企业网络中的失衡动态与过度波动

消耗量是通过将当前预算p（t）Lto饱和到最大对数消耗效用，即maxCi（t）Xiθilog Ci（t）和xipi（t）Ci（t）来获得的≤ p（t）Xi`i（t）=p（t）L，（III.4）注意，可以想象一个模型的版本，其中企业尝试学习这些调整参数的最佳值，增加了动态规则的额外复杂性。现阶段尚不清楚附录A中的一般方程是否能产生多个解。即使有，动力学的驻点仍然和这些解一致。式中，θi表示对良好i的偏好。最佳消耗量为Ci（t）=Lθi/u（t）pi（t），其中u（t）=piθi/p（t）。将所有这些成分放在一起，并取连续时间限制δt→ （III.1）中的0产生以下耦合非线性常微分方程组（Vi=pJi0）：ziγi（t）dpidt=-αpi（t）XjMjiγj（t）-Lθiu（t）pi（t）- αγi（t）XjMijpj（t）-六、（III.5a）zipi（t）dγidt=βγi（t）XjMijpj（t）-六、- βpi（t）XjMjiγj（t）-Lθiu（t）pi（t）. （III.5b）有趣的是，这些方程与Biroli等人（2018年）在理论生态学中使用的广义Lotka-Volterra模型非常相似，在该模型中，生态系统自组织成一个高度易受外部扰动影响的结构。根据Roy等人（2020年）的观点，对此类模型进行了更新的扩展，结果表明，它们也可以解释构成无声生物系统的不同物种种群中异常的、持续的波动。正如Antr`as等人（2012）所做的那样，将企业网络和生态系统的研究联系起来的不同类比，在将营养水平（即物种在食物网中的位置）的概念与企业在供应链上的“上游”联系起来方面也取得了丰硕成果，在MacKay等人（2020年）的工作中，这些概念被用于研究生产网络的特性。

在这些模型中研究技术创新或生物进化的影响时，这两个领域之间也可能出现有趣的相似之处。Lotka-Volterra方程类比背后的经济直觉如下：当处理相互作用实体的复杂组合时，无论是物种达到一定进化水平的生态系统，还是企业能够使用特定技术的经济，人们都在考虑一个具有大量反馈环的复杂系统。不同实体之间相互依赖的方式会产生反馈回路，从而导致非常不稳定的振荡行为甚至混乱，通常会导致某些企业或特定物种必须“灭绝”才能重新稳定系统的危机，Moran和Bouchaud（2019年）和Bak等人（1993年）支持“自组织临界性”的观点。虽然这里选择了与生态学的类比，因为这很容易理解，但我们强调，我们认为这是一个具有大量相互依赖性的大类系统的一般特征，因此对于企业网络来说尤其如此。C.平衡方程（III.5）周围的扰动是我们对企业网络模型失衡动力学的“幼稚”候选方程，其局限性将在下文讨论。我们立即检查平衡解peq、Ian和γeq、i（由等式（II.8a、II.8b）给出）是否是这些方程的固定点，正如它应该的那样。我们也可以研究这种平衡的线性稳定性。写入pi（t）=peq，i+δpi（t）和γi（t）=γeq，i+δγi（t），并仅保留δ（.）中的1阶项，我们可以找到2N维向量U=（δp，δγ）的线性演化方程，其形式为：dU（t）dt=dU（t）。

