离散时间非零和停止对策

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英文标题：
《Non-zero-sum stopping games in discrete time》
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作者：
Zhou Zhou
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We consider two-player non-zero-sum stopping games in discrete time. Unlike Dynkin games, in our games the payoff of each player is revealed after both players stop. Moreover, each player can adjust her own stopping strategy according to the other player\'s action. In the first part of the paper, we consider the game where players act simultaneously at each stage. We show that there exists a Nash equilibrium in mixed stopping strategies. In the second part, we assume that one player has to act first at each stage. In this case, we show the existence of a Nash equilibrium in pure stopping strategies.
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中文摘要：
我们考虑离散时间的两人非零和停止对策。与Dynkin游戏不同，在我们的游戏中，每个玩家的回报都是在两个玩家停止后显示的。此外，每个玩家可以根据其他玩家的动作调整自己的停止策略。在本文的第一部分，我们考虑了玩家在每个阶段同时行动的游戏。我们证明了混合停止策略中存在纳什均衡。在第二部分中，我们假设每个阶段都必须有一个玩家先采取行动。在这种情况下，我们证明了纯停止策略中纳什均衡的存在性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Non-zero-sum_stopping_games_in_discrete_time.pdf (145.14 KB)

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关键词：离散时间 Mathematical Quantitative Optimization SIMULTANEOUS

离散时间的非零和停止对策。我们考虑离散时间的两人非零和停止对策。与Dynkingames不同的是，在我们的游戏中，每个玩家的报酬都会在两个玩家停止后显示出来。此外，每个玩家可以根据其他玩家的动作调整自己的停止策略。在本文的第一部分，我们考虑了玩家在每个阶段同时行动的游戏。我们证明了混合停止策略存在纳什均衡。在第二部分中，我们假设每个阶段都必须有一名玩家首先行动。在这种情况下，我们证明了纯停止策略的纳什均衡的存在性。1.导言作为一个经典的停止博弈模型，Dynkin博弈吸引了大量的研究。我们参考[3-17]及其参考文献。在Dynkin游戏中，每个玩家都选择一种停止策略，当一个玩家停止时，回报就会显示出来。换句话说，游戏以最小的停止策略结束。在实践中，更常见的情况是，即使一个玩家先做出了决定，她的回报仍然会受到其他玩家后来的决定的影响。因此，让游戏以停止策略的最大值结束是更合理的。此外，聪明的p层应该在观察其他玩家的行为后调整策略。基于这两点，最近[1,2,18]研究了具有这些特征的停止游戏。特别地，[1,2]考虑零和情况，[1]研究连续时间内的非零和情况。本文给出了一个过滤概率空间(Ohm, F、 （F）t=0，T、 P），我们考虑离散时间的非零停止博弈Ui（ρ，τ）=E[Ui（ρ，τ）]，i=1,2，其中第一个（或第二个）玩家选择ρ（或τ）来最大化支付（或τ）。这里的ui（s，t）是Fs∨t-可测量而不是Fs∧t-游戏中Dynk中假设的可测量。

也就是说，博弈在ρ和τ的最大值处进行。此外，这里ρ和τ不是（随机的）停止时间，它们是可以相互调整的策略。在本文的第一部分，我们考虑了两个参与者在每个阶段同时行动的情况（这里“停止”和“不停止”都是行动）。我们证明了混合停止策略中存在一个完美纳什均衡。证明结果的主要思想是将原问题转化为具有随机停止时间的非零和Dynkin对策。在论文的第二部分，我们考虑了一个玩家在每个阶段首先行动的游戏。在这种情况下，我们发现在纯停止策略中总是存在一个完美的纳什均衡。日期：2015年8月23日。关键词和短语。非零和，停止博弈，纳什均衡。我们用[18]中的想法来证明这个结果。也就是说，我们首先为一些相关的零和停止博弈构造鞍点，然后利用这些鞍点为非零和博弈构造纳什均衡。本文将[18]中的结果推广到离散时间情形。它有着广泛的应用，例如，当公司选择进入市场的时间，或者当投资者选择多头和空头美式期权的时间来行使期权时。论文的结构如下。在下一节中，我们考虑两个参与者在每个阶段同时行动的非零和停止博弈。在第3节中，我们研究了一个参与者在每个阶段首先行动的情况。在第4节中，我们将本文中的离散时间结果与[18]中的连续时间结果进行了比较。停止博弈，其中玩家在每个阶段同时行动在这一部分中，我们考虑玩家在每个阶段同时行动的非零和停止博弈。我们将考虑在游戏中使用混合的停止策略。

