" I generalize Cover\'s benchmark of the best constant-rebalanced portfolio (or 1-linear trading strategy) in hindsight by considering the best bilinear trading strategy determined in hindsight for the realized sequence of asset prices. A bilinear trading strategy is a mini two-period active strategy whose final capital growth factor is linear separately in each period\'s gross return vector for the asset market. I apply Cover\'s ingenious (1991) performance-weighted averaging technique to construct a universal bilinear portfolio that is guaranteed (uniformly for all possible market behavior) to compound its money at the same asymptotic rate as the best bilinear trading strategy in hindsight. Thus, the universal bilinear portfolio asymptotically dominates the original (1-linear) universal portfolio in the same technical sense that Cover\'s universal portfolios asymptotically dominate all constant-rebalanced portfolios and all buy-and-hold strategies. In fact, like so many Russian dolls, one can get carried away and use these ideas to construct an endless hierarchy of ever more dominant $H$-linear universal portfolios.
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中文摘要：
本说明提供了一个简洁而有趣的扩展和应用“通用投资组合”的宏伟奥登特里希封面理论我通过考虑资产价格实现序列的后见之明中确定的最佳双线性交易策略，在后见之明中概括了Cover关于最佳常数再平衡投资组合（或1-线性交易策略）的基准。双线性交易策略是一种小型两阶段主动策略，其最终资本增长因子在资产市场的每个阶段总回报向量中分别呈线性。我运用Cover（1991）的巧妙性能加权平均技术构建了一个通用的双线性投资组合，该投资组合保证（对所有可能的市场行为都是一致的）以与事后最佳双线性交易策略相同的渐近速度复合其资金。因此，在相同的技术意义上，通用双线性投资组合渐近支配原始（1-线性）通用投资组合，即Cover的通用投资组合渐近支配所有常数再平衡投资组合和所有买入持有策略。事实上，就像许多俄罗斯玩偶一样，人们可以忘乎所以地利用这些想法来构建一个无穷无尽的层次结构，即越来越占主导地位的$H$线性通用投资组合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：Theoretical Economics        理论经济学
分类描述：Includes theoretical contributions to Contract Theory, Decision Theory, Game Theory, General Equilibrium, Growth, Learning and Evolution, Macroeconomics, Market and Mechanism Design, and Social Choice.
包括对契约理论、决策理论、博弈论、一般均衡、增长、学习与进化、宏观经济学、市场与机制设计、社会选择的理论贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> A_Note_on_Universal_Bilinear_Portfolios.pdf (499.65 KB)

2022-6-24 10:33:13 上传

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关键词：投资组合 Quantitative Mathematical Applications Optimization

关于泛双线性冠状病毒的一点注记*北伊利诺伊大学2019年7月24日摘要本说明对“通用投资组合”的Magni ficent或Entlich封面理论进行了简洁而有趣的扩展和应用我通过考虑资产价格实现序列的后见之明确定的最佳双线性交易策略，概括了Cover的最佳常数再平衡投资组合（或1-线性交易策略）基准。双线性交易策略是一种小型两阶段主动策略，其最终资本增长在资产市场的每个阶段总回报向量中分别呈线性。我运用Cover（1991）的巧妙性能加权平均技术构建了一个通用的双线性投资组合，该投资组合保证（对所有可能的市场行为都是一致的）以与事后发现的最佳双线性交易策略相同的渐近速率复合其资金。因此，在相同的技术意义上，通用双线性投资组合渐近支配原始（1-线性）通用投资组合，即Cover的通用投资组合渐近支配所有常数再平衡投资组合和所有买入持有策略。事实上，就像许多俄罗斯玩偶一样，人们可以忘乎所以地利用这些想法构建一个无穷无尽的层次结构，其中包含越来越占主导地位的H-线性通用投资组合。关键词：在线投资组合选择；通用投资组合；稳健的程序；模型不确定性；不断重新平衡的投资组合；渐进资本增长；Kelly CriterionJEL分类代码：D81；D83；G11^W=ZB∈BTYt=1xByt！f（B）dB（1）*北伊利诺伊大学自由艺术和科学学院公共和全球办公室经济系助理教授，地址：伊利诺伊州德卡尔布市祖拉夫厅514号，邮编：60115。电子邮件：agarivaltis1@niu.edu.主页：http://garivaltis.com.

