统计的一场盛宴---“重尾(heavy tail)”---从理论到应用的名家合集

楼主真有意思，虽然我是初学者，但我也先买下来看看吧，算是对搂主辛勤工作的肯定了^^

以下是引用xmok77在2008-12-23 14:44:00的发言：

请问12楼，

重尾该如何理解更为准确啊？

谢谢参与讨论罗

首先感谢 xmok77，他推荐了一本好书。尽管有些贵，但价格并不足以抵得起他付出的劳动，以及热情。我在购买这本书时，觉得他对“重尾”概念的解释不够准确，所以从个人角度补充一下。希望能引起更多学友的兴趣，也算是对论坛的一点贡献。
     先介绍一下宏观背景。重尾（heavy tails）理论是近十几年兴起的一个研究热点。由于和一系列经典问题的紧密关联，以及问题本身的高层次，它在随机数学中的理论价值显而易见。同时，与各领域诸多实际问题的广泛而深刻的联系也赋予该理论重要的现实意义和广阔的应用背景。
     为解释重尾，先得说清几个基本概念。在概率统计中，一个分布函数 F(x)（或者，相应的某个随机变量）的“尾部”定义为 ₣(x)=1－F(x)；在大量的文献中，这个 ₣(x) 也被称为分布 F(x) 的“生存函数（survival function）”。称一个分布（函数）F(x) 为重尾分布（heavy-tailed distribution），如果其矩母函数（moment generating function）不存在。
     详细而严格的数学描述可见许多文献，在这里没必要深究。我们知道，任何分布 F(x) 的尾部都趋于零（当 x→∞ 时）；而一个分布的尾部“厚”或“重”到什么程度，本质的刻画是它趋于零的速度。直观上，当这个速度慢于任意的指数速度时，该分布就是重尾的。引用 Mikosch 的说法：
     ……heavy-tailed distributions are roughly those whose tails decay to zero slower than at an exponential rate. The exponential distribution is usually considered as the borderline between heavy and light tails. ……（见文献 [3]）
     同时，后一句话还说明指数分布（exponential distribution）的另一个价值：它是重尾分布和轻尾分布（light-tailed distributions）之间的界限。于是，厚于指数尾的分布都算重尾，薄于指数尾的都是轻尾。由于指数分布本身是轻尾的，所以我们可以知道，它具有轻尾分布族中最厚的尾部。比如大家十分熟悉的正态分布，它的尾部就更薄。在这个角度上，指数分布的地位恰如无穷级数中的调和级数。
    由此可见，轻重是一个相对的概念。此外，这里还有一个“分布族”的概念。轻尾分布有许多（我们在初等概率中学到的大都如此，除了Cauchy 分布有些特殊外），它们形成所谓的轻尾分布族。重尾族的成员也是形形色色，文献中常见的有 Lognorm（对数正态分布）、Pareto（帕累托分布）、Loggamma（对数伽马分布）等。但数学上一般并不在意具体的分布形式，而更注重将重尾分布族按某种性质进行划分，形成各类有意义的子族（subclass）。其中较为经典的子族有 L 族（长尾，long tails）、D 族（控制变化尾，dominatedly varying tails）、S 族（次指数分布族，subexponential distributions）、R 族（正则变化尾，regularly varying tails）等。其中 S 族、R 族的性质最好（尤其后者，该子族最小，其尾部速度有精确表达），数学上的主要工作之一就是将一些有用的结论从较小的子族往较大的子族中进行推广。近来有人在上述基础上又定义了一些新的子族。
     xmok77 的解释有一点容易引起误解，即无穷方差与重尾之间的关系。刚开始我也认为如此。实际上，我们知道，方差就是二阶距（the second moment）；重尾比较怪，怪就怪在，有的重尾分布连一阶距（the first moment，即数学期望）都不存在，不存在的意思就是无穷大，也有的重尾却存在任意有限阶距。所以不能用方差不存在来定义重尾。
     以上是基本概念。从应用角度，粗略地说，重尾的价值在于它可用来描述被称为极端事件（extremal events）的一类现象的有效工具，此类现象广泛地存在于自然、社会和经济领域，如多年不遇的自然灾害、各类恶性事故、巨大的社会动荡、金融风暴等。极端事件一般难得发生，但一旦出现，往往导致巨大的影响，产生极其严重的后果，涉及国计民生的大事。大家可以联想到太多事例。这种背景决定了学术界和社会各界对重尾理论的关注，决定了它的应用价值。最近的一本很有影响的书叫做“黑天鹅（The Black Swan）”，论坛上已经有人推荐过，就是从科普角度说极端事件。
     近年从数学与应用角度对重尾研究较多且影响较大的学者有 Embrechts P，Kl\"{u}ppelberg C，Mikosch T，Goldie C M 等，在国内，唐启鹤较有名气。做毕业论文时，看过他们的一些文章，说实话，很有难度。下面推荐几篇，有兴趣的话，可以联系我（除 [1] 外，都有电子版；其中 [2] [3] 都是介绍性的，比较好懂；[4] 最近才找到，还没看过）。

[1] Embrechts P., Kl\"{u}ppelberg C. and Mikosch T. (1997). Modelling Extremal Events (for insurance and finance). Berlin: Springer.
     [2] Goldie C.M. and Kl\"{u}ppelberg C. (1998). Subexponential distributions. A practical guide to heavy tails: statistical techniques for analysing heavy tailed distributions, 435--59. Boston: Birkh\"{a}user.
     [3] Mikosch T. (1999). Regular variation, subexponentiality and their applications in probability theory. Eurandom Report 1999-013.
     [4] Handbook of heavy tailed distributions in finance. (2003).

[此贴子已经被作者于2008-12-27 6:16:06编辑过]

俺是“穷人”+“懒人”，有关"fat tail"的，做了些尾指数方面的文章。尾指数估计是大分位数估计（VaR）的基础。

买不起，只能眼馋了！

看完22楼jmb321的回帖，很有收获啊

提供的文献也很有价值！

我只能以谢谢作为回应，不过我自己认为楼主(就是我自己:))所讲和您并没有矛盾啊

重尾存在多种意义，您说的是理论研究比较深入，较严格的一个角度

我这样说，不知您同意不？

正需要啊 可惜钱不够了

有人说太贵，而不能共享到这么好的资料

现降半价出售

下载了。谢谢LZ。

不用谢，希望对你有用

最近来的人越来越少，冷清得厉害啊。

是啊，欢迎讨论啊