定理2.5是本节的主要结果。让(Ohm, F、 （Ft）t=0，T、 P）以经过过滤的速度，其中Ohm 是可数生成的∈ N是有限的时间范围。设T为{0，…，T}中取值的停止时间集。对于任何σ∈ T，设Tσ：={ρ∈ T，ρ≥ τ} ，和Tσ+：={ρ∈ T，ρ≥ (τ + 1) ∧ T}。定义：={φ：{0，…，T}Ohm 7.→ {0，…，T}：φ（T，·）∈ Tt+，t=0，T}。设tr为随机停止时间集。也就是说，对于任何α∈ Tr，α：[0，1]×Ohm 7.→ {0，…，T}是B（[0，1]） F-可测，和α（p，·）∈ T代表任何p∈ [0, 1].定义2.1。（ρ，ρ）被称为a型（纯）停止策略，如果ρ∈ T和ρ∈ 助教。将Ta表示为A型（纯）停止策略集。对于（ρ，ρ）∈ Ta，ρ代表一个玩家的初始（pu-re）停止策略，ρ（t，·）代表玩家在时间t观察到另一个玩家停止后调整的策略。对于ρ=（ρ，ρ），τ=（τ，τ）∈ Ta，表示ρ[τ]：=ρ{ρ≤τ}+ ρ(τ)1{ρ>τ}.定义2.2。（α，ρ）被称为a型混合停车策略，如果α∈ Trandρ∈ 助教。表示A型混合停车策略集。备注2.3。你也可以随机选择Ti中的策略。然而，事实证明，我们只需要随机分配玩家的初始停止时间（即（ρ，ρ）的第一个分量）∈ Ta），以获得下面介绍的停止博弈的纳什均衡的存在性。对于i=1，2，让Ui:{0，…，T}×{0，…，T}×Ohm 7.→ R、 使得Ui（s，t，·）是Fs∨t-可测量。为了简单起见，我们假设i=1,2时uis是有界的。

考虑非零和停止gameui（ρ，τ）=Z[0,1]Γi（ρ（p，·），τ（q，·））dpdq，ρ，τ∈ Tar，i=1,2，（2.1），其中i=1,2和ζ=（ζ，ζ），η=（η，η）∈ Ta，Γi（ζ，η）=EUi（ζ[η]，η[ζ]）= EUi（ζ，η（ζ））1{ζ<η}+Ui（ζ（η），η）1{ζ>η}+Ui（ζ，ζ）1ζ=η}.这里，第一个参与者选择ρ来最大化u，第二个p层选择τ来最大化u。回想一下纳什均衡的定义。定义2.4。(ρ*, τ*) ∈ （Tar）被称为游戏（2.1）中的纳什均衡库，如果对于任何ρ，τ∈ 焦油，u（ρ，τ）*) ≤ u（ρ）*, τ*) 和u（ρ*, τ) ≤ u（ρ）*, τ*).以下是本节的主要结果。定理2.5。对于博弈（2.1），存在一个纳什均衡。备注2.6。我们不能保证博弈（2.1）存在纳什均衡，如果玩家只使用a型纯停止策略（即Ta）。考虑下面的确定论单周期例子。设T=1，u（s，T）=-u（s，t）=1{s=t}表示s，t=0，1。然后很容易看到Ta={0，1}。显然，Ta中没有（2.1）的纳什均衡库。定理2.5的证明。对于t=0，T，letYt:=ess supσ∈Tt+Et[U（σ，t）]和Xt:=ess supσ∈Tt+Et[U（t，σ）]，其中Eθ[·]：=E[·| Fθ]表示θ∈ T对于t=0，T，让ρ*（t，·）∈ Tt+和τ*（t，·）∈ Tt+be优化器分别用于YT和XT。即Et[U（ρ*（t） ，t）]=yt和Et[U（t，τ*（t） ）]=Xt，a.s。。显然ρ*(·, ·), τ*(·, ·) ∈ 助教。对于t=0，T，定义：=Et[U（T，τ）*（t） ）]，Yt:=Et[U（ρ*（t） 和Zit=Ui（t，t），i=1,2。现在考虑随机停止时间为ui（α，β）=Z[0,1]的非零和Dynkin博弈EXiα{α<β}+Yiβ{α>β}+Ziα{α=β}对于α，β，dpdq，i=1,2，（2.2）∈ Tr.根据[5，定理2.1]，存在纳什均衡（α*, β*) ∈ （Tr）对于Dynkingame（2.2）。也就是说，对于任何α，β∈ Tr，~u（α，β）*) ≤ ~u（α）*, β*) 和u（α）*, β) ≤ ~u（α）*, β*). （2.3）设ρ*m:=（α）*, ρ*) 和τ*m:=（β）*, τ*).

