针对DSGE模型学习的建议性计划（原创）-经管之家官网！

我相信来这个版块里面的研究生没有不知道DSGE的，Dynamic stochastic general equilibrium，中文叫“动态随机一般均衡”。DSGE模型出现于Kyland and Prescott (1982)。这篇论文开创了real business cycle学派，属于第三次新古典发起的对凯恩斯主义的攻击。第一波和第二波分别是1968年的弗里德曼货币学派革命和1976年的理性预期革命。第三次的RBC革命基本上把整个旧凯恩斯主义葬送了。新凯恩斯学派实际上在1970s就产生了，但是跟随者并不多，新凯恩斯学派在80s和90s大量吸收RBC学派的内容，并且承接了DSGE建模的方式，90s年代中期形成了“新新古典综合”(New Neoclassical Synthesis)。這不是一单独的学派，而是指的两个学派的一种融合和吸收。因为这个学术运动是新凯恩斯学派推动的，所以有的学者也认为真正的新凯恩斯学派的产生是差不多在RBC革命的10年之后。这篇文章我主要不讨论这两个学派和他们的综合，这个要说的话就可以写成篇论文了。
我在这篇文章里面只提供一个DSGE模型的建设性路线，因为发现大多数同学都不知道如何入手，再加上学校开课不同，数学储备不同，起点也大不相同。这里我们只谈一些技术性的东西。
数学，数学，数学
我可以很负责地说，干经济学博士，拼的就是数学。真正厉害的经济学博士转物理和工程学专业都没有问题。但我意识不是说我们需要数学家来搞经济学，我意思是我们需要很懂数学的经济学家。经济学博士花三分之一的学习时间在数学上面完全是应该的。所以虽然我说这是介绍给入门的朋友，但是也是要求你至少都是硕士阶段数学学扎实了的。我下面会给出推荐书籍，同时给书籍的难度评级1-6。
1. 微分方程
微分方程是所有科学家的基本功，经济学毫不例外。我不知道大家学校是怎么开课的，我个人认为需要学习一阶二阶的微分方程和线性微分方程组。高阶的微分方程总是可以化成低阶，这个毫无问题。所以一二阶是基本功。线性微分方程组用大学本科的矩阵对角化分解一般就能解出来，我相信这个对经济学博士来说毫无难出。早期的很多宏观经济模型都是用微分方程来表达，因为分析求解非常方便，也不用数据，反正就是推导而已。虽然来说微分方程并不是差分方程基础，但是两个联系极其紧密的数学工具，你懂了一个，另外一个很快就能拿下。
推荐书籍：Differential Equations,2006, Polking, Boggess and Arnold
难度：2
2. 差分方程
现代宏观模型基本都是离散的，这就意味着工具是差分方程。差分方程的优势就在于和计算机的协调，因为计算机就是离散的数据处理工具，我们自然就发明了差分方程来替代微分方程。同时有个问题是，早期用变分法做优化，就需要微分方程（比如Euler equation就是一个二阶非线性微分方程），后来出现了动态规划，所以就大量开始使用差分方程。这个方面书籍并不多，但是学好下面我给出的两个reference，你就能看懂很多动态系统的东西了。
推荐书籍：Time series analysis, Chapter One, 1994, Hamilton. 难度：2
Fundamental Methods of Mathematical Economics, Chapters about difference equations. 难度：2
3. 动态优化 (Dynamic Optimisation)
动态优化领域里面有三个科目：变分法(Calculus of Variations)，优化控制论(Optimal control theory)，动态规划(Dynamic programming)。变分法最早产生于物理学的“最速下降线问题”，就是两个高度不同点之间，怎么连一根线让一个物体可以在引力的作用下最快地滑动到另一个点，假设真空无摩擦力的情况下。变分法这个体系非常容易懂，意思就是在每个点都优化，因为是个连续过程。后来变分法被优化控制论取代了，优化控制论在经济学里面还有一定的应用，主要用在一些宏观理论模型求解（其实都不是主流做法了）。动态规划是一个离散方法体系，是来自于工程学里面的，可以说是优化控制论的离散半分，但是深度和广度远远超过优化控制论。解DSGE模型的FOC，一般用动态规划效率高很多，当然你可以坚持只用拉格朗日乘数，但是动态规划效率更高特别是在模型复杂的时候。fe
推荐书籍：
Elements of dynamic optimization, 1999, Alpha Chiang
难度：2
Recursive Macroeconomic Theory, 2004, Ljungqvist and Sargent
难度：5
4. 动态系统 (Dynamic System)
先做一下科普。
