企业网络中的失衡动态与过度波动

鉴于在我们的框架内可能发生的现象的多样性，我们非常确信该模型足够灵活，可以解释许多实证事实。然而，在当前的“大数据”时代，该模型的一些扩展可能值得研究——每个扩展都会带来一个或多个需要校准的新参数。特别是，我们的一些行为假设可能显得过于原始，可以在以后进行充实，正如我们在第四节C中所讨论的那样。我们认为，最重要的概括将是在模型中明确包括竞争、债务、利率和破产。尤其是，在新的竞争性企业诞生后或破产企业被撤销后，网络“重新布线”的方式，以及可能出现的连锁违约，显然是企业网络模型在理解商业周期和经济危机时最有趣的方面之一。事实上，这些cascadingbankreption正是研究网络模型的动机，但本文不会直接讨论它们。Mandel等人（2015）报告了一个类似的现象学，其中指出，根据金融约束的严格程度，模型可以在两个非常不同的制度中解决：一个以平衡为特征，另一个以不平衡和金融脆弱性为特征。本文组织如下。在第二节中，我们为企业网络模型搭建了舞台，并提出了适合我们目的的竞争均衡定义。第三节介绍了一个简单的启发式交互企业失衡动力学模型。我们表明，达到均衡可能需要一段有限的时间（因此危及绝热假设），并且当经济接近不稳定时，动力学表现出过度波动。

在第四节中，我们对第三节的模型进行了完全一致的扩展，其中包含了被忽略的自然约束，如因果关系或短缺。我们在第五节中提出了一个关于这个扩展的数值研究，在这里我们强调并讨论了除了竞争均衡之外，其他有趣的动态机制的存在。我们还提供了几个完整的技术附录。在附录A中，我们详细介绍了在最一般的生产函数设置下竞争平衡方程的推导。附录B显示了朴素模型的松弛时间计算，该模型依赖于附录C，附录C汇编了关于稳定性矩阵的必要中间结果。在附录D中，我们证明了一个略微稳定的线性随机系统会产生过度的波动性，我们将这一结果应用于III的朴素模型的一般情况。在附录E中，我们提供了我们模型在现实网络上的动态时间序列。最后，在附录F中，我们提供了一个伪代码，用于模拟第四节中完全一致的方法。代码本身可用：https://yakari.polytechnique.fr/dash.II.处于竞争均衡的企业网络。根据Acemoglu等人（2012年）、Bonart等人（2014年）、Long和Plosser（1983年）以及Carvalho和Tahbaz Salehi（2019年）的描述，我们将经济建模为由相互作用的N家企业以及提供劳动力和消费品的单一代表性家庭组成。经济用“技术网络”来描述，即每个节点i=1，N表示企业，其中链接j→ 我知道如果我用j生产的产品来生产自己的产品。

标记为i=0的节点通常代表家庭。图j中的每条边→ i带有一个“权重”，它是构成i单位所需的j商品数量的度量。生产函数给出i生产的商品数量，作为投入商品和劳动力（本阶段无资本）的函数，以及企业zi固有的、可能与时间相关的生产率（即其将给定数量的投入转化为产出的效率）。我们将标准的CES生产函数Arrow等人（1961）推广为：yi=ziγi，γi：=ai0`iJi0-1/q+NXj=1aij西吉吉-1/q-bq，（II.1），其中xijis是i，Jij可获得的良好j（或劳动力xi0:=`iif j=0）的数量≥ 0和aij≥ 0链接变量，用于衡量良好j在i生产中的重要性，以及我们定义的i生产水平。请注意，尽管对于q的所有值∈]0, ∞[，JIJ可以被纳入aij，当q=0（Leontief）和q=∞ （科布·道格拉斯），见下文。参数b设定了规模回报率：如果所有输入和工作时间乘以系数λ，则总输出乘以λb。参数q测量输入的可替代性。例如，当q→ 0+我们得到了Leontief productionfunction，对应于如果缺少一个输入，产量将降至零的情况：yi=zi闵`iJi0，明杰西吉吉b、 其中Jijis是指我需要达到等于zi的生产水平的良好j的数量。

Leontief生产函数对应的经济体中，企业只保留一小部分非常优化的供应商组合，不允许冗余。标准的CES函数对应于所有Jijset to unity。将aijare标准化，使Pnj=1aij+ai0=1，i、 如果q→ +∞, 我们得到了柯布-道格拉斯生产函数yi=zi`iJi0ai0NYj=1西吉吉哎呀b、 有一定的可替代性。事实上，将输入k的数量减半可以通过将“2aik/ai”的输入乘以2aik/ai来补偿，其中AIJ描述了i生产中商品之间的可替代性。尽管我们的动态模型适用于任何生产函数，并且不限于上述CES系列，为了简单起见，我们将使用Leontief productionfunction的特例来说明我们的一般论点，该函数具有恒定的规模回报率（b=1），因为平衡条件可以显式求解。然而，该模型的一般现象并不依赖于这种特定的选择，而是适用于广泛的生产函数族。B.价格和生产的竞争均衡条件鉴于商品价格和工资p，利润πi可以写成πi=NXj=0xjipi-NXj=0xijpj≡ Gi-NXj=0xijpj，（II.2）其中Gidenotes表示未来销售的总收益（“收益”），xi0:=`i为住户提供的工作时间，x0i:=ci为住户对商品i的消费。henceGi说，现在，这一阶段的教科书协议是，假设市场会清仓，企业将利润最大化，这样所有生产的产品都会被出售≡ 伊皮。（II.3）利用生产函数（II.1），企业i的利润最大化将导致投入商品的最优数量xij和最优产量ziγi。