ORCID iD：0000-0003-0944-8517。我们首先调查任意市场序列的财富增长的自然目标可能是什么。例如，一个自然的目标可能是跑赢百思买和持有策略，从而击败一个在未来n天内看报纸的投资者。我们提出了一个更宏伟的目标-托马斯·盖德，《环球投资组合》，1991年。1988年，保罗·萨缪尔森突然给斯坦福大学信息理论家托马斯·考弗写了一封信。塞缪尔森被派去一位投资组合理论的封面人物进行审查。“如果我真的使用了你的一些程序，”萨缪尔森写道，“我不会让这……使我的投资组合选择偏向于我的外星堂兄使用日志实用性所做的选择。”他斥责凯利、拉坦、马科维茨和“大多数六月出现泊松分布概率的各种博士”-威廉·庞德斯通（WilliamPoundstone），《财富公式》（Fortune\'s Formula），2005年，有四个参数，我可以判断大象，有五个参数，我可以让它扭动鼻子-约翰·冯·诺伊曼纳（John von NeumannA）关于泛双线性投资组合的注释A.加里瓦提斯（Garivatis1）简介；文献综述。本说明很好地应用和扩展了由Thomas Cover（1991）、Cover和Ordentlich（1996）以及Ordentlich和Cover（1998）建立的优雅的通用组合理论。通用投资组合理论是对数最优投资组合理论（即渐进资本增长理论）的在线模拟，其精妙的简单性来自于约翰·凯利（1956）、亨利·拉坦（1959）、利奥·布雷曼（1961）和卡片计数器爱德华·O·索普（1969）。茶叶说，在实验室条件下，投资者或赌徒提前知道他所赌的盈亏结果的精确分布。

正如萨缪尔森（1963、1969、1979）多次指出的那样，麦克莱恩、索普和齐姆巴（2011年）认为，对数最优投资组合（或增长最优投资组合）具有巨大的最优特性，这与它们饱和了一种非常特殊的预期效用这一事实截然不同。Leo Breiman（1961）在这个方向上给出了第一个实质性结果，即所谓的Kelly赌徒在一般情况下，几乎肯定会以指数因子渐进地胜过任何“本质上不同的策略”。他还表示，为了基于目标的投资，凯利标准将达到远处高点的预期等待时间降至最低。罗伯特·贝尔（Robert Bell）和托马斯·考夫（Thomas Cover）（1980年、1988年）在一对漂亮的文章中指出，实际上，凯利规则也具有非常强的短期竞争最优性，即使是对于博彩或投资市场的单期波动。他们考虑了一个静态的零和投资φ-博弈，其payoff kernelis等于一个交易者的财富与另一个交易者的财富之比的任意增长函数φ（o）的期望值。但前提是，在通用双线性投资组合A注释之前。

GarivatisActual投资组合选择，允许每位参赛者对其初始美元进行公平的随机化（通过将其交换为平均值最多为1的任何随机资本），游戏的鞍点等于每位参赛者使用对数最优投资组合，以及仅取决于标准φ（o）的公平随机化，而不是潜在投资机会的任何特定特征。Garivatis（2018a）表明，钟形覆盖定理同样适用于连续时间内表现出依赖状态漂移和扩散的托卡斯特差异投资φ-博弈；Garivatis（2019a）进一步推广了这一结果，以涵盖连续时间市场上的杠杆投资φ-博弈，其中资产价格遵循跳跃-扩散过程，并具有紧密支持的跳跃回报。库拉托拉（Curatola）（2019）最近的一些研究调查了两个大公司的战略互动，这两个公司的交易不仅相互影响，还影响整个股市的预期回报。关于竞争最优与数学生物学中的进化偶然性相关的启发性讨论，请咨询Taland Tran（2019）。Cover的普遍投资组合理论始于他的经验性Bayesstock投资组合（Cover和Gluss 1986），其线索来自这样一个事实，即对于具有iid回报的股票市场，对数最优投资组合相当于某种恒常平衡投资组合（CRP）；这包括为每项资产确定正确的（最佳增长）目标财富百分比，并持续执行再平衡交易，以抵消分配漂移。然而，在存在模型不确定性的情况下（例如。

