企业网络中的失衡动态与过度波动

我们将（A.2）和（A.3）表示回零比例条件，以检索第一个平衡方程：i、 齐佩克，我，我-NXj=1peq，jzqζi∧ij佩克，伊佩克，jqζγζbq+1beq，i=zqζi∧ai0pqζeq，iγζbq+1beq，i<==> i、 zζipζeq，iγζb-1beq，我-NXj=1∧ijpζeq，j=i0<==> i、 zζipζeq，i-NXj=1∧ijpζeq，j=∧i0+zζipζeq，i1.-γζb-1beq，我<==> Mpeqζ=V+zζo peqζo1.-γeqζb-1b,然后在市场清算条件下，得到第二个平衡方程：i、 我-NXj=1zqζj∧ji佩克，jpeq，我qζγζbq+1beq，j=κipeq，i<==> i、 ziγeq，ipqζeq，i-NXj=1zqζj∧jipqζeq，jγζbq+1beq，j=κipζeq，i<==> i、 zζiγeq，izqζipqζeq，i-NXj=1∧jizqζjpqζeq，jγζbq+1beq，j=κipζeq，i<==> i、 zζiγζbq+1beq，izqζipqζeq，i-NXj=1∧jizqζjpqζeq，jγζbq+1beq，j=κipζeq，i+zipqζeq，iγζbq+1beq，i1.-γζb-1beq<==> M>zqζpeqqζγeqζbq+1b=κpeqζ+zopeqqζo γeqζbq+1b1.-γeqζb-1b.如果q→ 0+和b=1，可以检查（II.8）是否被检索。b、 案例q=+∞: Cobb DouglasTo在q=+∞, 我们需要在（II.5）中接受这个限制。它的yieldsbxil=aqζilJζilp-qζlNXj=0aqζijJζijpζjq^γ1/bi=aqζilJζilp-qζlNXj=0Jij6=0aqζijJζijpζjq^γ1/bi≈Q→+∞γ1/biexpq日志NXj=0Jij6=0aijexpζlogJijaijpj≈Q→+∞艾尔普-1l^γ1/biexpq日志NXj=0Jij6=0aij+ζNXj=0Jij6=0logJijaijpj≈Q→+∞艾尔普-1l^γ1/biexpq日志1+ζNXj=0Jij6=0logJijaijpj≈Q→+∞艾尔普-1l^γ1/biexpqζNXj=0Jij6=0logJijaijpj≈Q→+∞艾尔普-1l^γ1/biNYj=0Jij6=0Jijaijpj.然后我们可以表示出量ziγb-1beq，ipeq，i通过零性能条件asziγb-1beq，ipeq，i=NYj=0Jij6=0Jijaijpeq，j.

（A.4）利用市场清算条件，我们可以得到Cobb-Douglas情况下的第一个均衡方程：i、 ziγeq，i=κipeq，i+Xjajip-1eq，iγ1/beq，jNYj=0Jij6=0Jijaijpeq，j<==> i、 ziγeq，ipeq，i=κi+Xjajizjγeq，jpeq，j<==>在里面- a>Zoγeqo peq=κ<==> Zoγeqo 佩克=在里面- a>-1κ.为了得到第二个方程，我们将前一个方程注入（A.4）并取对数。上面写着i、 log ziγeq，ipeq，i-blogγeq，i=NXl=1Jil6=0aillogJilail+NXl=1Jil6=0aillog peq，i<==> i、 b-1blogh在里面- a>-1κii+blog peq，i+blog zi=NXl=1Jil6=0aillogJilail+NXl=1Jil6=0aillog peq，i<==>箱子- A.对数peq=1-bblog在里面- a>-1κ -博客z+h，其中hi=PNl=1Jil6=0aillogJilail。在柯布-道格拉斯的案例中，价格和产量始终存在正均衡。事实上，看看第二个方程，我们可以看到一个普遍存在的解决方案（除了在非常特殊的情况下，b-1是对数peq的a）特征值。将这个解进行幂运算表明，peqq总是正的。对于第一个方程，矩阵为- a总是可逆的，因为a的特征值λ是|λ|≤PNj=1aij=1- ai0<1多亏了Togersgorin定理。这也证明了-a实际上是一个M矩阵，这使得方程的解为正，这意味着γEq也为正。2.正平衡非线性代数系统的正解问题是一个复杂的问题。目前，除了在一些非常特殊的情况下，没有普遍的证据证明存在正解。Q<+∞ 通用b也不例外。然而，一阶近似是可能的。设置q=0（列昂蒂夫生产函数），方程读数为MPEQ=V+zpeq1.-γeqb-1b（A.5a）M>γ1/beq=κpeq+zγ1/beq1.-γeqb-1b. （A.5b）我们知道b=1的解p（0）eq，γ（0）eq，我们设置b=1- δ.

