威沙特分布的定义和性质-经管之家官网！

1.威沙特统计量:一元统计中卡方分布的推广。
1.1威沙特分布的定义
a)如果总体服从N_p(u,\Sigma),样本均值向量\bar{X}做u的估计，样本协方差阵S=\frac{1}{n-1}A作为\Sigma的估计。
样本均值\bar{X}服从N_p(u,\frac{\Sigma}{n}).p是变量的维度。
b)如果X是一元的，样本方差s^2=1/(n-1)\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2作为总体方差的估计，
而且(n-1)s^2/sigma^2服从n-1维的卡方分布。
c)如果X是多元的，X_{(alpha)}表示一个样本，alpha=1,2,...,n,来自总体N(0,\Sigma),记X=(X1,X2,...,X_(n))‘形成数据样本阵。
定义W=\sum_{i=1}^{n}X_(i)X_(i)'的分布，如果p=1，总体就服从N(0,\sigma^2),这时候W服从\sigma^2\chi^2(n).因为总体
均值已经知道，所以不是n-1维的卡方分布。如果p>1,那么就称W服从的是威沙特分布，记作W_p(n,\Sigma).于是就有：
W_p(n,1)=\chi^2(n).
d)一般情况，X_(a)~N_p(u,\Sigma),a=1,2,..,n,记M=1_n*u',这时候称W=X'X服从非中心参数为\Delta的非中心威沙特分布，
记作W_p(u,\Sigma,\Delta),非中心参数\Delta=M'M=u1_n'1_nu'=nuu'.
e)如果X_(a)是相互独立的，a=1,2..,n,即N_p(u_a,\Sigma)非中心参数\Delta=M'M=\sum_{a=1}^{n}u_a'u_a.
1.2威沙特分布的8个性质
1)n个多元正态随机向量相互独立，样本离差阵服从威沙特分布。
2)自由度n具有可加性：若W_i~W_p(n_i,\Sigma),i=1,2,...,k,那么\sum_{i=1}^{k}~W_p(n,\Sigma),其中n=n1+n2+..,nk
3)若p阶随机阵W服从威沙特分布，若C是m*p常数矩阵，那么m阶随机阵也服从CWC‘威沙特分布。
4)若W服从威沙特分布，W的对角分块矩阵W_11和W_22也服从威沙特分布。
5)若W服从威沙特分布，w_22-W_21W_11^{-1}W_12也服从威沙特分布W_{p-r}(n-r,\Sigma_22).
6)若W~W_p(n,\Sigma),则E(W)=n\Sigma.
7)如果X是服从正态分布的随机阵，X’AX服从有非中心参数的威沙特分布。
8)如果X是服从正态分布的随机阵，AB=0与X'AX和X'BX相互独立等价。