动态系统分为线形动态系统（linear dynamic system）和非线性动态系统(nonlinear dynamic system)。先说一下非线形的，这个系统一般没法求出“显性解”(explicit solution)来的。最早非线性系统来自于庞加莱（1854-1912），用来计算天体运行的（三体问题），寻找非线性均衡path。庞加莱的名气在数学界里面名气差不多跟希尔伯特(Hilbert)相当，同时庞加莱又是浑沌系统(chaos system)的创始者，浑沌系统的民间版本叫做“蝴蝶效应”。最早的原始说法是：在巴西的一只蝴蝶煽动一下翅膀，两周之后会给美国的Texas州带来一场龙卷风。如果用数学语言来描述就是非线性系统（非线性微分方程组）对初始条件(initial conditions) 极度敏感，初始条件变化会导致系统的不可预测性。
然后是线形系统，这就比非线性的简单很多了，要解非线性微分方程组，正常做法就是线性化，一般是用Jacobian matrix来线性化。然后解法就多了，最出名还是待定系数法（undetermined coefficient methods），就是先猜想一个带着系数的解的式子（当然是个方程），然后带入模型把系数求出来，所以叫做待定的系数。还有其它的解法，比如矩阵的特征值分解法等。
在DSGE上面，我们用的是对数线性化。这里我们是说线性化，一般都是对数线性化，先提对数，然后Taylor expansion to the first degree。把整個模型在stead-state (模型均衡点)线性化，这个过程叫做Stationarising（平稳化）。因为线性化之后的模型只能在离均衡点不远的地方具有模拟性，离均衡点远了就毫无意义了。线性化之后的模型，要写成一种叫做Linear Rational Expectation（线性理性预期）的模型形狀。其实就是一个期望线形差分方程组。（也可以算是个随机差分方程组）。這個模型要求解后，才叫真正的解了DSGE模型。不管你使用手算，还是用Matlab。求出来的一组解，就是一组差分方程。这组差分方程用来描述整个动态系统的动力方向，你就把所有经济学变量想像成不同天体也行。这个解叫做saddle point solution。你在微积分分里面就见过“鞍部解”了，既不是最大值也不是最小值，但是个均衡值。比如你把一个球放在那个地方，球就不会动了，所以唯一的两股力就是向上支撑力和球的向下重力，形成了一个静态的均衡(static equilibrium)。但这个均衡非常脆弱，稍微碰一下就回不来了。这是一个saddle point solution的特例，叫做unstable saddle point solution。
我先定义一下saddle point solution的意思，处在高维度的一个点或者一条线是一个稳定（stable）的解，其他的点和线都是非稳定的(unstable)的，如何选到stable的解完全在于你如何挑选initial condition，这样的解叫做saddle point solution。另外两种解叫作：globally stable和globally unstable solution。意思就是你不管选什么initial condition都能会找到这个solution和不管选什么initial condition都没有solution。举一个例子，钟摆都见过吧，钟摆垂直向下的时候就是globally stable solution，这是个均衡状态，任何shock（你用手推一下钟摆就是shock）出现后，钟摆都会义无反顾地回到垂直向下的均衡点，不管你怎么给它选初始条件。钟摆垂直向上的时候，同样也是一个equilibrium，钟摆会垂直向上完全静止不动。但是必须是你初始条件就选到向上垂直，不然它不可能自己走过去。
回到LRE模型上面来，这无外乎就是让我们选一个initial condition，然后equilibrium law of motion (就是解出来的那一组差分方程组)描述了整个动力系统的运动方式。这个时候，你再加上一个单位向上random shock（比如technology shock），来看看整个模型的运动会受到什么影响，这个就叫做脉冲反映函数(impulse response function)。
好，回到最初的话题，LRE模型，求解方式多种多样，最著名的有Blanchard and Kahn, Klein, Sims, Uhlig，如果你觉得有必要，他们全部都要学，但是我强烈建议学习Blanchard and Kahn和Uhlig。自己完成推导。我专门有一个帖子是关于这个的:
https://bbs.pinggu.org/thread-1246135-1-1.html
推荐论文：在导师的帮助下直接读Blanchard-Kahn (1980)， Uhlig(1999)论文是最好的选择
难度：6
未完待续。。。