假设均衡价格和产量的形式为peq=p（0）eq+p（1）eq（δ），γeq=γ（0）eq+γ（1）eq（δ），至少kp（1）eq（δ）k∞ kp（0）eq（δ）k（和γeq相同），我们可以写出p（1）eqyieldingMp（1）eq=zp（0）eq的方程1.-经验-δlogγ（0）等式. （A.6）以ε的前导顺序开发解决方案（我们使用附录C中的结果和符号），我们得到p（1）等式=|rNiρnεh`n | V ih`n|1.-经验-δlog |`Nih`N | vi|rNi，（A.7），其中向量的任何函数都被理解为分量。我们可以用εpeq=|rNih`N | viε来写peqat前导顺序1+ρnεh`n|1.-经验-δlog |`Nih`N | vi|rNi, （A.8）并得到εc（δ）的第一个近似值，在该近似值下，均衡价格为负εc（δ）~ -ρn1.-经验-δXj`N，jrN，jlog`N，jh`N | V i. （A.9）对于无向d-正则网络，我们有εc（δ）~ -D1.-经验δlogXjVj. （A.10）图16显示了存在容许平衡的区域。附录B：朴素模型的松弛时间朴素模型的非线性动力学由等式给出。（III.5）。在本附录中，我们推导了系统在各种极限下的松弛时间。1.动力学的线性化为了使系统线性化，我们写pi（t）=peq，i+δpi（t）和γi（t）=γeq，i+δγi（t），并将这些表达式注入（III.5）。经过几次计算，我们在变量U（t）=（Δp（t），Δγ（t））>中建立了以下一阶线性方程：dUdt=DDDDU（t）：=DU（t），（B.1），其中矩阵的不同块分别=-αuθiziγeq，ipeq，i- αZ-1iMD=-αpeq，iziγeq，iM> D=βγeq，izipeq，iM-βuθizipeq，我！D=-βZ-1iM> 。（B.2）图16：n=100企业上d-正则网络正平衡的存在区域。我们可以看到，对于δ=0，即b=1，我们给出了标准的Hawkin-Simons跃迁εc（0）=0。一阶解A.10以蓝色绘制，非常适合b和ε的值范围。

然而，当放大图右侧的边界时，人们开始看到蓝线和数字边界之间的差异。2.高生产率区域的松弛时间在本节中，我们假设生产率因素大到足以忽略企业之间的相互作用。在这种制度下，企业的效率足够高，因此投入的实际数量在最终生产中并不重要。在这个极限下，我们可以给出均衡价格和产量peq的近似表达式，i=Vizi（B.3a）γeq，i=uθiVi。（B.3b）同样，我们对稳定性矩阵的每个块进行近似：D≈子→∞-（α+α）IND≈子→∞-α维齐θiD≈子→∞(β - β)ziθiViD≈子→∞-βIN，（B.4），并通过计算其特征多项式并将其设置为0:det（σI2N）来推导D的光谱- D）=σIN- D-D-DσIN- D≈子→∞det（（σ+α+α）（σ+β）IN+α（β）- β） 中）=σ+ σ(α + α+ β) + αβ + αβN=0。解这个方程得到两个本征值σ±，两个本征值的简并度均为N，读数为σ±=×-α- β- α±p（α+β+α）- 4（αβ+αβ）如果（α+β+α）>4（αβ+αβ）-α- β- α±ip4（αβ+αβ）-（α+β+α）如果（α+β+α）<4（αβ+αβ）。（B.5）这反过来让我们推导出弛豫时间：τrelax=2×(α+ β+ α -p（α+β+α）- 4(αβ + αβ))-如果（α+β+α）>4（αβ+αβ）（α+β+α）-1if（α+β+α）≥ 4(αβ + αβ). （B.6）3。用ε的微扰展开研究D作为ε的行为→ 0+要求了解M、 peq，γeq在这个限度内。我们现在介绍矩阵j= （zmax）- zi）+J，并用ρν（分别为| rνi，h`ν|）表示其特征值（分别为右/左特征向量），按其实部排序。Perron-Froebenius定理表明，上特征值ρ是实的、简单的，并且与一个完整的正特征向量相关联。

