泰尔指数及分解公式的计算方法与Matlab实现-经管之家官网！

(I) 按公式(2)计算：

1. function T=Theil2(x)
   
2. %函数Theil2()计算泰尔指数, 反映收入水平的差异
   
3. %其中,x为n个个体的收入
   
4. xx=x./mean(x);
   
5. T=mean(xx.*log(xx));

主程序：

1. y2=[10 10 8 8 8 8 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2];
   
2. %每个个体的收入（万美元）
   
3. T2=Theil2(y2)

运行结果：

T2 =0.0791

(II) 按公式(3)计算：

1. function T=Theil(y,p)
   
2. %函数Theil()计算泰尔指数, 反映收入水平的差异
   
3. %其中,y为各组的平均收入; p为各组包含的个体数
   
4. w=y.*p/sum(y.*p);
   
5. e=p./sum(p);
   
6. T=sum(w.*log(w./e));

主程序：

1. y=[10 8 6 4 2]; %各组的平均收入（万美元）
   
2. p=[2 4 6 4 2]; %各组包含的个体数
   
3. T=Theil(y,p)

运行结果：

T =0.0791

泰尔指数作为收入不平等程度的测度指标具备良好的可分解性质，即将样本分为多个群组时，泰尔指数可以分别衡量组内差距与组间差距对总差距的贡献。假设包含n个个体的样本被分为K个群组，每组分别为[LaTex]g_k, (k=1,\cdots,K)[/LaTex],第k组g_k中的个体数目为n_k，则有[LaTex]\sum_{k=1}^K n_k =n[/LaTex]，

y_i表示个体i的收入份额（占总收入的比例）, y_k表示第k组的收入份额（占总收入的比例），记T_b与T_w分别为组间差距和组内差距，则可将泰尔指数分解如下：

[LaTex]T=T_b+T_w=\sum_{k=1}^K y_k \ln\big(\frac{y_k}{n_k /n} \big) + \sum_{k=1}^K y_k \Big(\sum_{i \in g_k} \frac{y_i}{y_k} \ln \frac{y_i / y_k}{1/n_k} \Big)[/LaTex] (4)

在上式中组间差距T_b与组内差距T_w分别有如下表达式：

[LaTex]T_b=\sum_{k=1}^K y_k \ln\big(\frac{y_k}{n_k /n} \big) [/LaTex] (5)

[LaTex]T_w = \sum_{k=1}^K y_k \Big(\sum_{i \in g_k} \frac{y_i}{y_k} \ln \frac{y_i / y_k}{1/n_k} \Big)[/LaTex] (6)

另外，值得注意的是组内差距项分别由各组的组内差距之和构成，各组的组内差距的计算公式与样本总体的计算公式并无二致，只是将样本容量控制在第k组的个体数目n_k。

例2 还是例1的数据，计算组间差距T_b与组内差距T_w，验证泰尔指数T=T_b+T_w

1. function [Tb,Tw]=TbTw(x,n)
   
2. %函数TbTw()计算泰尔指数分解, 返回Tb为组间差距, Tw为组内差距
   
3. %泰尔指数T=Tb+Tw
   
4. %x为N个个体的收入向量, 依次分为K个分组
   
5. %n=[n1,...,nK]为各分组的个体数向量, sum(n)=N
   
6. K=length(n);
   
7. s=[0,cumsum(n)];
   
8. for k=1:K
   
9. X{k}=x(s(k)+1:s(k+1))./sum(x);
   
10. %X{k}为第k个分组的nk个个体的收入份额(占总收入的比例)
    
11. y(k)=sum(X{k}); %y(k)为第k组的收入份额(占总收入的比例)
    
12. end
    
13. Tb=sum(y.*log(y./(n./length(x)))); %组间差距
    
14. for k=1:K
    
15. z(k)=sum((X{k}./y(k)).*log(n(k)*X{k}./y(k)));
    
16. %第k组的组内差距
    
17. end
    
18. Tw=sum(y.*z); %总的组内差距为各分组组内差距的加权和

主程序：

1. x=[10 10 8 8 8 8 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2];
   
2. %每个个体的收入（万美元）
   
3. n=[2 4 6 4 2]; %各分组的个体数
   
4. [Tb,Tw]=TbTw(x,n)

运行结果：

Tb=0.0791

Tw=-3.7007e-17

说明：由于该例中，每个分组内各个个体的收入是相同的，故每个分组的组内差距为０，总的组内差距Tw也为０，结果中的-3.7007e-17是由于Matlab中的双精度误差造成的，相当于是０.

例3 修改例1中的数据，让各分组的个体收入不相等，继续测试上述算法。

原第1组：10、10，改为9.5、10.5

原第2组：8、8、8、8，改为7、9、7.5、8.5

原第3组：6、6、6、6、6、6改为5、7、5.5、6.5、6、6

原第4组：4、4、4、4改为3、5、3.5、4.5

原第5组：1.5、2.5

主程序：

1. x2=[9.5 10.5 7 9 7.5 8.5 5 7 5.5 6.5 6 6 3 5 3.5 4.5 1.5 2.5]; %每个个体的收入(万美元)
   
2. n=[2 4 6 4 2]; %各分组的个体数
   
3. [Tb,Tw]=TbTw(x2,n)
   
4. T=Theil2(x2)
   
5. Tb+Tw

复制代码

运行结果：

Tb=0.0791

Tw=0.0077

T= 0.0868

ans=0.0868

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