虽然几何分布和超几何分布就差一个字,但是他们确实完全不同的两个分布。首先我们来瞧瞧这两个分布的名字来源:
“超几何分布”一词来源于超几何数列,就像“几何分布”来源于几何数列。
几何数列又叫等比数列,是指一个数列从第2项起,每一项与前一项的比是一个定值。例如:一次射击命中目标的概率为P,那么到第n次射击首次命中目标的概率P(X=n)=(1-P)^(n-1)P,就是一个等比数列。就把随机变量服从的这种分布称为几何分布。
超几何数列是这样一个数列:从第2项起,每一项与前一项的比是一个关于项数n的有理函数。例如:a1=2, a<n+1>/a<n>=n+3,数列{an}就是一个超几何数列。
可见超几何数列是几何数列的推广。而超几何分布的概率公式是一个超几何数列的形式,所以就把这样的分布叫超几何分布。
从几何分布的那个例子,我们已经可以了解到几何分布的大致定义,具体为:在n次伯努利试验中,试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说,是:前k-1次皆失败,第k次成功的概率。
它分两种情况:
1. 得到1次成功而进行n次伯努利实验,n的概率分布,取值范围为{1,2,3,...};
2. m = n-1次失败,第n次成功,m的概率分布,取值范围为{0,1,2,3,...}.
由两种不同情况而得出的期望和方差如下:
概率为p的事件A,以X记A首次发生所进行的试验次数,则X的分布列:
具有这种分布列的随机变量X,称为服从参数p的几何分布,记为X~Geo(p)。
几何分布的期望
你们想知道这个是怎么证明的么?书上也许有,但不想翻书的可以点击这个链接:http://blog.sina.com.cn/s/blog_5e43275701018c7x.html。(过程太长,楼主就不贴了)
对了,几何分布有个很好的性质叫做无记忆性(即对任何正整数m,n,有P{X=m+n|x>m}=p{x=n}),也就是说,在已经作了m次失败试验的条件下,还需要继续作n次以上的试验的可能性,已从一开始就需要作n次以上试验的可能性是一致的。这表明,几何分布在后面的计算中,把过去的m次失败的信息遗忘了,就像刚开始计算一样。(简单点就是:不论你从第几项开始都是一样的,和前面的事件无关,除了几何分布外,在连续性里指数分布也具有类似的性质)
证明如下:
P{x=m+n|x>m}=P(X=m+n,x>m)/P{x>m}
=P(X=m+n)/P{x>m}
=p[(1-p)^(m+n-1)]/p[(1-p)^m+(1-p)^(m+1)+..........]
=p[(1-p)^(m+n-1)]/(1-p)^m
=p(1-p)^(n-1)
=P{x=n}(中间步骤用了等比数列求和)
今天讨论的环节貌似有点偏题,那就是你愿不愿意人生也具有无记忆性呢?
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