接下来，我们使用矩阵M的以下光谱表示：=ρNIN-eJ+ εIN（B.7）M-1=ε| rNih`N |+N-1Xν=1ρN- ρν+ε| rνih`ν|=ε| rNih`N |+∞Xk=0(-ε） 千牛-1Xν=1（ρN- ρν）k+1 | rνih`ν|，（B.8），这让我们可以表示均衡价格和产出以及D。当ε=0时，我们还使用符号mt来表示网络矩阵。该矩阵为单数矩阵，验证| rNi=0，M>| Ni=0。（B.9）在ε中展开，忽略ε阶和更高阶的因子，得到稳定矩阵块的以下结果：D=D（0）+εD（1）+εD（2）+εD（3）D=εD(-1） +D（0）+εD（1）+εD（2）+εD（3）D=εD（1）+εD（2）+εD（3）D=D（0）+εD（1）+εD（2）+εD（3），（B.10）其中附录C中给出了扰动项D（1）的精确定义。为了简化计算并给出封闭形式的结果，我们考虑了具有齐次生产率因子的无向网络（对称M）。然而，当考虑更一般的网络时，定性结果不变。在此设置中，M的特征向量用| eνi表示。我们在这里使用狄拉克表示法，其中| vi表示列向量，hv表示行向量。4.足够有趣的是，ε=0的边缘稳定性，尽管D的右上角块以ε的形式发散→ 0时，其光谱收敛到有限极限。为了了解这一点，我们使用了块行列式公式公元前= det（广告）- 对于相同大小的矩阵，其中换向器[C，D]=CD- DC=0。在我们的例子中，我们需要[D，D]=0，它只在极限ε=0时成立。

然后我们可以写：det（σI2N- D）≈ε→0detσIN- D（0σIN- D（0- D(-1） D（1）= 德特σIN+αρNMσIN+βρNM+αβρNM= 德特σIN+σα+βρNM+αβ+αβρNM=NYν=1σ+σα+βρN（ρN- ρν）+αβ+αβρN（ρN- ρν)= σYν6=Nσ+σ（α+β）1.-ρνρN+ (αβ + αβ)1.-ρνρN!.该乘积中的每个因子产生两个特征值：o如果（α- β） >4αβ然后σν±=-α- β±p（α+β）- 4(αβ + αβ)1.-ρνρN, （B.11）o如果（α）- β） <4αβ然后σν±=-α- β±ip4（αβ+αβ）-(α+ β)1.-ρνρN, （B.12）o如果（α）- β） =4αβ然后σν=-α+ β1.-ρνρN. （B.13）拖尾因子表明0是D的特征值（对于ν=N），退化为ε的两倍→ 0.我们推断系统在这个极限下表现出边缘稳定性。图17显示了D特征值的经验分布和相应的理论预测。5、极限松弛时间ε→ 到目前为止，我们已经证明，我们的系统在ε=0时表现出边际稳定性。我们现在证明了系统的弛豫时间表现为τ弛豫~ ε-1.为此，我们使用Avrachenkov中描述的解析微扰理论，我们不需要考虑换向器中的一阶项，因为D（1），D（0）i=0，见附录C。-0.10-0.08-0.06-0.04-0.02 0.000.000.250.500.751.001.251.50×101-0.03-0.02-0.01 0.00 0.01 0.02 0.030.00.51.01.52.02.5×101-0.16-0.14-0.12-0.10-0.08-0.06-0.04-0.02 0.00R（σ）0.00.51.01.5×101-0.4-0.20.0.20.4I（σ）0.00.51.01.52.0×102图。17：稳定矩阵D（对于D=3的D-正则无向网络上的N=1000个企业）频谱的实部（左列）和虚部（右列）直方图，通过数值拟合获得。上图：案例（α）- β)< 4αβ. 底部：（α）- β)> 4αβ. 红线是用McKay密度计算随机三正则图McKay（1981）特征值的热力学计算（B.12）和（B.11）。在（B.12）、（B.11）中，可以注意到0处的峰值，这说明了ν=N的情况。等