现在让我们把th表示为（ρ）*m、 τ*m）∈ （Tar）是博弈的纳什均衡（2.1）。取ρ=（α，ρ）∈ 焦油我们有u（ρ，τ）*m） =Z[0,1]EU（α，τ）*(α))1{α<β*}+ U（ρ（β）*), β*)1{α>β*}+ Ui（α，α）1{α=β*}dpdq=Z[0,1]EEα[U（α，τ）*(α))]1{α<β*}+ Eβ*[U（ρ（β）]*), β*)]1{α>β*}+ Ui（α，α）1{α=β*}dpdq≤Z[0,1]EXα{α<β*}+ Yβ*{α>β*}+ Zα{α=β*}dpdq≤Z[0,1]EXα*{α*<β*}+ Yβ*{α*>β*}+ Zα*{α*=β*}dpdq=Z[0,1]EU（α）*, τ*(α))1{α*<β*}+ U（ρ）*(β*), β*)1{α*>β*}+ Ui（α）*, α*)1{α*=β*}dpdq=u（ρ*m、 τ*m） ，我们用（2.3）表示第四个等式。类似地，我们可以证明对于任何τ∈ 焦油，u（ρ*m、 τ）≤ u（ρ）*m、 τ*m） 。这就完成了结果的证明。3.停止游戏，其中一名玩家在每个阶段先行动在本节中，我们考虑停止游戏，其中一名玩家在每个阶段先行动。我们证明了在纯s-topping策略中总是存在一个纳什均衡。定理3.3是本节的主要结果。LetTb:={ψ：{0，…，T}Ohm 7.→ {0，…，T}：ψ（T，·）∈ Tt}。这里ψ∈ tb代表一个玩家（玩家2）在另一个玩家（玩家1）停止时调整的策略广告。换句话说，玩家1在每个阶段都会首先行动。（与TBTA比较。）定义3.1。如果τ∈ T和τ∈ 肺结核。表示TBA为类型B的（纯）停止策略集。对于任何ρ=（ρ，ρ）∈ Ta，τ=（τ，τ）∈ Tb，ρhτi:=ρ{ρ≤τ} +ρ（τ）1{ρ>τ}和τhρi:=τ{τ<ρ}+τ（ρ）1{τ≥ρ}.考虑非零和停止gamewi（ρ，τ）：=EUi（ρhτi，τhρi）= EUi（ρ，τ（ρ））1{ρ≤τ} +Ui（ρ（τ），τ）1{ρ>τ}, （3.1）对于ρ=（ρ，ρ）∈ Ta，τ=（τ，τ）∈ tb和i=1,2。定义3.2。(ρ*, τ*) ∈ Ta×Tbis被认为是游戏（3.1）的纳什均衡，如果有ρ的话∈ Ta和τ∈ Tb，w（ρ，τ）*) ≤ w（ρ）*, τ*) 和w（ρ）*, τ) ≤ w（ρ）*, τ*).以下是本节的主要结果。定理3.3。博弈存在纳什均衡（3.1）。我们将使用[18]中的思想来证明定理3.3。

