大家觉得0.9的循环和1哪个大？

人们把“级数”表达为“以加号连接的代数式”，这无非也是一种规定，你高兴的话，完全可以选择自己喜欢的表达式（符号及其组合）。

这里“以加号连接的代数式”并不表达“无穷项相加”——至于“无穷项相加”究竟有什么意义，这就看你的定义（规定）了。

按zerana"看得懂"的表达式，若把实数a、"="以及"1+(-1)+1+(-1)+……"组成一个表达式，zerana认为a应该是什么呢？

还是那句话，用一个级数、一个实数以及"="组成一个表达式，前提是什么？（或者说，我们要规定这个表达式想表达什么？）

zerana 发表于 2009-10-20 15:57 原来你是没有看懂0.9999.....=0.9+0.09+....

更具体一些，我确实看不懂的是：在你看来

（1）"="右侧表达的是一个“级数”还是“无穷项相加”；

（2）如果表达的是“级数”，一个级数、"="、一个实数，它们在什么条件下才可以组成一个表达式，这个表达式表达的意义又是什么？（这里仍是：你究竟对其做了怎样的规定）；

（3）如果表达的是“无穷项相加”，“无穷项相加”之“和”是如何定义（或者如何运算）的？（这里仍是：你究竟对其做了怎样的规定）。如果这个“和”的定义是确切的，1+(-1)+1+(-1)+……这无穷项相加之和按你的规定应该是什么？

sungmoo 发表于 2009-10-20 19:36

zerana 发表于 2009-10-20 15:57 原来你是没有看懂0.9999.....=0.9+0.09+....

更具体一些，我确实看不懂的是：在你看来

（1）"="右侧表达的是一个“级数”还是“无穷项相加”；

（2）如果表达的是“级数”，一个级数、"="、一个实数，它们在什么条件下才可以组成一个表达式，这个表达式表达的意义又是什么？（这里仍是：你究竟对其做了怎样的规定）；

（3）如果表达的是“无穷项相加”，“无穷项相加”之“和”是如何定义（或者如何运算）的？（这里仍是：你究竟对其做了怎样的规定）。如果这个“和”的定义是确切的，1+(-1)+1+(-1)+……这无穷项相加之和按你的规定应该是什么？

看来你是没有看懂1+(-1)+1+(-1)+……。那我就再啰嗦几句吧，大家讨论问题嘛！

sungmoo 发表于 2009-10-20 19:36

zerana 发表于 2009-10-20 15:57 原来你是没有看懂0.9999.....=0.9+0.09+....

更具体一些，我确实看不懂的是：在你看来

（1）"="右侧表达的是一个“级数”还是“无穷项相加”；

（2）如果表达的是“级数”，一个级数、"="、一个实数，它们在什么条件下才可以组成一个表达式，这个表达式表达的意义又是什么？（这里仍是：你究竟对其做了怎样的规定）；

（3）如果表达的是“无穷项相加”，“无穷项相加”之“和”是如何定义（或者如何运算）的？（这里仍是：你究竟对其做了怎样的规定）。如果这个“和”的定义是确切的，1+(-1)+1+(-1)+……这无穷项相加之和按你的规定应该是什么？

看来你是没有看懂1+(-1)+1+(-1)+……。那我就再啰嗦几句吧，大家讨论问题嘛！

这个和到底是多少，你在疑惑，那就对了。如果你说出来了，那可以获得fields奖了。
假设S1=0.9+0.09+0.009+.....,   S1n表示只有前面n项相加。
S2=1+(-1)+1+(-1)+……，         S2n表示只有前面n项相加。

显然，当n区域无穷的时候，{S1n}和{S2n}极限分别为S1 and S2。（假设存在极限）
事实是，{S1n}是一个收敛的数列，其极限存在且有限，就是S1。
{S2n}却不是一个收敛的数列，它只有上极限1和下极限0，却没有极限。因此上面所谓的极限S2是不存在的。这就是你为什么疑惑的根源，这是两类不同的数列。如果学过微积分，很容易知道这是一种不定式，indefinite expression。所谓不定式，就是值无法确定。0/0， 无穷/无穷，正无穷+负无穷，这些都是不定式，都是无法确定的表达形式。把所有的1加起来就是正无穷，所有-1加起来就是负无穷，S2就是正无穷加负无穷，直觉上看就是不定式。

最后再说一句：任何一个确定的值都可以写成无穷项和，进一步，任何一个可以明确表达的函数，都可以写成无穷项和。（不要忘了著名的泰勒展式）

对于0.999......=0.9+0.09+0.009+.....,   如果你非要说这是一种规定，那我也没有办法。但这不妨碍0.9999.....=1。为什么相等，前面已经证明了。
如果你认为两者不相等，是否可以给出一个证明？

不管是否证明出来，别忘了给我加钱哦！

用数学语言说应该是0.9循环无限接近于1。  在计算时取极限后就相等了

貌似一样大！！！！！

zerana 发表于 2009-10-20 22:55 [url=http://www.pinggu.org/bbs/redirect.php?goto=findpost&pid=3717836&ptid=586969][img]看来你是没有看懂1+(-1)+1+(-1)+……。那我就再啰嗦几句吧，大家讨论问题嘛！

这个和到底是多少，你在疑惑，那就对了。如果你说出来了，那可以获得fields奖了。
假设
S1=0.9+0.09+0.009+.....,   S1n表示只有前面n项相加。
S2=1+(-1)+1+(-1)+……, S2n表示只有前面n项相加。

显然，当n趋于无穷的时候，{S1n}和{S2n}极限分别为S1 and S2。（假设存在极限）

你这里的“显然”，我看不懂的是：这是你的结论，还是你的假设。

莫非，你想说，“显然”你在“假设”两者都存在极限？

至于，你后面又说“事实上”，我就更看不懂你的“显然”了。

zerana 发表于 2009-10-20 22:55
显然，当n区域无穷的时候，{S1n}和{S2n}极限分别为S1 and S2。（假设存在极限）
事实是，{S1n}是一个收敛的数列，其极限存在且有限，就是S1。
{S2n}却不是一个收敛的数列，它只有上极限1和下极限0，却没有极限。因此上面所谓的极限S2是不存在的。这就是你为什么疑惑的根源，这是两类不同的数列。如果学过微积分，很容易知道这是一种不定式，indefinite expression。所谓不定式，就是值无法确定。0/0， 无穷/无穷，正无穷+负无穷，这些都是不定式，都是无法确定的表达形式。把所有的1加起来就是正无穷，所有-1加起来就是负无穷，S2就是正无穷加负无穷，直觉上看就是不定式。

你也说出了所谓“不定式”，那么，难道你不清楚“不定式”是不可以参与数学运算吗？或者说，人们为什么会规定“不定式”是“没有意义/没有定义的数学运算”吗？

人们定义一种数学运算，难道就是为了得到“不定式”？既然有“不定式”，如何实现以后的推理呢？

比如，你提到的"0/0"的运算结果就“没有定义”，或者“没有意义”——这是一般数学书上都会提到的。

数学可不是靠“不定式”实现推理与运算的。

简单说，运算的结果可能出现“不定式”，恰恰是前面提出来的、数学中需要慎重对待“无穷项相加”之意义的原因之一。

“无穷项相加”显然没有与“有限项相加”相同的意义。加法本身是递归的。

先讨论无穷的定义

lz大概以为因为不管有多少个9，它总是不可能等于1的，实际上因为有无穷多个，从数学角度分析是极限，从哲学角度来说是量变产生质变...所以两者相等