[原创]“民主不可能”初探

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

一.民主不可能

从Condorcet Paradox （孔多塞悖论，又称投票悖论）开始，出现了各种非常有趣的 “民主不可能”的理论，其中，以“阿罗不可能”最有著名。

所谓“民主不可能”，它表述的是这样一种意思：

在符合一些合理的条件下，个人的偏好无法导出由这些个人所组成的社会偏好，既：在符合一些合理的条件下，多条个人偏好曲线无法合成一条公共偏好曲线。

这个题目有趣，适合做头脑体操用，俺来做个初探，和爱好者们一起研究研究。

二.现实生活中的投票悖论ZT

15 位同学负责筹办一场同乐会，因为经费和人力的限制，他们决定只提供一种冰饮。至于要提供哪一种，则有三种意见僵持不下：冰红茶 (用 T 表示)、啤酒 (用 B 表示) 还是鸡尾酒 (用 C 表示)。于是他们决定要用最民主的方式解决纷争：不记名投票。大家不假思索地举行了最常见的选举模式：一人一票、投给自己认为最适当的饮料、以获得最高票数的饮料获胜。开票的结果是 T:B:C = 6:5:4，冰红茶获胜。

也许那个筹备会议可以继续进行下一项讨论了。但是，某个人开始咕哝，另一个人听到了就大声一点儿附和，第三个人也开始埋怨，一股不安的情绪突然就爆发了。投票给冰红茶的人要其它人表现民主风度：「少数服从多数嘛」。可是，有人说：「毕竟有 9 个人不喜欢冰红茶啊」。在骚动中，情绪似乎有点失控，许多人七嘴八舌地嚷嚷着，说他们『最』不喜欢冰红茶。

好吧，大家都是好朋友嘛，别为了这种小事伤了和气。有人提议说他听说过另一种投票方法，比较『公平』，那就是所谓的「两轮制」：把第一轮投票结果中最好的两名取出来，所有人对这两个候选饮料再投一次票。如果能够帮助大家和和气气地达成共识，再投一次票也无妨，于是他们就做了。第二轮的投票结果，竟然就是 B:T = 9:6，啤酒获胜。

这样的结果真的解决歧见了吗？很不幸地，不但没有，他们之间变得更针锋相对！看起来，喜欢喝茶的人一票也没有动摇，但是那些失去了鸡尾酒选项的人全部改去支持啤酒了。赞成喝茶的人难掩气愤之情，说你们这些想要喝酒的人联合起来欺负我们。刚才他们至少还会热烈争辩，现在情况更不妙：他们彼此不说话了。

为了打破那空气中令人尴尬的沉默，又有一个人小心地提议，请大家拋弃成见，再来一次。这一次，他提议一个「最科学」的作法：请每个人给每种饮料一个分数，最喜欢的给两分，次喜欢的给一分，不喜欢的不给分。然后计算每种饮料得到的分数总和，最高分的饮料获胜。这听起来毕竟是一个新奇的作法，所以大家虽然意兴阑珊，还是勉强同意了。 15 个人很小心地在选票上填写了分数，计算的结果是 C:B:T = 19:14:12，鸡尾酒获胜。

有人哀号「怎么会三次结果都不一样？」，有人大叫「我不玩了」。为什么三次投票得到三种结果？是有人搞鬼吗？有一些人要和另外一些人作对吗？有人经常改变主意做墙头草吗？总归来说，是这 15 个人不够理性或是民主素养不足吗？选举理论想要阐述的是：可能这并不是那 15 个人的错，而是不同的选举程序会造成不同的结果。

三．孔多塞悖论OR投票悖论ZT

早在十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如图的偏好排序。

甲（a ＞ b ＞ c）

乙（b ＞ c ＞ a）

丙（c ＞ a ＞ b）

注：甲（a ＞ b ＞ c）代表——甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。

若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（a ＞ b ）

乙（b ＞ a ）

丙（a ＞ b ）

社会次序偏好为（a ＞ b ）

若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（b ＞ c ）

乙（b ＞ c ）

丙（c ＞ b ）

社会次序偏好为（b ＞ c ）

若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：

甲（a ＞ c ）

乙（c ＞ a ）

丙（c ＞ a ）

社会次序偏好为（c ＞ a ）

于是我们得到三个社会偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c~！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。

