企业网络中的失衡动态与过度波动

（v） 这些结果允许用ψeq，i=uθipeq，iγeq，j=uεhrN |ψeqilN，j+uN写出平衡乘积-1Xν=1hrν|ψeqiρN- ρνlν，j- εuN-1Xν=1hrν|ψeqi（ρN）- ρν）lν，j+εuN-1Xν=1hrν|ψeqi（ρN）- ρν）lν，j- εuN-1Xν=1hrν|ψeqi（ρN）- ρν）lν，j=ulN，jnXs=1rn，sθsπl-1（V）s+εunXs=1（N-1Xν=1lν，jrν，sθs（ρN- ρν）πl-1（V）s-lN，jrn，sθsπl（V）sπl-1（V）s）+εunXs=1（πl（V）sπl-1（V）s+πl（V）sπl-1（V）s-N-1Xν=1lν，jrν，sθs（ρN- ρν）πl-1（V）sρN- ρν+πl（V）sπl-1（V）s)+ εunXs=1（N-1Xν=1lν，jrν，sθs（ρN- ρν）πl-1（V）sπl（V）sπl-1（V）s+πl（V）sπl-1（V）s+πl（V）s（ρN）- ρν）πl-1（V）s+（ρN- ρν）πl-1（V）s:= uf0，j+εuf1，j+εuf2，j+εuf3，j.（1.b）2。稳定性阻塞下一步是扰动稳定性矩阵本身。这不会产生特别的困难，但计算有点长，所以我们只给出不同块的结果。我们用τgk表示zγ展开式的系数，其中τi=ρNeN，i/heN | V i表示无向网络。

我们有（D（0））ij=-αρNMij（D（1））ij=-αμθiτiπl-1（V）iδij+αρNMij-αρNδij（D（2））ij=+αμθiτiπl-1（V）ig1，i+πl（V）iπl-1（V）iδij-αρNMij+αρNδij（D（3））ij=-αμεθiτiπl-1（V）ig1，i- g2，i+πl（V）iπl-1（V）ig1，i+πl（V）iπl-1（V）i+πl（V）iπl-1（V）i!δij+αρNMij-αρNδij（D(-1） ）ij=-απl-1（V）iτiMji（D（0））ij=ατiMjiπl-1（V）ig1，i- πl（V）i- πl-1（V）iδij（D（1））ij=ατiMjiπl-1（V）ig1，i+2πl-1（V）ig1，ig2，i+πl（V）ig1，i- πl-1（V）ig2，i- πl（V）i+πl-1（V）ig1，i- πl（V）iδij（D（2））ij=ατiMjiπl（V）ig1，i+πl（V）i- πl-1（V）ig3，i+g1，i+ πl（V）ig1，我- g2，我+πl-1（V）ig1，我- g2，我- πl（V）ig1，i- πl（V）iδij,（D（1））ij=μβf0，iρNπl-1（V）iMij（D（2））ij=μβf0，iρNg1，iπl-1（V）i-πl（V）i（πl）-1（V）i）+g1，iρN-πl（V）iρNπl-1（V）iMij+πl-1（V）iδij- βμθiρNπl-1（V）iδij（D（3））ij=μβf0，iρN米吉πl（V）i（πl）-1（V）i）+（πl（V）i）（πl）-1（V）i）-πl（V）i（πl）-1（V）i）g1，i+g1，iρNπl-1（V）i-πl（V）iρN（πl）-1（V）i）+g1，iπl-1（V）i-πl（V）i（πl）-1（V）i）+ρNg1，我-πl（V）iπl-1（V）iδij+ βμθiρNπl-1（V）i2πl（V）iπl-1（V）i+ρNδij，（D（0））ij=-βρNMij（D（1））ij=βρNMij-βρNδij（D（2））ij=-βρNMij+βρNδij（D（3））ij=βρNMij-βρNδij。附录D：价格和产出的临界波动性与波动1。边缘稳定线性随机系统的一般计算在本节中，我们考虑由线性随机方程DU（t）dt=DU（t）+ξ（t），（D.1）给出的向量U（t）的一般演化，其中D是实N×N矩阵，ξ（t）是高斯相关噪声，使得hξi（t）i=0（D.2）hξi（t）ξj（s）i=2σδijG（|t）- s |）。（D.3）我们假设动力矩阵D是可对角化的，其实特征值为λ≤ λ≤ ··· ≤ λN-1<λN:=-ε < 0.负特征值意味着系统是稳定的，即hkU（t）ki→ 0作为t→ ∞ 对于任何初始条件。我们假设ε→ 结果表明，U（t）的波动率随着ε的增加而增加-1/2. 我们引入与λν相关的特征向量eν，并将U表示为对角线基（t）=NXν=1uνeν。

