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一些中学不等式解法的思考

[摘要] 不等式是中学数学的重点、难点、也是中考、高考的热点之一，学生对这类题目常常难以驾驭。因此，有必要研究其思维的策略。

[关键词] 不等式 定义域 参数


不等式在中学数学中有着重要的地位，学生在解不等式的有关问题时，往往在理解知识、掌握技能和方法方面存在一些问题，下面就一些不等式的解法进行思考。
一、关于含参数不等式解法的思考。
1、先考虑定义域再变形
例1、已知a>0，a≠1,解不等式loga(4＋3x－x2)－loga(2x-1)> loga2
(1990年全国文科试题)

解：不等式的定义域是

原不等式可变形为loga(4＋3x－x2) > loga2 (2x-1)

当a>1时，不等式等价于


解之得解集为｛x/　<x<2｝

当0<a<1时，不等式等价于

解之，得解集为｛x/2<x<4｝
∴当a>1时，原不等式的解集是｛x/　　<x<2｝

当0<a<1时，原不等式的解集是｛x/2<x<4｝
此题如先变形成loga > loga2，再考虑定义域，则当a>1，0<a<1时，分别得等价组


（I） （II）


其中（I）的解集是｛x/ 　<x<2或x<-3｝

（II）的解集是{x/2<x<4或－3<x<－1}，
这是错误的，原因是把未知数的取值范围扩大了，由 >0 不仅得出：
4+3x－x2＞0 4+3x－x2＜0
； 还能得出： ，而后者是不适合的。
2x－1＞0 2x－1＜0
2、掌握依据、恰当分类
解参数不等式的关键是对参数进行分类讨论。掌握分类的依据，可使解题有章可循，有法可依。
例2、解不等式56x2＋ax－a2<0　(初等数学研究的282页例题)
分析：△＝a2－4×56×(－a2)=225a2≧0,方程56x2＋ax－a2＝0有两实根：
－和，其两根大小不确定，故应分a>0，a<0，a=0三种情况分类讨论得解，即：
(1)若a>0，则不等式的解集为{x/－<x<}
(1)若a<0，则不等式的解集为{ x / <x<－ }
(1)若a=0，则不等式无解。
如果问题含有两个或两个以上参数时，须根据讨论标准逐层分类讨论。
例３、解关于x的不等式ax >k·3x (a>0,且a≠1)
分析：化不等式为( )x　>k，显然有( )x　>0，对应k，a的不同范围依次进行讨论。
(１)若k≤0时，解为一切实数。
(２)若k＞0时，若a＞3时，解为x＞log k

若0＜a＜3时，解为x＜log k，若a＝3时，原式化为１x >k

当0＜k＜１时，解为一切实数。
当k≥1时，解为空集。
3、优化程序，减少讨论的层次。
优化解题程序或方法，常常可减少讨论层次，使解题化繁为简。
例４、解关于x的不等式：＞3－logax
分析：如果先对无理不等式讨论得到logax的范围，再对a进行讨论，过程较繁琐，而改变操作方法，往往可减少讨论的层次，使解题简洁明快。
解：化原不等式为（　　　　 ＋２）（　　　　　－1），很明显 +2＞０，由
－1＞０得logax＞2，故：
(1)a＞1时，解为x＞a2
(2)0＜a＜1时，解为0＜x＜a2
例５、解关于x的不等式 ＞x＋a
分析：本题若用纯代数方法分类讨论，头绪较多，难免挂一漏万，而以数形结合解之，则层次分明，直观易懂。
解：令y1＝　　　　　，知y1≥０，则y１２ ＝4x－x2　　y１２＋(x－2)２＝4
因为y１≥０所以y１２＋(x－2)２＝4表示的图象是以半径为２，
圆心在点(２，０)上的上半圆（如图所示），令y２＝x＋a，则y２
表示斜率为１的任一直线（如图），直线过原点时，知a＝０，当
直线和上半圆相切时则有y１=y２且直线y２中的参数a>0,
即： =x＋a，经整理变形为：2x2+（2a－4）x+a2=0
∵直线和上半圆相切，故判别式△=0

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