四.民主不可能的最简单形式：阿门不可能

以二个人的AB二种选择做偏好排序为例，甲选A而乙选B，两个人尖锐对立，则民主已不可能矣，俺们将它叫做“阿门不可能”，是最简单的“民主不可能”形式。

[此贴子已经被作者于2006-6-21 19:31:55编辑过]

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：paradox 阿罗不可能 现实生活 针锋相对 结果显示 初探 民主 原创

五．投票悖论出现的概率问题ZT

好年华网友的研究是：

三个人，三种方案，三级评价，相当于三种球排9个位置：

好 中 差

甲 X X X

乙 X X X

丙 X X X

全部组合的可能性是(3!)^3=216种。在出现阿罗问题时，所有a、b、c不能在同一行及列上重复。因此，

先排甲的a1、b1、c1，分布依然有3!=6种；
再排乙的a2、b2、c2，由于a2不能位于a1下方，故只有两种可能b1、c1下方两种可能；
当a2位于b1下方时，b2不能位于a1下方，只能位于c1下方，否则c2将位于c1下方；
当a2位于c1下方时，b2不能位于b1下方，只能位于a1下方。
故排下a2，其余所有剩余的a、b、c也都唯一确定了。

因此出现阿罗问题的可能性有6x2=12种，概率为12/216=5.6%，不出现阿罗问题的概率为94.4%。

如果考虑a=b、b=c和c=a的情形，“阿罗”的概率更少，如果人数趋向无穷大，则“阿罗”的概率将趋向于0，实际上完全不存在，不必考虑。退一步说，即使碰上“阿罗”，也谈不上损害社会的“总偏好”，因为此时没有一个明确的“总偏好”存在；并且这是在已知方案数目确定的情形下，如果出现一个新方案，则各人的偏好也会改变，“阿罗”又将变成一个极小概率的、可以忽略的事件。

六.投票悖论只是一种阿门不可能的复杂形式

俺觉得孔多塞只是在和俺们搞脑子。

阿门不可能是说甲选A而乙选B，两人的偏好对立，不可能存在社会总偏好。

这是所有“民主不可能”的最简式。

而投票悖论只是稍微复杂一点的阿门不可能。

甲（a ＞ b ＞ c）
乙（b ＞ c ＞ a）
丙（c ＞ a ＞ b）

好年华网友对投票悖论的观察是：所有a、b、c不能在同一行及列上重复。

以上面的这个组合为例，比如，甲选c为下选，丙选c为上选，两人对立，为阿门不可能，而乙选c为中选，可以忽略。

无论对应abc这三个选择中的哪一个，情况总是：一人认为是上选，一人认为是中选，一人认为是下选。

这样看投票悖论，简单如阿门不可能，只是在两人对立中再加了一个中间派。

请大家不要被孔多塞搞糊涂了。

阿门王到此向钱妹妹、曹国舅、黄老邪、郑大班、若言等地球村老相好问好。

特殊例子而已，不能因一件事而否定99件事。

有时候，人们要得不是最好的结果，而是多一些选择。当你只给他提供鸡尾酒时，他会抱怨没有自由、生活质量差。当你同时给他提供鸡尾酒和啤酒时，他可能还是选择鸡尾酒，但是他会认为多了自由，生活质量大幅度提高。

七．博达算法（Borda Count）和偏好强度

对于基本的3人选3方案，孔多塞主张进行两两捉对比较（就把这种选举方法叫做孔多塞方法吧），按照好年华朋友的计算，有12/216的可能会出现悖论，即a ＞ b ＞ c ＞ a这种情况。

要使得选举结果在数学上总是成立，博达（也是个法国佬）想到的方法是给abc以一定的权重。

回到3选3的那个基本的悖论出现的例子：

甲（a ＞ b ＞ c）
乙（b ＞ c ＞ a）
丙（c ＞ a ＞ b）

规定凡上选得3分，中选得2分，下选得1分。

如此选举的结果就成了a=6，b=6，c=6；或者a=b=c。

这个在数学上没有问题了，可以认为选举结果是平局，或者没有公共偏好曲线。

俺们姑且将这种博达算法称为等额权重投票法。

疑问是，为什么要用等额法？上中下三选为什么只差1分？

比等额权重投票法似乎好一点的解决方法是，给选举人10分，让他自由地给他的偏好打分，比如上面的甲（a ＞ b ＞ c）偏好，甲可以给a5分，给b3分，给c2分。

俺们姑且将这种博达算法称为打分权重投票法。

从理论上说，如果选举人足够诚实，不使用博弈策略来对付选举，那么，打分法比等额法更优越，它使得选举人能够更准确地描述自己的偏好曲线，而且它在很大程度上降低了投票悖论出现的几率。

