开枪决斗博弈3+3 答案已添加-经管之家官网！

坛友互助群

扫码加入各岗位、行业、专业交流群

甲乙两人决斗，相距100米，双方必须以1米/秒速度接近对方，每人有3发子弹，双方随时随地可以开多枪。没子弹了也必须接着走，每人中1枪死，击中概率是（100-距离）/100。双方以保命为第一位，其次才是杀死对方。
乙是一个先知者,能猜到甲的所有策略.而甲只是个普通人,不知道乙的策略.
请问甲的最优策略？

答案：
先假设双方都知道对方的策略，按博弈论的思想找到纳什均衡。

此题要从甲1发子弹对乙1发子弹的局面开始逆推，从1+1，1+2，2+2，1+3，2+3，到3+3。

1+1：

甲1发子弹，乙1发子弹。

当的击中概率（指击中对方概率，以下同）等于50%时，双方同时开枪。即当距离一旦小于50米，双方同时开枪。双方存活率都是0.5

（这步不解释了）

1+2：

甲1发子弹，乙2发子弹。

当甲先开枪未击中概率等于乙先开一枪后乙的存活率时，双方同时开枪。

设甲开枪时距初始位置X米。

（50-X）/50＝X/50+0.5×（50-X）/50

解得X=50/3

即，两人相距200/3米时，同时开枪。甲存活率1/3，乙存活率2/3。

注：

在甲距初始位置的距离小于50/3米时，若甲先开枪，其存活率小于1/3，使得乙的存活率大于2/3；若乙先开枪，其存活率小于2/3，使得甲的存活率大于1/3。因此双方都不会开枪。

在甲距初始位置的距离大于50/3米时，若甲先开枪，其存活率大于1/3，使得乙的存活率小于2/3；若乙先开枪，其存活率大于2/3，使得甲的存活率小于1/3。因此双方都想先于对方开枪。

当甲距初始位置的距离等于50/3米时，甲的存活率1/3，乙存活率2/3。双方同时开枪。

下面的等式思路类似，就不再加以说明了。

2+2：

分析：甲先开一枪后如果未中，就变成了1+2的局面，此时甲存活率1/3，乙存活率2/3。

甲先开枪的收益，必须要能弥补未击中后的损失。

设甲开第一枪时距初始位置Y米。

Y/50+1/3×（50-Y）/50＝1/2

解得Y=12.5

即，两人相距75米时，同时开一枪。双方存活率都是0.5。

1+3：

分析：乙先开枪后如果未中，就变成了1+2的局面。

当甲先开枪未击中概率等于乙先开一枪后乙的存活率时，双方同时开枪。

设甲开枪时距初始位置Z米。

（50-Z）/50＝Z/50+2/3×（50-Z）/50

解得Z=12.5

即，两人相距75米时，同时开一枪。甲存活率1/4，乙存活率3/4。

2+3：

分析：甲先开一枪后，变为1+3的局面。乙先开一枪后，变为2+2的局面。

当甲先开一枪后乙的存活率等于乙先开一枪后乙的存活率时，双方同时开枪。

设甲开第一枪时距初始位置M米。

3/4×（50-M）/50＝M/50+1/2×（50-M）/50

解得M=10

即，两人相距80米时，同时开一枪。甲存活率2/5，乙存活率3/5。

3+3：

分析：甲先开一枪后如果未中，就变成了2+3的局面，此时甲存活率2/5，乙存活率3/5。

甲先开枪的收益，必须要能弥补未击中后的损失。

设甲开第一枪时距初始位置N米。

N/50+2/5×（50-N）/50＝1/2

解得N=25/3

即，两人相距250/3米时，同时开一枪。双方存活率都是0.5。

以上整理如下：

局面 同时开枪时相距 生存概率

3+3 83.3333333米 1/2：1/2

2+3 80米 2/5：3/5

1+3 75米 1/4：3/4

2+2 75米 1/2：1/2

1+2 66.6666666米 1/3：2/3

1+1 50米 1/2：1/2

此题的纳什均衡是双方分别在83.3333333米、75米、50米同时开枪。

答案是:甲的最优策略是83.3333333米、75米、50米分别开一枪的策略。能保证有0.5的存活率，而甲的其他策略都吃亏。

扫码或添加微信号：坛友素质互助

「经管之家」APP：经管人学习、答疑、交友，就上经管之家！
免流量费下载资料----在经管之家app可以下载论坛上的所有资源，并且不额外收取下载高峰期的论坛币。
涵盖所有经管领域的优秀内容----覆盖经济、管理、金融投资、计量统计、数据分析、国贸、财会等专业的学习宝库，各类资料应有尽有。
来自五湖四海的经管达人----已经有上千万的经管人来到这里，你可以找到任何学科方向、有共同话题的朋友。
经管之家（原人大经济论坛），跨越高校的围墙，带你走进经管知识的新世界。
扫描下方二维码下载并注册APP