趣味的博弈论:帽子的颜色 作者:潘天群
有一群人围坐在一起,为了便于分析,假定只有4人(这与人数多少无关,可作同样分析)。每个人头戴一顶帽子,帽子为红色的还是白色的红色和白色两种,每个人看不到自己帽子的颜色,但能看到别人帽子的颜色。因此此时他不能判定出自己头上的帽子的颜色。
为了分析的方便,我们假定这4个人均戴的是红色的帽子。这时候,一个局外人来到他们的群体当中,对他们说:“你们其中至少一位头戴的是红色的帽子。”当他说了这句话后,他问:“你们知道你们头上的帽子的颜色吗?”4个人都说“不知道”;这个局外人第二次问:“你们知道你们头上的帽子的颜色吗?”4个人又都说“不知道”。局外人第三次问:“你们知道你们头上的帽子的颜色吗?”4个人又说“不知道”。局外人又问第四次:“你们知道你们头上的帽子的颜色吗?”这时4个人均说:“知道了!”
你能知道为什么吗?
当局外人未宣布“至少一个人戴的是红帽子”时,这个事实其实每个人都知道了,因为每个人看到其他3个人的帽子都是红色的,但每个人不知道其他人是否知道这个事实,即这个事实没有成为公共知识。而当这个局外人宣布了之后,“至少一个人帽子是红色的”便成了公共知识。此时不仅每个人知道“至少一个人的帽子是红色的”,每个人还知道其他人知道他知道这个事实……
局外人第一次问时,由于每个人面对的其他3个人都是红色的帽子,每个人当然不能肯定自己头上的帽子是什么颜色,于是均回答“不知道”。此时,如果只有1个人戴红色的帽子,那么这个人因面对3个戴白色的帽子,他肯定知道自己的帽子颜色。因此,当4个人均回答“不知道”时意味着“至少有2人戴的是红色的帽子”,而且这也是公共知识。
当局外人第二次问时,如果只有2人戴的是红色的帽子,这2人就会回答说“知道”——因为他们各自面对的是1个戴红色帽子的人。由于每个人面对的是不止一个戴红色帽子的人,因此当局外人第二次问时,他们只能回答“不知道”。——此时的“不知道”,意味着“至少3个人戴红色的帽子”,并且它成为公共知识。
同样,局外人第三次问时,他们均回答“不知道”,意味着4个人均戴的是红色的帽子。因此,当局外人第四次问时,他们就知道宣布每个人头上均戴的是红色的帽子,于是,他们回答“知道”。
在这个过程中,当局外人首先宣布“其中至少一个人的帽子是红色的”,以及第二、第三、第四次回答的时候,无论是回答“知道”还是“不知道”——它们构成公共知识——构成所有人推理的前提,在这个过程中,每个人均在推理。
这就是“帽子的颜色问题”。本人将这个问题简化了。原来的问题比较复杂。它是这样的:
有一个游戏,有一个主持人和一群人(假定有n人),戴了两种颜色的帽子,每个人的帽子的颜色或者是红色或者是白色,但每个人不能看到自己的帽子的颜色却看得到其他人的帽子的颜色。游戏的主持人说:“你们中至少一个人的帽子是红色的。”主持人开始一次次地问:“你们知道不知道自己的帽子的颜色?”现在的问题是:当主持人问到第几次时,才有人说“知道”?并且多少人说“知道”?
据说,这个问题在20世纪曾风靡欧美。
(www.earm.cn/田成杰/ 2009-3-29摘编、整理)
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摘自《博弈生存:社会现象的博弈论解读》,潘天群/著,中央编译出版社2006年1月第2版。
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