但是在现实中，选举人很可能使用博弈策略来歪曲自己的偏好曲线以对付选举，那么，等额法似乎又比打分法更可取，但是即使是采用等额法，还是无法回避选举者的博弈策略行为。

两难问题哦。

博达算法还是有其他问题的：

甲的偏好表述如果是a ＞ b ＞ c，那么这里的abc都是序数，只排序，不比较大小；但是采用了博达算法使得a=5，b=3，c=2，那么这里的a、b、c都是基数了，不但可以排序还可以比较大小，这里的疑问是：甲能否真的可以用5、3、2来表述他对a、b、c的偏好？而且，甲的a=5和乙的a=5是不是等价？

这里的关键问题是：如何来界定偏好强度？

如果偏好就是效用，那么，效用学说的基数派和序数派之争，同样也会在这里出现了。

插曲：从“中间投票人定理”看清朝帝位之争

“中间投票人定理”的内容以后再说，刚才看了电视连续剧“江山风雨情”，正播放着皇太极死后发生的帝位之争的故事，大有感触：

民主选举是这样进行的（呵呵，当然是贵族民主）

多尔衮派：多尔衮＞豪格

豪格派：豪格＞多尔衮

这个是非此即彼的选择，两派尖锐对立，没有中间道路，当然也就没有了中间派。

这个是典型的阿门不可能问题，恐怕在当时，非采用战争手段而无法解决。

好在有聪明人想到了福临，于是情况变为：

多尔衮派：多尔衮＞福临＞豪格

豪格派：豪格＞福临＞多尔衮

中间派（福临派）：福临＞豪格＞多尔衮；或者：中间派（福临派）：福临＞多尔衮＞豪格

这后两种偏好排列是无所谓的，不影响选举结果。

这个时候，哪怕是多尔衮派和豪格派的选民人数众多，只要两派在人数上势均力敌，那么，结果显然是人数很少的福临派胜出。

民主选举，选出的是人数上的少数派，一笑。

赫鲁晓夫也是这样胜出的。

再引申一下：

华国锋是毛泽东钦定的接班人，但是，如果当时的元老派和极左派势均力敌，那么，走和平选举之路，恐怕可能的结果也是华国锋胜出。

希特勒选在政治上非常弱势的邓尼茨做接班人，是不是也这个意思？

附历史背景资料：

如前文所说，清崇德八年（1643年）八月初九日夜亥刻，皇太极带着“储嗣未定”的遗憾猝死。皇太极在白天还处理政务，夜里就离开人世。他死之前，没有留下任何遗言，也没有交代由谁继位。由于事出突然，诸王贝勒也没有一点准备。经过一段时间的忙乱和哀悼，一场激烈的皇位争夺战在皇宫崇政殿打响。那一天是八月十四日，也就是皇太极死后的第六天。
努尔哈赤有遗诏，规定皇位的继承要满洲贵族来讨论。当时主要有七个人的意见举足轻重：四个亲王，就是礼亲王代善，郑亲王济尔哈朗，睿亲王多尔衮，肃亲王豪格；还有三位郡王，就是英郡王阿济格，豫郡王多铎和颖郡王阿达礼。当时，最有希望夺得大位的是肃亲王豪格和睿亲王多尔衮。
豪格（1609～1648年）的有利条件主要是：第一，为皇太极长子，35岁（比多尔衮年长3岁），正值壮年；第二，人才出众，史称他“容貌不凡，有弓马才”，“英毅，多智略”；第三，久经战阵，屡获军功；第四，皇太极生前亲掌的正黄、镶黄和正蓝三旗大臣拥护豪格继位，尤其是两黄旗贝勒大臣更是誓死效忠。
多尔衮（1612～1650年）的有利条件主要是：第一，是努尔哈赤第十四子，皇太极之弟，时年32岁；第二，受到父亲的钟爱。史载，努尔哈赤曾留下遗言：九王子（多尔衮）当立而年幼，由代善摄位。而代善鉴于当时情势，转而拥立皇太极；第三，多尔衮兄弟为正白旗和镶白旗的旗主贝勒，这两个旗支持多尔衮；第四，有二位胞兄弟阿济格和多铎的支持，在上述七王中，多尔衮兄弟占了三个席位；第五，多尔衮多次统军出征，“倡谋出奇，攻城必克，野战必胜”，屡立大功。