更具体地说，我们将使用一些零和停止博弈的sadd点来构造非零和博弈的纳什均衡（3.1）。我们将在第3.1节中首先提供零和情况下的一些结果。然后，我们在第3.2.3.1节中给出了第3.3条。零和情况。我们考虑零和情况下的停止博弈，即当U=- 我们将为零和博弈构造一个鞍点。（本节中的结果基本上在[2]中提供。为了本文的完整性，我们提供了这些结果。）对于任何σ∈ T，考虑零和停止对策vσ：=ess supρ∈Taσess-infτ∈TbσEσ[U（ρhτi，τhρi）]，（3.2）和vσ：=ess infτ∈Tbσess supρ∈TaσEσ[U（ρhτi，τhρi）]，（3.3），其中Taσ：={（ρ，ρ）∈ Ta:ρ≥ σ} Tbσ：={（ρ，ρ）∈ Tb:ρ≥ σ}.对于t=0，T，letFt:=ess infξ∈TtEt[U（t，ξ）]和Gt:=ess supξ∈Tt+Et[U（ξ，t）]！∨ Ft和|ρ（t，·）∈ Tt+和∧τ（t，·）∈ 不要成为ess supξ的优化器∈Tt+Et[U（ξ，t）]和ftt分别为。SinceF≤ G、 我们有vσ：=ess supρ∈Tσ∈TσEσFρ{ρ≤τ} +Gτ{ρ>τ}= ess infτ∈Tσess supρ∈TσEσFρ{ρ≤τ} +Gτ{ρ>τ}, （3.4）和（ρσ，τσ）是Dynkin对策（3.4）的鞍点，其中ρσ：=inf{t≥ σ：vt=Ft}和τσ：=inf{t≥ σ：vt=Gt}。也就是说，对于任何ρ，τ∈ Tσ，EσFρ{ρ≤τσ}+Gτσ{ρ>τσ}≤ EσFρσ{ρσ≤τσ}+Gτσ{ρσ>τσ}≤ EσFρσ{ρσ≤τ}+Gτ{ρσ>τ}.让ρ*σ:= (ρσ, ~ρ) ∈ Ta和τ*σ:= (τσ, ~τ) ∈ 肺结核。提议3.4。我们有vσ=vσ=vσ。此外，（ρ*σ, τ*σ） 是游戏的鞍点（3.2）和（3.3）。证据取τ=（τ，τ）∈ 肺结核。

