企业网络中的失衡动态与过度波动

（III.1a），现在的内容是：logπ（t+1）π（t）= -2αEi（t）Si（t）+Di（t）- 2απi（t）Gi（t）+Li（t），（IV.9），其中所有量现在已知。由于供求关系紧张，价格会随之更新，在我们的框架内，这是一个自然的流入或流出渠道。出于同样的原因，就业市场上的紧张局势必然会导致工资更新，我们假设工资更新的形式与价格更新的形式相同，即Logp（t+1）p（t）= 2ωLd（t）-Ls（t）Ld（t）+Ls（t），（IV.10）意味着劳动力的过度需求增加了工资，反之亦然。这条规则在每一个时间步都实现了菲利普斯曲线（见菲利普斯（1958）和布兰查德（2016））。人们也可以使用不对称的更新规则，因为降低名义工资比提高名义工资更困难。最后，还可以考虑在商品价格波动和工资之间添加一个直接耦合，作为等式（IV.10）右侧的一个额外项。由于市场不明确且利润不为零，我们选择对称的标准化因素，包括第一期的供需平均值，以及第二期的销售和成本平均值。3.生产最后一个纪元对应于生产的开始。公司一使用劳动力\'i，以及取决于交易所x、最优投入bx和库存i的可用数量xaij，asxaij（t）=xij（t）+min（Iij，bxij）。（IV.11）事实上，如果库存I允许提供最佳输入bx，则不会发布需求（见等式（IV.2））：x=0和xa=bx。否则，公司获得的数量x现在会增加可用库存，因此xa=x+I≤ bx。请注意，人工无法存储，因此Ii0始终为0。现在所有可用的输入和劳动力都已知了，产出由企业的生产函数决定，在Leontief情况下，b=1意味着：yi（t+1）=zi（t）min明杰沙伊（t）吉,`i（t）Ji0.

（IV.12）企业自身生产的库存也会更新，ASII（t+1）=e-σi易（t）+Iii（t）-Xjxji（t）, （IV.13）其中，衰变系数σi测量货物i的易腐性。对于耐用品，σi 1和e-σi≈ 1，而σi 1和e-σi 1.易腐货物。此外，在Leontief框架中，总产量受到最稀缺投入的限制，因此在生产过程中会耗尽，留下一小部分其他投入未使用。我们是J吗？（i） =arg minj沙伊吉,这样我们就可以写出输入k 6=j的分数？（i） 有效地使用asxuik（t）=JikJij？（i） xaij？（i） 。（IV.14）未使用的输入添加到固定库存中，其更新可使用公式（IV.11）Asik（t+1）=e编写-σk（xaik）- xuik）。（IV.15）最后，出于数值目的，可以方便地用新工资p（t+1）重新调整新价格pi（t+1）的比例，以避免通货膨胀（或贬值）导致的价格指数增长（或衰退），有效地以年龄为单位测量价格。因此我们设置：pi（t+1）-→pi（t+1）p（t+1）；p（t+1）-→ 1.（IV.16）时间步长的第三个也是最后一个纪元到此结束。然后在时间t+1重复该过程，生产量yi（t+1）和价格pi（t+1）。为了结束该模型，我们现在需要指定企业如何估计其未来的利润/损失和超额/减产。还必须详细说明家庭的行为，以便确定商品的需求和劳动力的供应。请注意，必要时也应适当调整利润和节约，例如S（t+1）→ S（t+1）/p（t+1）等。C.预期收益和不平衡我们可以将企业的预期收益率[πi]=pi（t）XjEt[xji]+Et[Ci]-Xjpj（t）Et[xij]+p（t）Et[`i], （IV.17）表明在规划阶段，企业必须估计未来的商品和劳动力需求，我们将其统称为Et[x]。