（D.4）将这个表达式注入（D.1）中，我们得到了对角基上U（t）分量的演化方程dTuν=λνUν+ξ（t）·eν。（D.5）具有复特征值的情况得出了相同的结论。我们必须只考虑这样一个事实，因为D是实的，所以特征值和特征向量是共轭的，所以它们是实部中最小的两个特征值。我们用实部代替λ，对特征值进行相同的排序。我们可以给出这些分量suν（t）=eλνt的显式解uν（0）+ztte-λνsξ（t）·eν, （D.6）并将重点放在不均匀性上，因为这是产生ε的成分-1/2-波动性。为此，我们计算uN（t）的平均值- 匈奴（t）伊顿（t）- huN（t）iE=e-2εt*uN（0）+Ztdsεsξ（s）·eN+- uN（0）e-εt=e-2εtuN（0）+2uN（0）Ztds eεshξ（s）·eNi+zdsseε（s+s）h（ξ（s）·eN）（ξ（s）·eN）i- uN（0）e-εt=e-εtXj，keN，jeN，kzdsseε（s+s）hξj（s）ξj（s）i=2σkeNke-εtzdseε（s+s）G（|s）- s |），我们替换τ=s- s积分中的s得到=2σkeNke-εtZtdse2εsZs-tdτe-ετG（τ）。利用τ积分中指数项的快速衰减，我们可以扩展积分域。。。≈ 2.肯克-εtZtdse2εsZ∞dτe-ετG（τ），。。。然后用一个近似为零的指数余数进行积分≈σkεZ∞dτe-ετG（τ）。将beτξ表示为G的典型相关时间，我们可以看到o如果ετξ 1（意味着G在短时间尺度上相关）然后G（τ）~ δ（0）等于∞dτe-ετG（τ）≈ 1，o如果ετξ 1（意味着G在长时间尺度上相关）然后G（τ）~ G（0）关于指数函数如thatZ的衰减时间∞dτe-ετG（τ）≈G（0）ε。最后，U（t）的波动性表现为Ardun（t）- 匈牙利（t）iE∝ε-1/2ifετξ 1ε-1ifετξ 1.（D.7）还要注意的是，这个结果推广到离散时间过程（这在我们提出的一般ABM的情况下是有意义的）Ut+1=DUt+ξt。（D.8）边际稳定性条件可以写成λN=1- ε与ε→ 0

根据量子位τ的行为，我们可以进行同样的计算并得出同样的结果≥0(1 -ε） τG（τ）。或者更一般地，对于复数特征值λN=rNeiθnw，其中rN=1- ε.2. 生产率因子上高斯冲击引起的波动率的计算如果我们考虑生产率因子上的冲击zi（t）=zi+ξi（t）与前面给出的ξ（t）一样，我们可以在与均衡的小偏差和小冲击中线性化原始模型的动力学。我们用形式为Ξ（t）的噪声检索readsdU（t）dt=DU（t）+Ξ（t），（D.9）的随机方程=-α+αzipeqo ξ（t）β-βziγeqo ξ（t）！~ε→0-α+αερN（`N·V）rNo ξ（t）β-β（`N·V）ρNlNo ξ（t）！，（D.10）使用C的符号。这种噪声的相关性比之前的HΞi（t）Ξj（s）i=σG（|t）稍微复杂一些-s |）×δij（α+α）（`N·V）ρNrN，irN，jε-2如果i，j≤ nδijβ-β（`N·V）ρNlN，ilN，jif i，j>n-δi，j-n（β-β） （α+α）ρNrN，ilN，jε-1如果我≤ n、 j>n-δi-n、 j（β）-β） （α+α）ρNlN，irN，jε-1如果i>n，j≤ n、 （D.11）具有无向网络两个特征值的朴素模型的动力学矩阵产生σ±n=k±ε→ 对于无向网络，0具有相关特征向量∑±N=（eN，ν±ε）>。我们假设β<βcso，边缘特征值及其特征向量都是实的。因此，在ε的前导顺序上，U（t）的边缘成分的波动性表现为ε-3/2. indeedu±N（t）-u±N（t）E=σ（k±）ε（α+α）（eN·V）ρNH（eN）Z∞dτe-ετGτν±,其中H代表反向参与率。以ε表示波动率-1/2我们可以通过peq，i（分别为γeq，i）重新缩放δpi（t）（分别为δγi（t））。