（III.6）平衡稳定性由相应2N×2N动态矩阵D的特征值的符号确定。附录B中详细说明了此类分析。当所有特征值均为负值时，平衡是局部稳定的。任何远离平衡点的小扰动都会以最接近零的特征值渐近给出的速率向零衰减。当Hawkins-Simon条件即将被违反时，即当网络矩阵M的最小特征值在距离ε处时，可以显式计算相应的松弛时间τ松弛→ 0远离0。我们发现（见附录B）：τ松弛≈2 maxjzjε×(α+ β+ α -p（α+β+α）- 4(αβ + αβ)-如果（α+β+α）>4（αβ+αβ）（α+β+α）-1if（α+β+α）≤ 4(αβ + αβ).（III.7）该表达式允许我们得出两个重要结论：0 50 100 150 200 250 300t-5-2.50.02.55.0δp（t）×10-6ε = 10-40 50 100 150 200 250 300吨-505×10-5ε=103图。1：非线性离散动力学方程价格均衡值的相对距离。（III.5）forN=100家公司。模拟中的初始相对距离取δ=10-3.高生产率区域对应于ε=1000的高值，并导致很短的弛豫时间τrelax。另一方面，在生产率较低的情况下→ 0时，系统再次达到平衡所需的时间越来越长，并且松弛时间τ松弛当ε→ 0时，系统的弛豫时间发散，即需要很长时间才能达到平衡。正如我们在引言中提到的，这使得绝热近似不适用，因为技术和网络结构的变化将在达到平衡之前发生。如此长的时间尺度也会导致系统中外源波动性的放大，见下文只要α、α或β是严格正的，弛豫时间就是有限的。

（如果某些系数为负，但其他系数为正且足够大，则平衡仍然稳定。）模型预测的弱失平衡动力学类型的数值说明如下图所示。1.我们看到自发振荡（来自动力学矩阵D特征值的虚部）与缓慢衰减的包络线之间的复杂相互作用，∝ 经验(-t/τ松弛）。然而，请注意，在模拟时，必须特别小心虚假的数值效应（III.5）。事实上，这种微分方程属于所谓的斯蒂夫普通微分方程（ODE）的范畴。它们的特点是由两个（或更多）非常不同的时间尺度控制的进化。对于形式III.6的动力系统，我们用σν表示矩阵D的特征值（如附录（B））。我们称∑和σ为| Reσ|≥ |Reσν|≥ |Reσ|，ν、 即分别为系统的快时标和慢时标。stiffness比率定义为r=|Reσ| | Reσ|，如果该比率较大，则称系统为stiffness。在我们的例子中，作为ε→ 0，σ将保持不变，而σ为ε阶，使得搅拌比r表现为ε-1（见附录B）。stiffodes的模拟需要特别小心。更准确地说，我们不能使用简单的显式积分例程和固定的步长，而是使用隐含的模式，如Radau积分（见Haier等人（1993））。D.过度波动现在，假设描述经济均衡的参数（如生产力或家庭偏好等）随着时间的推移而变化，控制经济波动的动力学方程，等式（III.6）变成：dU（t）dt=dU（t）+ξ（t），（III.8），其中ξ（t）代表对经济的（弱）外部冲击。

因此，不难证明（见附录D）在极限ε→ 0时，价格和产出的波动率与ε成正比-1/2，因此，当系统接近稳定极限时，可能比外部冲击的方差大得多。直观的原因是，过去的冲击在系统中停留很长时间（与τrelax相当），并与最近的冲击聚集在一起，导致更大的整体扰动。因此，接近不稳定点是解释“小冲击、大商业周期”悖论的自然选择（相关讨论见Bonart et al.（2014））。图2给出了我们模型中这种现象的说明。然而，在这种情况下，预计波动会持续很长时间~ ε-1.我们将在下文第V C 4节讨论另一种基于非线性内生波动而非长期外生波动的“大商业周期”情景。E.限制上述结果表明，尽管“幼稚”，我们的方程已经为产出的正常波动提供了一个有趣的通用场景，即不稳定的接近度。请注意，我们所描述的动力学与涉及大型复杂系统稳定性的大量工作直接相关（参见历史先兆加德纳和阿什比（1970）、梅（1972）、费奥多罗夫和霍鲁琴科（2016）以及布宁（2017）的最新通用方法），使用随机矩阵技术来表示一般的相互作用。这些论文强调了研究大型随机矩阵的特征向量和特征值对于理解复杂系统的重要性，以及Neri和Metz（2012）、Tarnowski等人的其他值得注意的贡献。