同样，预期超额产量也是Et[x]：Et[Ei]=yi（t）+Iii（t）的函数-XjEt[xji]-Et[Ci]。（IV.18）我们可以采用的最简单的假设是，企业是“粘性”的，并估计所有未来需求与他们最后的观察结果相等（这遵循了企业生产以满足总需求的原理），即Et[x]=xd（t-1). （IV.19）然而，我立刻想到了一些概括。例如，企业还可以考虑已实现数量X（t-1） 在他们的估计中，并设置为学习规则集[x]=λxd（t-1) + (1 - λ） x（t）- 1） ，（IV.20）式中λ∈ [0，1]是一个参数。因此，我们今后将使用的“粘性”假设对应于λ=1。另一个可能的推广是，企业使用更复杂的学习规则，允许他们使用时间序列分析来估计Et[x]，其中最简单的是对过去实现的需求进行“恒定增益学习”（相当于计算指数移动平均值）。这类似于Poledna等人（2019年）在决策过程中使用的AR1经济增长估计。也可以考虑趋势跟踪、外推规则。所有这些扩展都超出了本文的范围；在这个阶段，我们的目标是建立一个最小一致的框架，没有虚假的数值不稳定性，并且能够在参数空间的某个区域收敛到竞争平衡。D.家庭需求和劳动力1。工作弹性住户在标准宏观经济模型中，我们假设住户由一个具有一定工作无用性的代表机构代表，该代表机构寻求最大化以下效用函数u（t）=Xjθjlog Cj（t）-Γ1 + φL（t）L其中，L（t）=Pj`j（t）：=Pjxj0（t）是代表性家庭提供的总工作量。

在同名的弗里希（Frisch，1959年）之后，所谓的弗里希弹性指数Γ给出了工作的非有效性的凸度，即家庭能够提供的工作量的规模，Γ是一个可以在不失去普遍性的情况下统一的参数。在极限范围内→ ∞, 家庭对所提供的工作量L（t）<L不感兴趣，但拒绝工作超过L。通过这种形式的效用函数，家庭可以计算出对商品i、Cdi（t）的最佳需求，并将其设定为t期的消费目标，以及它愿意为企业提供的最佳劳动量L（t）。我们仅限于“短视”优化，不考虑家庭的长期预测和愿望。跨期影响需要增加利率，而我们在本研究中完全忽略了这一点。2.优化顺序为了计算上述数量，家庭需要知道其当前储蓄S（t）并预测下一时期的收入。通过乐观的预测来估计预期的效用（即满足消费需求，充分利用劳动力）。另一方面，工资p（t）和价格pi（t）在“交换和更新”阶段之前都是已知的，见IV B 2。因此，Et[U]=Xiθilog Cdi（t）-1 + φLs（t）L1+~n，（IV.22）具有预期预算约束，即readsXipi（t）Cdi（t）=p（t）Ls（t）+S（t）：=Et[B]，（IV.23），其中Et[B]是预期的（或实际上希望的！）预算为方便起见，我们将与工作时间相关的工资表示为W（t）=p（t）。家庭在使用拉格朗日乘数u（t）/W实施预算约束的同时优化其预期效用，从而使CDI（t）=Lθiu（t）p（t）pi（t）（IV.25a）Ls（t）=Lu（t）1/ν。（IV.25b）为了确定u（t），必须执行（IV.23）。

我们在u（t）上找到以下等式：uk（t）+S（t）W（t）u（t）=θ（IV.26），其中k=1+1/ν和θ=Piθi。例如，如果∞ （Ls（t）=L的恒定功），我们有u（t）=θW（t）W（t）+S（t）。（IV.27）当φ=1（文献中发现的一个公共值，对应于二次功不可用性）时，我们有u（t）=2W（t）qS（t）+4′θW（t）- S（t）. （IV.28）有趣的是，高储蓄导致劳动力供应减少。此外，由于可能的非自愿失业，当Ld（t）<Ls（t）时，家庭可能希望消费超过其支出能力。关于这些量与N的标度行为的最后一句话是有序的。对于大N，我们预计家庭部门的规模也将是N阶。注意到‘θ也是N阶，如果我们选择L，我们会发现以下是合适的比例定律~√N:u~√NLs~ NCdi（t）~ 1、（IV.29）意味着总工作时间和总消耗量与人口规模成比例，这是应该的。在后续论文中，我们将介绍预防性储蓄和利率，这会导致出现通货膨胀均衡。还要注意的是，我们假设所有商品都会立即被家庭消费，这对于耐用商品来说没有多大意义。这也可以重新考虑。尽管在本论文中没有必要这样做，但重要的是要考虑到信任效应，这可能会导致内源性增长（参见Morelli等人（2020））。一种可能性是将消费倾向与失业水平结合起来，作为消费者信心的一个指标，即：logθi（t）θi= 2ωLd（t）- Ls（t）Ld（t）+Ls（t），（IV.24），其中θi是消费偏好的基线值。在下面，我们将fixω=ω.3。储蓄更新由于我们不允许家庭在当前版本的模型中借贷，因此在部分失业的情况下，必须调整实际消费。

