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论一些著名教材对公地悲剧的误解

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一、引言　　公地悲剧（tragedyofthecommons）是经济学家非常熟悉的一个模型，它泛指一种公共资源或无主资源的过度使用。1968年英国加勒特·哈丁教授(GarrettHardin)在《Thetragedyofthecommons》一文中首先提出“公 ...

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一、引言
　　公地悲剧（tragedy of the commons）是经济学家非常熟悉的一个模型，它泛指一种公共资源或无主资源的过度使用。1968年英国加勒特·哈丁教授(Garrett Hardin)在《The tragedy of the commons》一文中首先提出“公地悲剧”理论模型，随后即被制度经济学广泛引用，在今天已进入初中级微观经济学教材，成为经济学的常识之一。但是我们在研读了张维迎的《博弈论与信息经济学》，高鸿业主编的《西方经济学》、约翰·里奇《公共经济学教程》、约翰·亚当斯《公共经济学》等著名国内外教材的公地悲剧模型之后，发现他们对于公地悲剧的论述存在着重大缺陷甚至错误。本文先摘录国内外著名教材的公地模型，然后再讨论其存在的问题。限于篇幅，另文论述我们自己提出的公地悲剧模型。
二、国内外著名教材对于公地悲剧的论述
　　（一）张维迎《博弈论与信息经济学》的公地悲剧模型[1]
　　考虑n个农民的村庄共同拥有一片草地，每个农民都有在草地上放牧的自由。每年春天，每个农民要决定自己养多少只羊gi。G=g1+g2+…＋gn是羊的总量。v代表每只羊的平均价值，v=v(G)，且存在草地最大放羊数量Gmax，当G＜Gmax时，v(G)是G的单调递减的上凸函数，即v对G的一阶导数小于0，二阶导数小于0；当G≥Gmax时，v(G)=0。农民购买一只羊羔的价格为c。在共同产权条件下，农民i的利润函数为：
　　Yi=gi*v(G)-c*gi，i=1,2,…,n
　　最优化的一阶条件是：Yi'=v(G)+gi*v'(G)-c,i=1,2,…,n
上述n个一阶条件联立，可以解出每个农民的最优放羊数量gi*。，从而纳什均衡的总饲养量G*。将n个一阶条件相加，可以得到：v(G*)+G*v'(G* )/n ＝c
　　而社会最优的目标是最大化社会总剩余价值：Gv(G)-Gc
　　最优化的一阶条件为：v(G* * )+G* * v'(G* * )＝c
　　由于[v(G)+Gv’(G)]’=2v’(G)+Gv’’(G)<0，因此v(G)+Gv’(G)是一个减函数。由v(G*)+G*v'(G* )/n ＝c两边同加上
(n-1)G*v'(G* )/n 可得
　　　　　v(G*)+G*v'(G* )=c+(n-1)G*v'(G* )/n＜c=v(G* * )+G* * v'(G* * )
　　可知G**<G*。从而社会最优放牧量小于各个农民个体最优放牧量的总和，从而《博弈论与信息经济学》得到结论说，公有草地被过度使用了，这就是公地悲剧。
　　（二）高鸿业《西方经济学》第11章的公地悲剧模型[2]
　　1.整体最优：用x表示公地上放牧的奶牛数量，每头奶牛每天可产奶1公斤。牛奶需求函数为P＝a－bx，其中a、b＞0为常数。于是奶牛的边际收益函数为MR＝a－2bx。
　　每只奶牛的所有成本为1000元，即边际成本MC＝1000。从而整个乡村的利润最大化产量满足MR＝MC，即a－2bx=1000，从而x**=(a－1000)/2b。
　　2.个体最优：设x1表示某个典型的村民拥有的奶牛数量，x2表示其余村民拥有的奶牛数量。需求函数P＝a－bx＝a－b(x1+x2)。
　　典型村民的私人收益TRp＝p·x1＝ax1－b(x1+x2)x1，于是其私人边际收益MRp＝TRp’
＝a－bx2－2bx1＝a－bx－bx1。边际私人成本与边际社会成本一样，也是1000元。故典型村民的私人利润最大化条件为：a－bx－bx1＝1000。
　　令x1=kx（0≤k≤1），代入上式，可得实际放牧量x*＝(a－1000)/(1+k)b。当k＝1时，即当典型村民拥有乡村的全部奶牛时，有x*=x**，这时候实际的放牧量将等于最优的放牧量。当0<k<1（0<x1<x、0<x2<x），即当典型村民拥有乡村的部分奶牛时，x*＞x**，这表示实际奶牛放牧量超过最优的放牧量。当k＝0时，即当典型村民拥有的奶牛数量相对于整个乡村的奶牛总量来说小到可以忽略不计时，x*=2x**。这表明，在极端情况下，村民的数量极多时，实际放牧量达到最大，为最优放牧量的2倍。

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