（2020年）和Mambuca等人（2020年）。然而，上述天真的方法掩盖了一些重要的约束，这些约束虽然在均衡时无关紧要，但在均衡时却是至关重要的：o因果关系：企业必须在知道自己能卖出多少之前计划生产供需失衡（如果市场明确，则为零）：当供应超过需求时，库存会累积，而当需求超过供应（包括库存）时，非自愿储蓄会增加。这些外部变量应该在经济的非均衡演化中发挥作用，但在等式中完全没有。（III.5）。此外，如果某些输入商品缺失，则Eqs。（III.3b）错误地解释了失衡。在下一节中，我们将提出一个最小的、完全一致的模型，允许我们同时考虑因果关系和不平衡。有趣的是，我们将看到，硬约束——比如不可能消耗超过可用量的东西——会导致本质上的非线性动力学，即使对于接近平衡的小扰动也是如此。作为一个序列，当等式为。（III.5）只能导致阻尼振荡收敛到平衡。事实上，这种广义方程允许人们即使在平衡不再确定的区域，也能获得合理的动力学，即当ε<0，而Eqs。（III.5）在这种情况下不再有意义（价格和产量总是拖到零以下）。四、 一个完全一致的方法正如我们刚才提到的，上一节的天真方法虽然有趣，但充其量只是近似的，而且不完整，因为它忽略了一些不容置疑的限制，例如物理界限（消费不能比生产加库存更大）和因果关系（或“建设时间”）。

特别是，当出现短缺时，必须以特定的方式在客户之间分配进货，我们将选择与预期需求成比例的方式。但反过来，这种短缺将导致产量低于目标。尽管如此，上一节的一些结果对于理解下面介绍的扩展模型还是很有用的。0 2500 5000 7500 10000 12500 15000吨-1-0.50.00.5u+N（t）-Du+N（t）E×10-6ε = 10-40 2500 5000 7500 10000 12500 15000吨-5-2.50.02.55.0×10-11ε=103图。2:u（t）的投影u+N（t）在与边际特征值相关的D特征向量上的演变，导致波动率σ=10的生产率冲击后波动率增加（见附录D）-8和ε=10-4，y-scale 10-6（左），ε=10，y刻度为10-11（右）。对于ε=10-4.产出和价格的波动性大约为10-6，即比σ大100倍，如理论预期。A.不平衡和因果关系考虑第一个约束意味着以下几点。如果供不应求，企业的所有生产都将被出售和交换，而如果供不应求，只有需求的数量将被交易，剩余的将增加企业的库存。因此，从i到j的货物流量必须谨慎计算；我们需要介绍j公司xdji要求的货物数量，而不是上一节中考虑的单一数量xji（t），该数量只能小于或等于实际交换的数量xji。这可以理解为一份合同，只有在我公司生产的产品足以满足所有需求的情况下，才能完全履行。同样，我们将家庭的需求量与他们实际能够购买的量区分开来。同样，企业发布的工作时间可能不等于家庭愿意提供的工作总量。

为了应对供过于求的情况，我们跟踪i公司的货物库存，用Iij（t）表示，并将企业无法销售或使用的货物添加到库存中，然后减去已死亡的货物。在动态中实现因果关系还意味着剖析企业的决策过程。显然，商品只有在时间t生产出来后才能在时间t销售- 价格可能会在这两次之间发生变化（如果只是轻微的话）。更重要的是，企业在计划下一个生产周期时，只有部分关于他们能够购买和销售的商品数量的信息。同样，他们能够雇佣的员工数量也不确切，因为这取决于家庭认为可以接受的工作量。在这一阶段，我们将引入一个启发式规则，允许企业通过对这些未知数量进行更多或更少的知情猜测来为下一轮生产计划。在目前的工作中，我们假设企业基于上一个时间步中发生的事情进行重新建模，尽管可以想象出更复杂、更一般的规则。B.时间线为了满足所有因果约束，必须仔细为企业和家庭的行动制定一致的时间顺序。模型产生的时间线如图3所示。每个时间步长δt（下文δt=1）被方便地分为三个连续的“时段”，如图3中的方框所示。在时间的尽头-1.商品已经生产并可供消费，数量为yi（t），价格为pi（t）。计划（1）预测（2）生产目标（3）发布需求。交换和更新（1）雇佣和工资支付（2）交易（3）价格和工资更新。生产（1）生产开始（2）库存更新（3）价格重新调整。3： 模型的时间线。1.