八旗甲胄从实力对比看，豪格有正黄、镶黄和正蓝三旗的支持，多尔衮有正白、镶白两旗的支持。那么，其余三旗——代善父子掌管的正红和镶红两旗、济尔哈朗掌管的镶蓝旗——的意见就至关重要。
十四日黎明，两黄旗大臣在大清门盟誓，拥护豪格继承皇位，并部署两黄旗巴牙喇(即护军营,为禁军中护卫皇帝的部队)张弓挟矢，环卫崇政殿。图尔格、遏必隆又传令其牛录下的护军，备好甲胄弓矢，护卫大清门。议商皇位继承人的贵族会议在崇政殿的东庑殿举行，由年纪最长（61岁）、地位最高的礼亲王代善主持。黄旗索尼和鄂拜首先倡言“立皇子”，多尔衮以其资历不够，令他们退下。索尼和鄂拜虽然退出，但两黄旗巴牙喇包围了宫殿。两黄旗暂时占了上风。但两白旗并不示弱，豫郡王多铎、英郡王阿济格弟兄发言，力劝多尔衮即帝位。多尔衮见形势紧张，正在犹豫。多铎声言：“你如果不答应，应当立我。我的名字在太祖遗诏！”多尔衮不同意立多铎，说：“肃亲王（豪格）的名字也在遗诏里，不独王（多铎）也！”多铎又说：“不立我，论长当立礼亲王（代善）！”礼亲王代善表示自己老了，提出豪格为“帝之长子，当承大统”。豪格觉得有两黄、正蓝和两红旗的支持，大局可定。于是，表示谦辞，说：“福少德薄，非所堪当！”他本来是假意谦让，想让众人“坚请不已”，然后顺势登上皇帝宝座，这样不是显得既谦恭又众望所归吗？但是，两白旗并不相让。他内心愤懑，随即暂退。在争执激烈的气氛下，两黄旗大臣佩剑向前说：“我们这些人吃先帝的，穿先帝的，先帝对我们的恩情有天大。要是不立先帝的儿子，我们宁可以死追随先帝于地下！”这时，礼亲王代善见形势不对，以年老不预朝政而离席，英郡王阿济格随后以不立多尔衮而退出，豫郡王多铎沉默不发一言。这就出现“定议之策，未及归一”的僵局。
在这剑拔弩张、互不相让的紧要关头，表面憨厚而内心机敏的郑亲王济尔哈朗，提出一个折衷方案：让既是皇子、又不是豪格的福临继位。多尔衮权衡利弊：如果自己强行继位，势必引起两白旗与两黄旗的火并，其后果可能是两败俱伤；让豪格登极，自己既不甘心，还怕遭到豪格报复；而让年幼的福临继位，则可收到一石三鸟之利——打击豪格，自己摄政，避免内讧。所以，多尔衮说：“我赞成由皇子继位，皇子当中豪格提出他不继位，那就请福临继位。福临年纪小，郑亲王济尔哈朗和我辅政。”豪格也不好反对。
于是，6岁的福临意外地坐上了大清国皇帝的宝座。这有点像天助神佑，但也并非找不出事理的根据来。正如一位哲人说过的，在权力争夺的平行四边形诸力中，两条边的两个不同方向的分力，斗争的结果，既不是这条边的力，也不是那条边的力，而是对角线的力，就是两个分力所产生的一个合力。福临，幸运地成了这条权力斗争中的“对角线”。

[此贴子已经被作者于2006-6-22 1:14:25编辑过]

怎么变黑体字了?

有意思，和历史结合的很好啊，受教啦...