在这种情况下，可用预算必然比预期的要小，导致实现消费：Cri（t）=Ci（t）min1，B（t）Pjpj（t）Cj（t）！；Ci（t）=Cdi（t）min1，Si（t）Di（t）, （IV.30）和B（t）在（IV.4）中计算的可用预算。如果Ci（t）和Cri（t）之间的差异为正值，则将其添加到第一家公司的库存Iii（t）中。然后，家庭储蓄更新为：S（t+1）=B（t）-西皮（t）Cri（t）。（IV.31）E.讨论上述步骤看起来相当乏味，比我们第一个“幼稚”模型背后的简单逻辑要复杂得多。尽管如此，当分解实际生产过程的所有阶段时，它们是非常自然的。但更重要的是，我们发现，这些步骤中的任何一个短路都会导致不一致的动力学，产生虚假的不稳定性，反映出自然约束实际上被违反了。此外，将行为建模为一系列行为或事件序列的方法是ABMs的一个典型特征，在ABMs中，这些事件的顺序以一致的方式进行，以确保因果关系。与第三节的原始版本的一个重要区别是，需要大量更新规则，例如涉及两个表达式的最大值或最小值的更新规则，请参见下面的V B节。此外，企业和家庭用来帮助他们做出决定的拇指规则的数量增加了，描述我们玩具经济的特定实例所需的参数数量也增加了。因此，尽管朴素的模型允许对完整模型的参数空间的某些区域有一个合理的理解，但我们不能仅用分析工具来合理地尝试详尽的描述。因此，我们利用计算机模拟对其性质进行了数值探索，这些模拟在附录F中提供的伪代码中有详细描述。

我们还提供了一个开放访问模拟工具，允许读者在这里探索不同的配置：https://yakari.polytechnique.fr/dash.V.数值研究下一节是对上述模型非常丰富的现象学的数值研究，如果可能的话，补充一些分析结果。由于参数数量相对较多，我们只研究了参数空间中的一些特定“切割”，但相信这些切割代表了模型可以生成的所有可能的动态类。为了便于阅读本节，我们将首先回顾可以调整的不同参数。然后，我们将探索在我们的玩具经济中可以观察到的不同类型的动态轨迹，并将它们划分为不同的“阶段”。这个想法来自物理学，在物理学中，一个系统的宏观属性可以被划分为不同的参数区域，其聚合行为在质量上是相同的。这些区域仅取决于描述系统的少数参数所取的值；一个有力的例子是水，它取决于压力或温度，可以是液相、固相或气相。因此，我们将呈现以下“相图”，总结参数对我们模型的广泛动力学行为的影响，Gualdi等人（2015b）已经提出了基于经济主体的模型的想法。A.参数概述前几节中介绍的不同参数可分为两类：描述生产网络和生产函数的静态参数，以及描述价格、劳动力和产出演变的动态参数。我们将在下面的模拟中概述它们以及我们分配给它们的典型值。a、 静态参数1。公司数量N–此处N=100.2。

网络类型——这里是一个随机的常规定向网络，见Kim和Vu（2006年），McKay（1981年），其中每家公司拥有相同数量的客户和供应商d=15.3。CES生产函数——这里是一个Leontief生产函数（q=0+），返回到刻度参数B=0.95.4。生产矩阵M的最小特征值ε，对于大值，对应于稳定的经济。5.企业间关联Jij，当企业i和j关联时，我们将其视为1，否则为零。6.企业生产率zi，首先设置为1，然后调整ε以获得所需值。7.基线家庭消费偏好θi，由重新标度为havePiθi=1.8的iid均匀随机变量建模。工作不利用率Frisch指数，设为φ=1（劳动力二次不利用率），劳动力规模设为L=1.9。公式（IV.20）中定义的行为外推参数λ设置为1。注意，我们还将在更真实的企业网络模型上模拟我们的模型，包括从FactSet数据库（FactSet（2021））构建的实际输入输出网络，见附录E.b.动态参数1。描述恢复力的参数：α、α、β、β（见等式（IV.1）-（IV.9））。我们将自己限制在β=α=β=α的情况下，并扫描不同的α值。菲利普斯曲线参数ω，将工资与就业市场的紧张关系联系起来（见等式（IV.10））。3。与消费倾向和失业相关的信心参数：ω（见等式（IV.24））。对于这项研究，我们取ω=ω。易腐性参数σi表示货物i的腐烂速度，除另有说明外，均取σi=σ。因此，这些选择将需要探索的参数减少到四个：ε（网络稳定性）、α（存储力强度）、ω（菲利普斯曲线参数）和σ（易腐性）。