（2013），在我们的设置中，它将D（0）的特征多项式的ε-扰动从0减少为εgoesaway。该特征多项式由χ（σ，0）=σNYν=1给出σ - σν+σ - σν-, （B.14）带有上一节中给出的σν±值。我们现在尝试寻找σ项的扰动，以获取σN±=0的扰动。利用解析微扰理论，我们可以看到（ε，σ）=（0，0）是扰动D（ε）下的一个分裂点（ε=0是一个多点，因为ε=0时D至少有一个重根，而σN±=0是一个重根）在此设置中，σN±=0在扰动D（ε）下分裂，得到2个扰动特征值。此后，对于足够小的ε，χ（σ，0）的素因子σ表示为二阶多项式，其系数取决于ε。我们可以写（σ）：=σD（ε）-→ p（σ，ε）：=σ（1+a（1）ε+a（2）ε+·ε）+σ（a（1）ε+a（2）ε+·ε+a（1）ε+a（2）ε+·ε。这个展开式确保p（σ，ε）-→ε→0p（σ）。此外，a（i）中至少有一个是非零的。否则我们就可以在p（σ，ε）中算出σ，这意味着对于足够小（但非零）的ε，0∈ Sp（D（ε）），我们知道这是错误的，因为系统在ε>0时是稳定的。由于右上角块的发散，D（0）没有正式定义，因此我们稍微滥用了符号。此外，我们知道σN±=0的分裂行为被施加，确保p（σ，ε）的判别式不能消失（导致多根），这就产生了关于系数的另一个条件。最后，因为我们一般都在研究复数根，所以p（σ，ε）总是会分解成两个不可约且归一化的1阶多项式。这确保了我≥ 1，a（i）=0，而a（1）=0。最后一点并不是那么简单，值得解释。来自Avrachenkov等人。

（2013），扰动特征值σNα（ε）的Puiseux级数可以写成σNα（ε）=∞Xx=1bNαxεx/gNα，α=1,2，其中gNα是从中提取根σNα的多项式的次数。在我们的设置中，gNα=1意味着σNα的第一个扰动为ε级。现在，我们也知道σNα是通过解二阶方程p（σ，ε）=0得到的。这意味着两个根都读取σnα=o（ε）+κα√.我们现在可以写信了 像 = o（ε）-4a（1）ε，因此，如果a（1）6=0，σNα的主导项将为o阶(√ε） 这与之前的分析相矛盾。最后，我们可以尝试寻找类似于p（σ）：=σD（ε）的扰动-→ p（σ，ε）：=σ+σ（a（1）ε+a（2）ε+·ε）+a（2）ε+·ε。为了确定展开式中的不同项，我们重复使用上一节中进行的行列式计算，但现在将项保持为ε阶。这将产生：det（σI2N- D）=σIN- D-D-DσIN- D≈ε→0det（（σIN）- D） （σIN）- D）-DD）=detσIN- σD（0）+D（0）+ D（0）D（0）- D(-1） D（1）|{z}∑（0）（σ）+ε-σ（D（1）+D（1））+D（0）D（1）+D（1）D（0）- D(-1） D（2）- D（0）D（1）|{z}∑（1）（σ）+ ε-σ（D（2）+D（2））+D（0）D（2）+D（1）D（1）+D（0）D（1）- D(-1） D（3）- D（0）D（2）- D（1）D（1）|{z}∑（2）（σ）≈ε→0det∑（0）（σ）+εTr通用域名格式Σ(0)>Σ(1)(σ)+ εTr通用域名格式Σ(0)>(σ)Σ(2)(σ)+ εTr通用域名格式Σ(0)>(σ)Σ(1)(σ)- Tr通用域名格式Σ(0)>(σ)Σ(1)(σ)!2 det∑（0）（σ）。常数项det∑（0）（σ）是ε=0时D的特征多项式，因此det∑（0）（σ）=χ（σ，0）。同样，很容易证明，对于具有特征值λ和相关特征向量|λi的可对角化矩阵a，矩阵COM（a）可以在相同的基上对角化，并且readsCom（a）=XλYλ6=λ|λihλ|。（B.15）使用这个引理，我们可以写下Σ(0)(σ)=Yν6=Nσ - σν+σ - σν-|eNiheN |+Xν6=NσYu6=ν，Nσ - σu+σ - σu-|eνiheν|。（B.16）我们现在将每个跟踪项发展到Com的特征基上Σ(0)(σ).