请注意，当b=1时，相应的解决方案会导致零不平衡的结果，但当b<1时，它们是严格正的，在这种情况下对应于不完全竞争。按照本文的逻辑，我们采取了另一种立场，从两个方面背离了均衡的标准定义：1。由于我们不假设市场在每个时间步都是透明的，企业只能计算达到某个生产目标所需的最佳投入量Bxij，即i:=zibγi。由于企业事先不知道他们能销售多少产品（以及他们能赚多少），他们唯一能采取行动的杠杆是他们试图最小化的成本条件。然后通过动态调整过程获得bγI的最佳值，见下文。2.我们假设我们的企业网络是有竞争力的，因为有足够多的企业销售类似的商品，从而在均衡时将利润降到零。（对这种竞争过程的明确描述需要引入一个依赖时间的网络，在该网络中，企业重新连接到更便宜的供应商。然而，这超出了本研究的范围，本研究假设这一过程已经发生了）。1。第一步：成本最小化投入更明确地说，成本最小化的投入量是这样的=arg minxijPNj=0xijpjsubject toPNj=0aij西吉吉-1/q-在CES框架内，这导致：bxik=aqζikJζikXjaqζijJζijpjpkζqbγ1/bi，（II.5）ζ=（1+q）-1.在b=1的Leontief案例中，这归结为tobxik=Jikbγi，（II.6），相当于购买不超过达到目标所需的最低金额。2.第2步：市场清算和竞争价格我们然后通过假设完全竞争，即所有公司的πi=0（第2步）和完全市场清算来获得价格和产品。

最后一个条件可以写成asyeq，i=Ceq，i+Xjxeq，ji，（II.7），其中ci是家庭对商品i的需求。除非规模回归是恒定的（b=1），否则上述两步程序不等同于标准利润最大化，即从一开始就假设市场清算，这允许企业提前知道其收益，并将其纳入优化计划。3.Leontief案例对于b=1的Leontief生产函数，得到的方程是线性的，与经典平衡方程相同，当市场清淡时，经典平衡方程的利润自然为零。它们读作：M peq=V（II.8a）M>γeq=κpeq，（II.8b），其中M是定义为Mij=ziδij的矩阵-Jij（其中δij是Kronecker符号δij=1表示i=j，否则为0），Vi:=pji0是企业i的劳动力需求，κ是描述最终需求的正向量。6,7对于更一般的生产函数，方程也可以写下来——见附录A——但我们在本文中将不再进一步考虑它们。重要特征是：o对于EQ。（II.8a，II.8b）要获得价格和产量的非负解，M必须是所谓的DM矩阵，如Fiedler等人（1962）、Hawkins和Simon（1949）以及在productionnetworks背景下的Moran和Bouchaud（2019）所示。由于其特殊形状，对角线上有非负项，反对角线上有负项，这相当于具有非负实部的M的光谱。对于给定的一组投入产出系数Jij，这就要求企业的生产率必须足够大，否则在所有企业都存在的情况下，就不存在可接受的均衡对于q<+∞ 在CES生产函数中，必须满足一些类似条件才能存在容许平衡，见Moran和Bouchaud（2019）当q=+∞ （即。

在柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）案例中，平衡方程的正解始终存在，与生产率或网络系数无关（见附录A），Acemogluet al.（2012）的文章就是这样。式（II.8b）中的矢量除法被理解为分量除法。κ/PEQI指通过效用最大化获得的家庭均衡消费，见下文。为了在同样的生产率水平下重新出现可接受的均衡，必须将一些企业从网络和幸存企业的生产函数中移除。一般生产函数和网络拓扑可能不存在静态解，这促使我们超越平衡，建立在这种情况下仍然有意义的动力学方程。但是，即使存在可接受的均衡的观点，经济也绝不是自动能够通过自己的方式达到均衡的。即使是这样，对非绝热情况的描述，也需要一致的动力学方程，即技术和生产力在比达到平衡所需时间更短的时间内发展的情况。有趣的是，当经济接近不稳定时，例如在Leontief情况下，当M的最小特征值趋于零时，达到平衡所需的时间将非常大。这不仅使绝热假设变得毫无意义，而且正如我们将看到的那样，迫使建模者特别小心地处理动力学效应。三、 在本节中，我们首先介绍了最简单的动态模型，旨在描述网络经济中的失衡效应（暂时或永久）。我们将假设的方程式是基于合理的“通俗法则”，企业决策者可能会在现实生活中使用这些法则，见Gigerenzer等人。