对于实际的股票市场），这个特定的CRP对于实践者来说是完全未知的。受信息理论类比的启发，Thomas Cover有着卓越的洞察力，他认为应该将自己的在线投资业绩与事后根据通用双线性投资组合A.Garivatis（已实现）资产价格序列的实际注释确定的最佳常数再平衡投资组合进行基准比较。事后优化的财富可以解释为一种金融衍生品，在Black和Scholes（1973）的（完整的）连续时间市场中，这种金融衍生品易于精确定价和复制。在这一点上，Ordentlich和Cover（1998）在时间-0为单一风险资产的无杠杆事后优化定价了再平衡选项；他们的工作二十年来一直没有完成，直到加里瓦蒂斯（2019b）完成，他演示了如何在任意时间t为任意数量的几何布朗运动相关股票定价和复制封面（杠杆）再平衡选项。在离散时间内，经验Bayes股票投资组合（Cover和Gluss 1986）、Dirichlet加权通用投资组合（Cover和Ordentlich 1996）和minimaxuniversal投资组合（Ordentlich和Cover 1998）都是值得注意的，因为它们保证在事后看到的最佳固定再平衡投资组合中，最终财富的比例很高，统一适用于所有可能的资产价格序列。

考虑到这一百分比（或竞争比率）以缓慢（多项式）的速度收敛到零，最佳CRPin事后预测的超额复合（对数）增长率（高于在线投资组合）一致收敛到零。因此，通用投资组合成功地将最佳CRP inhindsight的表现与“指数中的一阶”相匹配最初的通用投资组合（受到iid股票市场的启发）克服了一个缺陷，即它们无法识别和利用个别资产回报序列中甚至非常简单的序列依赖类型。例如，考虑一个双资产市场，其中资产2是现金（不支付利息），资产1是“热门股”，其价格在奇数周期交替翻倍，在偶数周期减半。当然，人们应该希望他的投资组合选择算法能够检测出这样一个微不足道的模式，从而学会（渐进地）每两个周期将其资本翻倍。但最初的环球投资组合，当应用于环球双线性投资组合A.Garivatis这一特定的资产价格序列时，只需学会使用不断的再平衡投资组合，即在每个投资期开始时，将其财富的50%投入股票，其余部分以现金持有；这就产生了渐进的资本增长，每两个周期的增长率为对数（9/8）=11.8%，持续复合，这与完美交易的对数2=69.3%相差甚远。解决这一难题的一个方法是使用带有辅助信息的通用投资组合（Cover and Ordentlich 1996）以及一个“信号”，例如，表明当前时期是否奇怪。这里的明显反对意见是，这一特定信号的效力（相对于任何其他附带信息）只有在事后才会变得明显。

因此，本文不同地解决了这个问题：我们考虑了一个扩展的参数族，即小型2期主动交易策略缩放双线性投资组合，它明确概括了常数再平衡投资组合（这里称为1-线性投资组合）。因此，我们应用Ordentlich封面技术设计了一个通用的双线性投资组合，该投资组合以与事后发现的最佳双线性交易策略相同的符号率组合资金（从而学会在激励示例中完美交易）。因此，在相同的技术意义上（参见with Cover和Thomas 2006），通用双线性投资组合将逐渐主导通用1线性投资组合，即通用1线性投资组合逐渐主导所有常数再平衡投资组合和所有买入和持有策略。一旦做到这一点，我们就可以很容易地看到，对于所有可能的小视界，我们如何能够构建一个由越来越占主导地位的通用H-linearportfolios组成的无休止的层次结构∈ {1, 2, 3, ...}.关于通用双线性投资组合的说明A.Garivatis2双线性交易策略。我们首先定义双线性交易策略（或双线性投资组合）的概念，这是一种简单的2期主动策略，概括了恒常平衡投资组合（CRP）的概念。为此，我们假设有m个资产被称为di，j∈ {1，…，m}；我们让xi≥ 0表示第1期1美元资产投资的总回报，同样，我们让yj≥ 0表示第2期资产j的总回报。我们让x：=（x，…，xm）∈ Rm+- {0}表示周期1中的总回报向量，同样，y：=（y，…，ym）∈ Rm+- {0}是周期2中的总返回向量。定义1。双线性交易策略是一个平方矩阵B：=[bij]m×mofnon负权重之和为1。