我们有σ[U（ρ*σhτi，τhρ*σi）=EσU（ρσ，τ（ρσ））1{ρσ≤τ} +U（∧ρ（τ），τ）1{ρσ>τ}= EσEρσ[U（ρσ，τ（ρσ））]1{ρσ≤τ} +Eτ[U（∧ρ（τ），τ）]1{ρσ>τ}≥ EσFρσ{ρσ≤τ} +Gτ{ρσ>τ}≥ EσFρσ{ρσ≤τσ}+Gτσ{ρσ>τσ}= EσU（ρσ，τ（ρσ））1{ρσ≤τσ}+U（∧ρ（τσ），τσ）1{ρσ>τσ}= Eσ[U（ρ*σhτ*σi，τ*σhρ*σi）]，其中对于第三个和第六个（in）等式，我们使用在{t<ρσ}上，Gt≥ vt>Ft，而我们Gt=ess supξ∈Tt+Et[U（ξ，t）]=Et[U（△ρ（t），t）]。类似地，我们可以证明对于任何ρ∈ Ta，Eσ[U（ρhτ）*σi，τ*σhρi）]≤ Eσ[U（ρ*σhτ*σi，τ*σhρ*σi）。这就完成了结果的证明。3.2. 定理3.3的证明。我们将利用一些相关的零和停止博弈的s点来构造非零和博弈（3.1）的纳什均衡。对于t=0，T，letFt:=ess infξ∈TtEt[U（t，ξ）]和Gt:=ess supξ∈Tt+Et[U（ξ，t）]！∨ Ft，Ft:=ess supξ∈TtEt[U（t，ξ）]和Gt：=ess infξ∈Tt+Et[U（ξ，t）]∧ Ft和vt:=ess infτ∈TTES supρ∈塔特Ft{ρ≤τ} +Gt{ρ>τ}= ess supρ∈TTESinfτ∈塔特Ft{ρ≤τ} +Gt{ρ>τ}, （3.5）vt:=ess supτ∈TTES infρ∈塔特Ft{ρ≤τ} +Gt{ρ>τ}= ess infρ∈TTESsupτ∈塔特Ft{ρ≤τ} +Gt{ρ>τ}. （3.6）设)τ（t），)ρ（t），)τ（t），)ρ（t）为Ft，ess supξ的优化器∈Tt+Et[U（ξ，t）]，Ft，ess-infξ∈Tt+Et[U（ξ，t）]。对于t=0，T和u：=inf{T≥ 0:vt≤ Ht}和u：=inf{t≥ 0:vt≤ Ht∧ Ft}，ρu：=inf{t≥ u：vt=Ft}和τu：=inf{t≥ u：vt=Gt}。（3.7）定义ρ*=u，如果u≤ u，ρu，如果u>u，ρ*（t）=ρ（t），如果t≥ u+1和u>u，ρ（t），否则，τ*=τu，如果u≤ u，u，如果u>u，τ*（t）=如果t≥ u+1和u≤ u，τ（t），否则，对于t=0，T和ρ*:= (ρ*, ρ*) 和τ*:= (τ*, τ*).可以看出ρ*∈ Ta和τ*∈ 肺结核。提案3.5。(ρ*, τ*) 是博弈的纳什均衡（3.1）。因此，定理3.3成立。证据第一部分：我们将证明w（ρ，τ）*) ≤ w（ρ）*, τ*) （3.8）对于任何ρ∈ 助教。作为F≤ H、 u≤ ρ：=inf{t≥ 0:vt=Ft}。

（3.9）因此，在{t<u}上，我们有Gt≥ vt>Ft，因此Gt=ess supξ∈Tt+Et[U（ξ，t）]=Et[U（△ρ（t），t）]。Thenw（ρ）*, τ*) = EU（u，τ（u））1{u≤u}+U（∧ρ（u），u）1{u>u}= EhHu{u≤u}+Gu{u>u}i.现在取ρ=（ρ，ρ）∈ Ta，考虑w（ρ，τ*). 我们将考虑四个案例。案例1.1:A:={ρ<u∧ u}. 自从≤ ρ乘以（3.9），过程（vt∧u）t=0，这是阿苏布鞅。ThenEU（ρhτ）*i、 τ*hρi）1A= EU（ρ，τ（ρ））1A= EHρA≤ EvρA= 超高压ρ∧u∧uAi≤ EhEρ∧u∧uhvu∧uiAi=Ehvu{u≤u}+vu{u>u}艾岛≤ 嗯Hu{u≤u}+Gu{u>u}人工智能。案例1.2:A:={ρ=u∧ u}. 我们有U（ρhτ）*i、 τ*hρi）1A= EU（ρ，τ（ρ））1A= EHρA= 嗯Hu{u≤u}+Hu{u>u}艾岛≤ 嗯Hu{u≤u}+vu{u>u}艾岛≤ 嗯Hu{u≤u}+Gu{u>u}人工智能。案例1.3:A:={ρ>u∧ u} ∩ {u≤ u}. 让^τ*:= (τu, ~τ) ∈ 肺结核。我们有U（ρhτ）*i、 τ*hρi）1A= EU（ρh^τ）*i、 ^τ*hρi）1A= EEuU（ρh^τ）*i、 ^τ*hρi）A.≤ EhvuAi≤ EhHuAi=EhHu{u≤u}+Gu{u>u}人工智能。案例1.4:A:={ρ>u∧ u} ∩ {u> u}.EU（ρhτ）*i、 τ*hρi）1A= EU（ρ（u），u）1A≤ EhGuAi=EhHu{u≤u}+Gu{u>u}人工智能。在案例1.1-1.4中，我们有（3.10）个搁置。第2部分：我们将展示w（ρ*, τ) ≤ w（ρ）*, τ*) （3.10）对于任何τ∈ 肺结核。我们有w（ρ）*, τ*) = EU（u，τ（u））1{u≤u}+U（∧ρ（u），u）1{u>u}= 流行性出血热u{u≤u}+Hu{u>u}i.取τ=（τ，τ）∈ 考虑w（ρ）*, τ). 我们将考虑五个案例。案例2.1:B:={τ<u∧u}. 关于{t<u}，Ft≥ vt>Ht∧Ft，因此vt>Ht∧Ft=Ht。此外，由于H∧ F≥ G、 u≤ 在f{t≥ 0:vt=Gt}。因此，过程（vt∧u）t=0，这是次鞅。然后按照案例1.1中的论点，我们可以证明U（ρ）*hτi，τhρ*i） 1B≤ 嗯Fu{u≤u}+Hu{u>u}毕。案例2.2:B:={τ=u∧ u} ∩ {u> u} ∩ {ρu= u}. 我们有U（ρ）*hτi，τhρ*i） 1B= EU（u，τ（u））1B≤ EhFuBi=EhvuBi≤ EhHuBi=EhFu{u≤u}+Hu{u>u}Bi，其中第三（in）个等式源自（3.7）中ρu的定义。案例2.3:B:={τ=u∧ u} \\ ({u> u} ∩ {ρu= u}). 我们有U（ρ）*hτi，τhρ*i） 1B= EU（u，τ（u））1{u≤u}+U（∧ρ（u），u）1{u>u}B≤ 嗯Fu{u≤u}+Hu{u>u}毕。案例2.4:B:={τ>u∧ u} ∩ {u≤ u}.