从现在起，我们不再讨论∑矩阵的σ依赖关系，但要记住，这些矩阵是σ中一阶多项式。第一个跟踪readsTr通用域名格式Σ(0)>Σ(1)=Yν6=Nσ - σν+σ - σν-heN∑（1）| eNi+Xν6=NσYu6=ν，Nσ - σu+σ - σu-他ν|∑（1）| eνi。我们只对第一项感兴趣，我们可以使用D块的显式形式来确定|∑（1）| eNi=σheN|D（1）+D（1）|埃尼=-σρN（α+α+β）。对于第二个迹项heN∑（2）| eNi=σheN，也可以进行同样的计算|D（2）+D（2）|埃尼+母鸡| D（1）D（1）|埃尼-heN | D（0）D（2）| eNi=σρN（α+β）-αβ+αβρN+σκ，其中κ=heN | D（2）| eNi，我们不需要计算。平方迹项非常复杂，我们只是简单地描述了它们的计算。在p（σ）的微扰中可能输入的项抵消了（这些是平方项的和）。多项式的有理分式项（由于我们寻找多项式扰动，这可能是病态的）也会被抵消。其他项不进入p（σ）的扰动，并且是非病理性的。最后，p（σ）的扰动类似于esp（σ）：=σD（ε）-→ p（σ，ε）≈ σ+ σεα+α+βρN- εα+βρN- εκ+ εαβ+αβρN.我们现在在二阶写出这个多项式的判别式，得到（ε） =ερN(α + α+ β)- 4(αβ + αβ).我们得到了与大ε区相同的分离。用βc=（α+α+β）表示-4αβ4α，ε：σN±≈ε→0ε2ρN×-α- β- α±p（α+β+α）- 4（αβ+αβ）如果β<βc-α- β- α±ip4（αβ+αβ）-（α+β+α）如果β>βc-α- β- α如果β=极限ε内的βc.（B.17）→ 0，ρN=zmax，我们检索文本中给出的方程。图18显示了理论估计值和实际最大特征值（通过矩阵D的数值模拟获得）之间的适当性，即ε→ 附录C：稳定性矩阵块在本节中，我们给出稳定性矩阵块的扰动项的值。

我们介绍了在具有同质生产率因子的无向网络的情况下简化的数量的几种符号。最后，我们使用bra（resp.ket）表示法来表示一行（resp.column）向量| vi，并用其分量表示。10-910-710-510-310-1103105Hεi10-1110-910-710-510-310-1101σN+β>βcβ<βc10-710-310110510-1410-1010-610-2102误差线性估计图。18：平线：模拟最小特征值。虚线：ε的理论估计 1.误差图给出（B.17）的线性估计与模拟特征值之间的误差。对单位权重的3-正则无向网络上的经济型onN=100企业进行了模拟。我们生成了50个这样的经济体，并在实部中平均出最接近0的D的特征值。1.Peqa和γeqa的扰动。PricesEquilibrium价格可以通过应用M轻松获得-1到向量|vi yieldingpeq，j=εh`N |V irN，j+N-1Xν=1hlν| V iρN- ρνrν，j- εN-1Xν=1hlν| vi（ρN- ρν）rν，j+εN-1Xν=1hlν| vi（ρN- ρν）rν，j- εN-1Xν=1hlν| vi（ρN- ρν）rν，j:=επl-1（V）j+πl（V）j- επl（V）j+επl（V）j- επl（V）j，（1.a）其中我们引入了i≥ 0πl-1（V）=h`N | vi | rNi，πli（V）=N-1Xν=1hlν| vi（ρN- ρν）i+1 | rνi.b.生产平衡生产可能更难获得。我们首先推导出三个有用的恒等式，以简化计算。对于s=1，n、 我们有εpeq，s=πl-1（V）s- επl（V）sπl-1（V）s+επl-1（V）sπl（V）sπl-1（V）s+πl（V）sπl-1（V）s!-επl-1（V）sπl（V）sπl-1（V）s+2πl（V）sπl（V）sπl-1（V）s+πl（V）sπl-1（V）s!（i） peq，s=επl-1（V）s- επl（V）sπl-1（V）s+επl-1（V）sπl（V）sπl-1（V）s+πl（V）sπl-1（V）s!（ii）εpeq，s=επl-1（V）s- επl（V）sπl-1（V）s（iii）εpeqs=επl-1（V）s（iv）εpeqs=o（ε）。