现在，我们将展示如何改变它们可能导致非常丰富的现象学。选择略低于单位的b有助于稳定动力学，还可以防止弛豫时间因生产矩阵ε的最小值而发散→ 0.附录A中详细说明了这种影响的参数。将生产率系数修改为z=z+ε- min Sp（M）使M的最小特征值等于ε。B.平衡周围的扰动&鉴于上文强调的线性动力学，第三节C的原始模型可以线性化，从而对达到平衡所需的时间进行完整的分析估计。然而，整个模型的尖点意味着微扰分析产生了最好的分段线性方程组。准确地说，让我们尝试通过写入δx（t）=x（t）来线性化不同的更新规则-Xeq求任意量x的扰动值，并将微分方程展开到δ·中的最低阶。当应用于流体时，xjione得到：δxji（t）=δxdji（t）+xeq，jiziγeq，imin（0，δSi（t）-δDi（t））。（V.1）取决于δSi（t）的符号- δDi（t），交换货物的流量由两个不同的线性方程表示，使系统分段线性。同样的特性也适用于交换功（替换δSi（t）-δDi（t）乘以δLs（t）- δLd（t）和实际消耗（开关取决于δSi（t）- δDi（t）以及更难编写的预算约束，见（IV.30）。但这意味着，也许令人惊讶的是，不存在一种极限情况，即完整模型可以归结为第三节的“幼稚”模型。围绕平衡点线性化产生分段线性动力学，可以通过（N+4N+1）维状态向量的演化来描述，我们用U（t）表示，遵循第三节C的符号。

该向量对库存δIij（t）（将N×N库存矩阵的列叠加在一个N维向量中）、当前生产目标δbγi（t+1）、过去目标δbγi（t）、生产水平δγi（t）、价格δpi（t）以及最终的家庭信息δS（t）进行编码。为了研究分段线性动力学条件下的可能转换，让我们定义两个向量：C>iU（t）=δSi（t）-δDi（t），c>wU（t）=δLs（t）-δLd（t）。（V.2）每个向量定义一个超平面Hi={ci}⊥（分别为Hw={cw}⊥) 将状态空间分为两个区域：oi、H+i（分别为H+w）的不短缺区域，其中c>iU（t）>0（分别为c>wU（t）>0），其中i的供应足以满足需求（分别为工作效率足以满足工作需求）i，H的短缺区域-i（分别为H-w） 其中c>iU（t）<0（分别为c>wU（t）<0），其中i的供应不足以满足需求（分别为工作效率不足以满足工作需求）。这些半空间的交集定义了称为圆锥体的空间区域，其中线性化动力学由定义良好的稳定性矩阵充分描述。呼叫S [[1，N]]，货物短缺的企业集合，在每个锥体中定义稳定性矩阵，如下u（t）∈\\s∈嘘-s∩\\s∈[[1，N]]\\SH+s∩ H+w<==> U（t+1）=DSU（t），U（t）∈\\s∈嘘-s∩\\s∈[[1，N]]\\SH+s∩ H-W<==> U（t+1）=DS，wU（t）。（V.3）如果S= （无短缺），我们称之为DAD D0，即无工作短缺/有工作短缺的稳定性矩阵；如果S=[[1，N]]（所有公司都有短缺），我们称之为DN和DN，w。图4展示了二维空间中的先前构造。尽管每个圆锥体内的动力学是线性的，但关于稳定性矩阵特征值的知识通常不足以得出关于整个系统稳定性的结论。事实上，了解圆锥体是否由其稳定性矩阵保持是理解动力学的关键。