数学分析习题练习五

上海交通大学2013年数学分析试题


解：
          （1）、
                       $\displaystyle \lim_{x\to \infty }\frac{2x-1}{x^3\sin\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to \infty }\frac{2x-1}{x^3\cdot \frac{1}{x^2}}=2.$


           （2）、
                      $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\frac{n+1}{n!}(\frac{1}{2})^n=1+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n-1)!}(\frac{1}{2})^n+\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}(\frac{1}{2})^n=1+\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}}+e^{\frac{1}{2}}=1+\frac{3}{2}e^{\frac{1}{2}}.$

上海交通大学2013年数学分析试题


解：
          利用常用公式
                                  $\displaystyle (\frac{1}{ax+b})^{(n)}=\frac{(-1)^na^nn!}{(ax+b)^{n+1}},$

                                  $\displaystyle (\frac{x}{ax+b})^{(n)}=x\cdot (\frac{1}{ax+b})^{(n)}+C^!_n(\frac{1}{ax+b})^{(n-1)}$

                    而
                                   $\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2-1}+\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1})+\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}),$

                        由
                                   $\displaystyle (\frac{x}{x+1})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!x}{(x+1)^{n+1}}+\frac{(-1)^{n-1}n!}{(x+1)^n}=\frac{(-1)^{n-1}n!}{(x+1)^{n+1}},$

                                   $\displaystyle (\frac{x}{x-1})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!x}{(x-1)^{n+1}}+\frac{(-1)^{n-1}n!}{(x-1)^n}=\frac{(-1)^{n}n!}{(x-1)^{n+1}},$

                                    $\displaystyle (\frac{1}{x+1})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+1)^{n+1}},$

                                    $\displaystyle (\frac{1}{x-1})^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x-1)^{n+1}},$

                                   $\displaystyle \therefore y^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+1)^{n+1}}+\frac{(-1)^nn!}{(x-1)^{n+1}}.$

上海交通大学2013年数学分析试题


解
                    $\begin{align*}\int \frac{1}{\sin^6x+\cos^6x}dx&=\int \frac{dx}{\cos^6x(1+\tan^6x)}\\\\&=\int\frac{d\tan x}{\cos^4x(1+\tan^6x)}\\\\&=\int\frac{(1+\tan^2x)^2d\tan x}{(1+\tan^6x)}\\\\&=\int \frac{(1+t^2)^2}{1+t^6}dt\\\\&=\int \frac{1+2t^2+t^4}{1+t^6}dt\\\\&=\int \frac{1-t^2+t^4+3t^2}{1+t^6}dt\\\\&=\int \frac{dt}{1+t^2}+\int \frac{3t^2dt}{1+t^6}\\\\&=\arctan t+\arctan t^3+C\\\\&=x+\arctan (\tan x)^3+C.\end{align*}$

上海交通大学2013年数学分析试题


解：
             令
                    $\displaystyle x^2-t^2=y,$

              则
                    $\displaystyle -2tdt=dy,[0,x]\rightarrow [x^2,0]$

            所以有
                      $\displaystyle (\int_{0}^{x}tf(x^2-t^2)dt)'=\frac{1}{2}(\int_{0}^{x^2}f(y)dy)'=xf(x^2).$

上海交通大学2013年数学分析试题


解：
                  由已知积分值与$a$无关，故积分对$a$求导为零。所以对$a$求导

                                   $f(a+b)-f(a)=0,$     
                  
                        令
                                    $a=1,b=x.$   

                     即有
                                    $f(1+x)=f(1)=1,$

                     由此可得
                                     $\therefore f(x)=1.$

上海交通大学2013年数学分析试题


证明：
                         $\displaystyle \because f''(x)> 0,\therefore f'(x)\uparrow ,$

                         $\displaystyle \Rightarrow f'(x)\geq f'(0),(x> 0)$

                          $\displaystyle \because \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0)=1,$

                         $\displaystyle \Rightarrow f'(x)\geq f'(0)=1,$

                求积
                         $\displaystyle \int_{0}^{x}f'(x)\geq x,$

                         $\displaystyle \therefore f(x)\geq x.$

上海交通大学2013年数学分析试题


解：
                    令
                           $\begin{cases}
u & =2x \\
v &= y\\
w & =z
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}
x & =\frac{1}{2}u \\
y &=v\\
z & =w
\end{cases}$

                而
                          $\displaystyle |\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}|=\frac{1}{2}.$

                          $\displaystyle \therefore V=\iiint_\Omega dV=\frac{1}{2}\iiint_\Omega dudvdw=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi=\frac{2}{3}\pi.$

上海交通大学2013年数学分析试题


证明：
                         $R(x)=\begin{cases}
\frac{1}{q} &,x=\frac{p}{q} \\
0 &, x=0,1,x\notin\mathbb{Q}
\end{cases}$

        因为Riemann函数在$[a,b]$上的无理数点均连续，在有理数点不连续。由于$[a,b]$上不连续点的测度为零，因此，Riemann函数在$[a,b]$上可积，且其积为零。

                     $\int_{a}^{b}R(x)dx=\lim_{|\pi|\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}R(\xi_i)\Delta x_i=0.$

          其中$\xi_i$为分割上的任一无理数。

上海交通大学2013年数学分析试题


证明
                                   
                                 $\displaystyle |\frac{\cos nx}{n^2+1}|\leq \frac{1}{n^2+1}\rightarrow 0,(n \to \infty )$

                     所以，级数一致收敛。根据级数一致收敛的性质，和函数的导数等于级数导数的和。由于

                                    $\displaystyle (\frac{\cos nx}{n^2+1})'=-\frac{n\sin nx}{n^2+1},$

                          显然  $\sin nx$一致有界，而
     
                                       $\displaystyle \frac{n}{n^2+1}\rightarrow 0,(n \to \infty )$

                         由此，根据Dirichlet判别法，导函数的级数和一致收敛。故级数连续可导。

上海交通大学2013年数学分析试题


证明
                     $\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow 0}\int_{0}^{+\infty }f(\frac{\alpha }{x})g(x)dx=\lim_{\alpha \rightarrow 0}\int_{0}^{n}f(\frac{\alpha }{x})g(x)dx+\lim_{\alpha \rightarrow 0}\int_{n}^{+\infty }f(\frac{\alpha }{x})g(x)dx.$

                     $\displaystyle \because n>N,s.t.\int_{0}^{n}g(x)< \infty ,|f(x)|\leq M,f(0)=0,$

           所以，
                     $\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow 0}\int_{0}^{n}f(\frac{\alpha }{x})g(x)dx$

              一致收敛。所以积分和极限可以交换次序。

                    $\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow 0}\int_{0}^{n}f(\frac{\alpha }{x})g(x)dx=\int_{0}^{n}\lim_{\alpha \rightarrow 0}f(\frac{\alpha }{x})g(x)dx=0.$

           而
                     $\displaystyle \because |\lim_{\alpha \rightarrow 0}\int_{n}^{+\infty }f(\frac{\alpha }{x})g(x)dx|\leq M|\lim_{\alpha \rightarrow 0}\int_{n}^{+\infty }g(x)dx|=0,$

                      $\displaystyle \therefore \lim_{\alpha \rightarrow 0}\int_{n}^{+\infty }f(\frac{\alpha }{x})g(x)dx=0.$

                    $\displaystyle \Rightarrow \lim_{\alpha \rightarrow 0}\int_{0}^{+\infty }f(\frac{\alpha }{x})g(x)dx=0.$


注：这道题出的很好，有原创性。是有关“带有积分的极限”典型题。