字典式偏好与效用函数存在性问题

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看了好几本书，在证明字典式偏好，不存在效用函数时，都取一个有理数r(z),其证明大致如下：z属于商品空间，因为（z,2)>-(z,1),则有u(z,2)>-u(z,1)。取有理数r(z)，满足u(z，2)>-r(x)>-u(z,1)。如果y>z,,则r(y)>r(z),则有r(y)>u(y,1)>u(z,2)>r(z),于是得出r(z)是不可数集合R到一个有理数集合的一一对应，从而矛盾。请问（1）为什么要选择个有理数？（2）如果有理数是处于象集合的话，实值函数要求象集合是一个实数集合啊？

[em06][em06]

十分感谢！！！！

[此贴子已经被作者于2008-10-23 21:58:44编辑过]

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关键词：效用函数 性问题 存在性 有理数 不存在 函数 效用 偏好 字典 性问题

逻辑是这样的：

1、有理数集是稠密的，所以可以找出有理数r（x）满足不等式；

2、有理数集是可数集（总可以表示成整数之比p/q的形式，从而可列）；而实数是不可数集。

反证法：如果我们能建立一一映射，那么根据不可数集映射到不可数集的结论，反证映射不存在。

从而不存在效用函数将lexicographic preference表出。

为什么不能选择一个无理数来表示r（Z）？

tianyu0401 发表于 2009-10-23 08:10
为什么不能选择一个无理数来表示r（Z）？

无理数的cardinality和实数一样大，用无理数的话就没法构成矛盾了

tianyu0401 发表于 2009-10-23 21:10 为什么不能选择一个无理数来表示r(Z)？

http://www.pinggu.org/bbs/thread-294014-1-1.html

这里的证明思路是：

如果存在可以表达字典式偏好的效用函数，那么基于这个效用函数我们可以推出有理数的势不小于实数的势。而这与有理数的势小于实数的势矛盾。

定义在C=[0, +∞)×[0, +∞)上的字典式偏好D的意义是：∀x,y∈C：xDy <=>x1>y1或(x1=y1且x2≥y2)。

可知，∀x,y∈C：x与y无差异（即xDy且yDx）的充要条件是x=y。

若D存在效用函数表示u:C→R，则由D的性质知，∀x∈[0, +∞)：u(x,2)>u(x,1)，于是∃有理数r：u(x,2)>r>u(x,1)；∀x'∈[0, +∞)且x>x'：∃有理数r'：u(x',2)>r'>u(x',1)。由D的性质知，r>r'。

这样基于u，对于[0, +∞)中不同的实数，总可以找到不同的有理数与之对应，这表明有理数的势不小于实数的势。

sungmoo 发表于 2009-10-24 11:09

tianyu0401 发表于 2009-10-23 21:10 为什么不能选择一个无理数来表示r(Z)？

http://www.pinggu.org/bbs/thread-294014-1-1.html

这里的证明思路是：

如果存在可以表达字典式偏好的效用函数，那么基于这个效用函数我们可以推出有理数的势不小于实数的势。而这与有理数的势小于实数的势矛盾。

定义在C=[0, +∞)×[0, +∞)上的字典式偏好D的意义是：∀x,y∈C：xDy x1>y1或(x1=y1且x2≥y2)。

可知，∀x,y∈C：x与y无差异（即xDy且yDx）的充要条件是x=y。

若D存在效用函数表示u:C→R，则由D的性质知，∀x∈[0, +∞)：u(x,2)>u(x,1)，于是∃有理数r：u(x,2)>r>u(x,1)；∀x'∈[0, +∞)且x>x'：∃有理数r'：u(x',2)>r'>u(x',1)。由D的性质知，r>r'。

这样基于u，对于[0, +∞)中不同的实数，总可以找到不同的有理数与之对应，这表明有理数的势不小于实数的势。

关键问题是，我不理解，
（1）为什么要“∃有理数r”，而不是“∃无理数r”。。。？“∃有理数r”也可以满足啊，那样的话，不就最后成了“实数-实数”的映射了么？
（2）而且，U（x）效用函数的值域也不是有理数啊？

snowfoxzc 发表于 2009-11-22 01:10 为什么要“∃有理数r”，而不是“∃无理数r”。。。？“∃有理数r”也可以满足啊，那样的话，不就最后成了“实数-实数”的映射了么？

注意：

这里的逻辑是，若存在这样的效用函数，则可以找到（存在）那样的有理数r（不仅可以找到无理数，更可以找到有理数），而这样就导致了矛盾。

简单说，若存在这样的效用函数，则可以推出有理数的势不小于无理数。

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举个例子说。（欧氏几何中）你想用反证法证明圆内接四边形的对角互补，那么，当你假设存在某个对角不互补的圆内接四边形后，你的证明路线不该是由这一假设只推出“该四边形存在四条边”（虽然你完全可以推出这个命题）。

snowfoxzc 发表于 2009-11-22 01:10 U（x）效用函数的值域也不是有理数啊？

假设中，U(x)的值域是实数集的子集（有理数集的子集也在其中）。

楼主，你太有才了~

请问下楼主可以推荐几本包含有效用函数的存在性证明的书给我看看么，最近在学这方面的，但上课很难理解