计划在任何给定的时间，企业必须计划下一个时期的产量。为了抓住这一点，我们保持了与我们模型的原始版本（等式（III.1b）中完全相同的调整规则，但现在使用的是预期利润Et[πi]和期末超额生产Et[Ei]，我们在下文中详细说明。因此，时间t+1的目标产量byi（t+1）是使用log设置的裴（t+1）易（t）= 2βEt[πi（t）]Et[Gi（t）]+Et[Li（t）]- 2βEt[Ei（t）]Et[Si（t）]+Et[Di（t）]，（IV.1）其中Gi（t）表示销售收益（“收益”），Li（t）生产成本（“损失”），Di（t）货物i的总体需求，以及Si（t）货物i的供应，这在时间t时企业已经知道，因此Et[Si（t）]≡ Si（t）。一旦确定了t+1的目标产量，根据toEq（II.5）计算相应的数量Bxijar。然后，考虑到i公司当前所述投入的库存，i公司发布其在时间t交付的投入j需求，并使用规则XDIJ=最大值（0，bxij）- Iij）i=1，Nj=1，Nbxi0i=1，Nj=0。（IV.2）因此，如果库存充足，企业将倾向于从中提取，而不是购买新的投入。与此同时，家庭计算他们自己的消费目标，如下所述，并且考虑到劳动力的数量，他们还决定他们愿意提供多少劳动力，我们称之为Ls（t），这个数量现在可能不符合充分就业。2.交易所和价格/工资更新此时，企业开始从就业市场雇佣工人，尽管不超过工作总供给，即\'i（t）=\'di（t）min1，Ls（t）Ld（t）; Ld（t）：=Xi`di（t），（IV.3），其中`i是第一家公司承包的实际工作量。

工人的工资p（t）与他们的雇主无关。按照惯例，我们规定，在雇佣时立即支付工资——不管有什么技术问题，倾向于确定依赖性工资的模式将是有趣的，但需要超越家庭部门的代表性代理描述。由于投入不足而导致的未来失业——这使得家庭能够计算当前时期的可用预算：B（t）=S（t）+p（t）Xi`i（t），（IV.4）S（t）家庭储蓄。家庭对商品的需求Cdi（t）在第四节D中计算。现在可以开始交易，企业可以通过这种方式销售产品并购买他们所需的商品，以满足约束条件，即销售的商品总量不能超过生产加库存，即：。Ci（t）+Xjxji（t）≤ Si（t）≡ 易（t）+Iii（t）。（IV.5）如果需求超过供应，买家会根据其公布的需求按比例得到满足，因此有效交换的数量x由xji（t）=xdji（t）min给出1，Si（t）Di（t）; Di（t）：=Cdi（t）+Xjxdji（t），（IV.6），其中Di（t）是在t时对良好i的总需求。Ci（t）的等式稍微复杂一些，因为我们不允许家庭获得债务，见下面的等式（IV.30）。此时，企业对其收入和支出有了确切的了解。他们在t轮的优势现在可以计算为：πi（t）=pi（t）Xjxji（t）+Ci（t）-Xjpj（t）xij（t）+p（t）`i（t）:= Gi（t）-Li（t），（IV.7）公司也知道他们实际登记的超额供应或需求量：Ei（t）=Si（t）-Di（t）。（IV.8）实现的利润和供需失衡会产生价格更新。我们将其描述为inEq。