在两个投资期之后，双线性交易策略B将初始美元乘以两期资本增长系数的系数：=xBy=mXi=1mXj=1bijxiyj。（2） 所有双线性交易策略的集合表示为db：={B∈ Matm，m（R）：B≥ 0和1B1=1}，（3），其中1：=（1，…，1）是1的m×1向量。提案1。双线性最终财富xBy通过以下两个时期的主动交易策略进行唯一复制：在第1个时期，我们使用初始投资组合p：=（p，…，pm）=B1，其中pi=mPj=1 Bij是财富的初始部分。g、 如果xi：=1.05，则资产i在第1期升值5%；如果xi：=0.98，则资产i在第1期损失了其价值的2%，以此类推。双线性（参见Serge Lang 1987）指的是资本增长因子xBy在每个向量x和y中分别是线性的。当共同视为（x，y）的函数时，双线性形式xBy是2m变量x中的齐次二次多项式。。。，xm，y。。。，ym。关于通用双线性投资组合的说明A.Garivatis投资于资产i；在周期2中，我们必须使用portfolioq（x）：=（q（x）。。。，qm（x））=Bxpx=BxxB1，（4）例如qj（x）=mPi=1bijximPi=1mPk=1bikxi。（5） 证明。我们从函数方程（px）·（q（x）y）=xBy，（6）开始，例如，两个周期的生长因子等于在周期1和2中获得的各个生长因子的乘积。首先，我们替换y：=1=（1，…，1）和x：=ei=（0，…，0，1i，0，…，0），这是Rm的ithunit基向量。正如承诺的那样，存在pi=eiB1=mPj=1bij。接下来，在恒等式q（x）y=xBypx中，（7）我们放置y：=ej。这就给我们留下了qj（x）=mPi=1bijximPi=1mPj=1bikxi，（8），这是期望的结果。为了在逻辑上完整，我们必须将p和q（x）的表达式替换为方程（6），以验证它们是否将其转换为关于泛双线性投资组合A.GarivatisIdentity的注释。

给你：（B1）x·BxxB1y=xBy。(9)示例1。每一个固定的再平衡投资组合（参见Thomas Cover 1991）c：=（c，…，cm）相当于一个双线性交易策略，由外部产品B：=cc表示，例如bij：=cicjfor all i，j∈ {1，…，m}。这里，恒定的再平衡投资组合c决定始终保持每个资产i中财富的恒定比例CIO，其中ci≥ 0，MPI=1ci=1。示例2。更一般地，考虑始终使用组合c的交易策略：=（c，…，cm）∈ 最小时段1，然后始终使用投资组合d：=（d，…，dm）∈ 最小周期2（不考虑x的观测值），其中m：=c∈ Rm+：mPi=1ci=1表示Rm+中的单位投资组合单纯形。该方案是一种双线性交易策略，对应于外部产品B：=cd，例如，对于所有i，j，bij：=cidj∈ {1，…，m}。示例3。每个买入并持有策略（购买一些初始投资组合c：=（c，…，cm）并持有两个时期，不进行再平衡）相当于一个双线性交易策略，由对角矩阵B表示：=diag（c，…，cm）。受Ordentlich和Cover（1998）以及Cover和Thomas（2006）的启发，我们注意到双线性交易策略的概念有以下简单明了的解释。让我们通过简单的交易方案来定义一个极值策略：在第1阶段，我们将100%的财富投入到资产i中，然后在第2阶段，我们将所有收益转入资产j中。因此，在分配漂移方面存在不同的极值，例如，一些组成资产在每个阶段都会表现优于投资组合（而一些资产将表现不佳），CRP通常必须在每个周期进行交易，以恢复目标分配c：=（c，…，cm）。从字面上看，B的一个极值点。关于泛双线性投资组合A的注记。