卡尼曼和特沃斯基（1973），特沃斯基和卡尼曼（1974）。在寻找这种简化形式的动力学方程时，我们从物理学家所说的“现象学方法”中获得灵感，这种方法基于对称性、合理性和维度论证。这样的论点避免了在理性的外衣被抛弃后，迷失在可能的模型的“荒野”——用西姆斯的话说。A.恢复平衡的力量——在前一节中定义的经济平衡中，利润为零，市场清晰，失衡的情况重复地意味着非零利润和/或过剩的供给或需求。因此，我们自然地为每家企业引入了两个衡量均衡距离的指标：Ei（t）是时间t的超额生产（如果Ei（t）<0，则解释为未满足的需求），以及πi（t）是企业时间t的瞬时利润或损失。然后，价格和生产必须通过某种调整过程进行调整，以减少这些失衡：o面对超额生产，企业将降低价格以支撑需求，和/或减少生产以减少损失另一方面，面对过度需求，企业可以考虑提高价格和/或增加产量同样，当利润为正时，企业可能会增加产量，但同时，被利润前景所吸引的竞争会给价格带来压力如果利润为负，企业将试图通过降低产量和提高价格来适应，以期更好地补偿生产成本。所有这些规则都是常识，很难说它们在理性主体有限的现实经济中不起关键作用。然而，更具争议的是如何对它们进行定量建模。在这项工作中，我们进一步假设恢复力在Ei（t），πi（t）中都是线性的，至少当这些不平衡足够小的时候。

如果仅因尺寸原因，决定价格和生产相对变化的所有数量必须是相对的、无尺寸的数量，即Ei（t）与总生产yi（t）和πi（t）与总销售yi（t）pi（t）的比率。因此，我们假设价格和产量的调整规则如下：π（t+δt）π（t）=-αEi（t）yi（t）- απi（t）pi（t）yi（t）δt（III.1a）测井曲线yi（t+δt）yi（t）=βπi（t）pi（t）yi（t）- βEi（t）yi（t）δt，（III.1b），其中δt是一个基本的时间步，参数α，α，β，β表征了不平衡情况下的调整速度。从我们上面的一般观点来看，我们预计所有这些参数都是非负的，即固定政策和市场力量往往会抑制失衡。这些措施是否有助于将整个经济稳定在前一节所述的经典均衡附近，这是本研究的重点。这些参数可能取决于企业i，一些企业在调整政策中选择比其他企业更积极。在目前的工作中，我们将坚持α、α、β、β的时间独立和固定独立值。等式的简单规则。（III.1a、III.1b）在精神上与几个基于良好研究的模型中使用的非常相似——见Delli Gatti等人（2008年），Gualdi等人（2015b）。请注意，α>0反映了我们的假设，即竞争在经济中起作用，当利润为正时，会压低价格。虽然零利润和市场清算显然意味着来自等式。（III.1a，III.1b）价格和产量是时不变的，反之则更微妙。假设确实存在数量p？i、 是吗？i、 E？大地π？它指出了价格、产量和不平衡在动态下的趋同（III.1a、III.1b）。这些值应该满足-αE？艾伊？我- απ?ip？艾伊？i=0-βE？艾伊？i+βπ？ip？艾伊？i=0<==>α αβ-βE艾伊？我是π？ip？艾伊？我=.

（III.2）如果参数矩阵是非奇异的，那么唯一的解是平凡的，E？i=π？i=0，这与前一节中定义的平衡一致。当αβ+αβ=0时，该矩阵可以是奇异的。由于α、α、β、β被选为正值，只有当至少一对（α、α）、（β、β）、（α、β）或（α、β）等于（0，0）时才会发生这种情况。在前两种情况下，价格或产品在时间上被冻结，这使得动态规则变得毫无意义。在后两种情况下，价格和产量要么仅由利润驱动，要么仅由生产盈余驱动。在零利润或市场清算两个条件中只有一个条件满足时，动态将收敛到部分竞争均衡。这同样不是一个令人满意的参数选择，因为这意味着企业对供需失衡或利润/亏损没有反应。因此，对于一般情况，我们的动力学规则具有精确对应于竞争均衡的固定点。B.动力学方程。（III.1a，III.1b）现在可以通过表示价格计划和生产yi的不平衡来结束，如：πi（t）=pi（t）yi（t）-NXj=1xij（t）pj（t）-p（t）`i（t）=γi（t）紫皮（t）-NXj=1Jijpj（t）-Ji0p（t）（III.3a）Ei（t）=yi（t）-NXj=1xji（t）-Ci（t）=ziγi（t）-NXj=1Jjiγj（t）-Ci（t），（III.3b），其中Ci（t）是家庭的消费，i（t）是劳动力的数量，我们再次将分析局限于规模生产函数的恒定收益。有了这一点，我们也必须对家庭消费进行建模。为简单起见，我们假设家庭全职工作，并用可用劳动力总量表示（这一假设将在下文放宽，因为我们将允许失业，见第四节D）。