根据案例1.4中的论证，我们可以证明U（ρ）*hτi，τhρ*i） 1B≤ 嗯Fu{u≤u}+Hu{u>u}毕。案例2.5:B:={τ>u∧ u} ∩ {u> u}. 按照案例1.3中的论点，我们可以证明U（ρ）*hτi，τhρ*i） 1B≤ 嗯Fu{u≤u}+Hu{u>u}毕。从案例2.1到2.5，我们有（3.10）个搁置。4.与本文[18]中的结果相比，关于纯策略中纳什均衡的存在性，它会导致不同的结果，即参与者是否在每个阶段同时行动。可以预期，在连续时间内，只要我们对相关过程有足够的规律性，我们就会对停止博弈存在（-）纳什均衡，其中一个参与者每次首先行动。与离散时间的情况不同，如果我们对Uiin（s，t）施加一些（正确的）连续性假设，那么玩家是否同时行动不会有太大差异。事实上，在[18]中，通过假设Uiin（s，t）的连续性，我们证明了在停止博弈的不连续时间内，对于任何>0的纯策略中存在一个-纳什均衡，其中玩家在每个时间同时行动。参考文献[1]E.Bayraktar和Z.Zh-ou，关于连续时间停止游戏，ArXiv E-prints，（2014年）。出现在《美国数学学会会刊》上。[2] E.Bayraktar and d Z.Zhou，《关于零和最优停止博弈》（2014）。预印本，arX iv:1408.3692。[3] J.-M.Bisit，位于德因金河畔，Z.Wahrscheinlichkeitsforerie and Verw。格比特，39（1977），第31-53页。[4] E.B.Dynkin，最优停车问题的博弈论版本，Dokl。阿卡德。Nauk SSSR，185（1969），第16-19页。[5] E.Z.Ferenstein，关于随机停止博弈，动态博弈的进展，Ann第7卷。内特。Soc。迪纳姆。《伯赫奥瑟波士顿奥运会》，马萨诸塞州波士顿，2005年，第223-233页。[6] S.Hamad`ene，混合零和随机微分博弈和美式博弈期权，暹罗J。