大家觉得0.9的循环和1哪个大？

sungmoo 发表于 2009-10-21 10:29

zerana 发表于 2009-10-20 22:55 [url=http://www.pinggu.org/bbs/redirect.php?goto=findpost&pid=3717836&ptid=586969][img]看来你是没有看懂1+(-1)+1+(-1)+……。那我就再啰嗦几句吧，大家讨论问题嘛！

这个和到底是多少，你在疑惑，那就对了。如果你说出来了，那可以获得fields奖了。
假设
S1=0.9+0.09+0.009+.....,   S1n表示只有前面n项相加。
S2=1+(-1)+1+(-1)+……, S2n表示只有前面n项相加。

显然，当n趋于无穷的时候，{S1n}和{S2n}极限分别为S1 and S2。（假设存在极限）

你这里的“显然”，我看不懂的是：这是你的结论，还是你的假设。

莫非，你想说，“显然”你在“假设”两者都存在极限？

至于，你后面又说“事实上”，我就更看不懂你的“显然”了。

好吧，既然你不同意，那你证伪一下这几个命题吧：
命题1：0.999......=0.9+0.09+0.009+.....；
命题2：0.9999.....=1；
命题3：当n趋于无穷的时候，{S1n}极限为S1；
（{S2n}不存在有限极限，姑且不讨论）

如果你证伪了这些命题，那么就从另外一个角度说明我上面说的都是“规定”或“假设”的，不是真的成立。
如果你不能证明0.9999.....不等于1，那你是否觉得0.9999.....=1呢？

sungmoo 发表于 2009-10-21 10:29

zerana 发表于 2009-10-20 22:55 [url=http://www.pinggu.org/bbs/redirect.php?goto=findpost&pid=3717836&ptid=586969][img]看来你是没有看懂1+(-1)+1+(-1)+……。那我就再啰嗦几句吧，大家讨论问题嘛！

这个和到底是多少，你在疑惑，那就对了。如果你说出来了，那可以获得fields奖了。
假设
S1=0.9+0.09+0.009+.....,   S1n表示只有前面n项相加。
S2=1+(-1)+1+(-1)+……, S2n表示只有前面n项相加。

显然，当n趋于无穷的时候，{S1n}和{S2n}极限分别为S1 and S2。（假设存在极限）

你这里的“显然”，我看不懂的是：这是你的结论，还是你的假设。

莫非，你想说，“显然”你在“假设”两者都存在极限？

至于，你后面又说“事实上”，我就更看不懂你的“显然”了。

好吧，既然你不同意，那你证伪一下这几个命题吧：

命题1：0.999......=0.9+0.09+0.009+.....；

命题2：0.9999.....=1；

命题3：当n趋于无穷的时候，{S1n}极限为S1；

（{S2n}不存在有限极限，姑且不讨论）



如果你证伪了这些命题，那么就从另外一个角度说明我上面说的都是“规定”或“假设”的，不是真的成立。

如果你不能证明0.9999.....不等于1，那你是否觉得0.9999.....=1呢？

zerana 发表于 2009-10-20 22:55 最后再说一句：任何一个确定的值都可以写成无穷项和，进一步，任何一个可以明确表达的函数，都可以写成无穷项和。（不要忘了著名的泰勒展式）

如果你愿意的话，完全可以规定：任意一个实数a=a+0+0+……

泰勒展式的应用，难道没有条件？

展式的前提是什么？事先没有“极限”的概念，“无穷项和”的意义又是什么？

换句话说，你的所谓“无穷项和”不正是用极限定义的吗？——所谓“无穷项和”无非就是一个极限的概念，而没有极限的话，“无穷项和”将是无意义的运算。“无穷项和”这种运算“有意义”是有条件的，而其“有意义”时其意义也恰恰就是极限的意义。

简言之，如前，你提出的所谓"级数=a"，无非表达了一个极限的意义而已。

zerana 发表于 2009-10-21 16:49 如果你不能证明0.9999.....不等于1，那你是否觉得0.9999.....=1呢？

前面说过几遍了。

“无限循环小数”与“分数”、“整数”如何“互化”，本身就是一种规定，这不是什么“证明”的问题。

你高兴的话，完全可以按你的方式把"1/9"这种表达“有理数”的“分数”形式（符号）表达成另一种形式（符号）。

正像有人愿意用"limAn=a"，有人愿意用"当n→∞，An→a"，关键是，对两种表达的规定，反映了同样的意义。

zerana 发表于 2009-10-21 16:39
好吧，既然你不同意，那你证伪一下这几个命题吧：
命题1：0.999......=0.9+0.09+0.009+.....；
命题2：0.9999.....=1；
命题3：当n趋于无穷的时候，{S1n}极限为S1；
（{S2n}不存在有限极限，姑且不讨论）

命题1、2本身都是关于数学表达式的规定（不存在所谓“证伪”的问题）。不再重述。

上面的说法联在一起，需要强调的是：

如果脱离“极限”的意义，“无穷项（常实数）之和”就没有独立（于极限）的、确定的（结果唯一的，对应于“映射”）意义，这种运算就不是数学中应该引入的。

即使人们为了方便，用极限赋予“无穷项之和”的意义（这样做的前提当然是极限存在），人们也不能忘记，这里的“无穷项之和”，无非就是一种特定的极限（即使用到了“=”）。

borain 发表于 2009-10-18 19:13
0.9+0.1=1
0.9+0.09=0.99
0.09

同意！高明！！！！！！！