用R2N的正则向量表示，我们有varδpi（t）peq，i= P-2eq，iVarNXk=1τ=±uτk（t）（∑±k·wi）≈ε→0εt1εeN，i（eN·V）Varu+N（t）eN，i+u-嗯，我=ε（eN·V）变量u+N（t）+ 变量U-N（t）+ 2Covu+N（t），u-N（t）∝ε;变量Δγi（t）γeq，i= γ-2eq，iVarNXk=1τ=±uτk（t）（∑±k·wi+N）≈ε→0εt1（eN·V）eN，iVaru+N（t）ν+εeN，i+u-N（t）ν-εeN，i= （eN·V）ε（ν+）Varu+N（t）+ (ν-)变量U-N（t）+ 2ν+ν-冠状病毒u+N（t），u-N（t）∝ε.（a） d-正则随机网络（b）无标度网络（c）实IO网络图。19：不同类型的网络。最初的网络是定向的，但为了清晰起见，我们省略了链接的方向。左图：n=500家公司的随机4-正则网络。输入和输出链接的数量固定为d=4。中间：n=500家公司的Scalefree网络。输入和输出链接的数量遵循帕累托分布，参数uin=1.29，uout=1.25（来自Carvalho等人（2020））。右：从FactSet数据集推断的输入输出网络。链接对应于2012年至2015年之间的现有供应商-买方关系。这些网络用Garc'a-P'erez等人（2019）中描述的嵌入表示。附录E：真实世界网络正如在第五章开头提到的，随机规则网络是真实交互网络的粗略理想化。人们对真实网络进行了广泛的研究（例如，Atalay等人（2011年）、Bernard和Moxnes（2018年）、Carvalho等人（2020年）），并显示出一致的拓扑特征，如分布在顶点内外的幂律。图19显示了常规网络和现实网络之间的拓扑差异，以及无标度网络的高亮度相似性。为了构建19c网络，我们使用FactSet供应链关系数据库来构建供应链网络。

FactSet数据集（FactSet（2021））包含企业之间的关系数据列表，说明企业a和企业B是否有客户/供应商关系，是否存在竞争关系或是否有合资企业。它通过收集主要公共来源的信息构建，如SEC 10-K年度报告、投资者陈述和新闻稿，涵盖约23000家上市公司，拥有超过325000个关系。由于这些关系是从向公众发布的数据中推断出来的，因此我们无法确定它是否是一个详尽的数据库，包含了企业之间的所有关系，而是企业本身认为重要的关系子集。企业之间的这种联系在时间上有一个固定的持续时间，因此有一个开始和结束日期。在我们的研究中，我们选择了2012年至2015年间的客户/供应商关系。这允许我们构建一个图G，其中一个链接i→ 当我被报告为j的供应商或j被报告为i的客户时，jexists。此外，由于这个图不是完全连通的，我们提取了它最大的强连通分量。即使改变网络时相图不会发生质的变化，但一个相内的动力学特征取决于相互作用的结构。作为一个例子，我们在图19c所示的网络上运行我们的模型，ε=10和ε=-3.结果如图20所示。虽然平衡（无论是竞争性的还是非竞争性的）是以某种类似于规则网络的方式达到的，但由于内外度的不均匀性，振荡模式更加无序。最后，另一个与网络拓扑密切相关的影响值得一提。在随机监管网络的情况下，企业总是由至少一家企业提供。然而，企业可以使用劳动力作为投入。

在模拟劳动力供应企业的无标度网络的动态时，我们发现，当出现任何波动均衡时，只有一小部分企业存活下来，而其他企业则看到它们的价格呈指数级上升，产量直线下降。存活下来的企业是那些在供应商网络上只会导致劳动力供应企业的企业。0 20 40 60 80 100 120 14001δp（t）×10-20 50 100 150 200 250 300 350 400t0。02.55.0δp（t）（a）ε=100 1000 2000 3000 4000 500010271059p（t）4500 4600 4700 4800 4900 5000t101010121014p（t）（b）ε=-3图。20：网络上的动态示例19c。（a） ε=10的动力学。顶部：向平衡方向放松。底部：振荡模式。相对于随机规则网络，振荡是非常无序的。（b） ε=-3.顶部：一些公司的淬火爆炸振荡。底部：放大上一个时间序列的最后500个时间步。暗线对应于一家随机挑选的公司。附录F：模拟代码1。对象模拟使用面向对象的方法。每个对象都有属性（模型的参数，或我们可以从参数推断的其他数量），以及执行更复杂任务的方法。我们的模拟中有四个对象。前两个是公司和家庭类别，对应于我们模型中的小型实体（代理）。经济类包含模型的所有静态信息——本质上是描述代理之间互动的不同参数——以及企业和家庭类的实例。最后，dynamics类通过存储价格、产品等的时间序列以及允许模型在时间上向前移动的不同方法来处理模型的演化；DynamicClass包含用于模拟的经济类的实例。

在我们的框架中，类需要彼此之间才能正常工作。例如，企业需要知道投入产出网络，才能计算出它们的最优数量，如II所示。5.因此，一些方法在其参数中采用类的实例，就像ine一样。g、 企业类的计算最优数量方法。我们在程序1中详细介绍了最后一种方法。程序1公司类别类Firmsattributesz:1d数组。生产率因子α：1d阵列。价格对剩余α：1d数组的对数弹性系数。将价格的弹性系数记录到β：1d数组中。将产品的弹性系数记录到β：1d阵列中。对数生产剩余弹性系数ω：浮动。工资对劳动力市场紧张度的对数弹性系数方法1D数组更新价格（p（t）、S（t）、D（t）、G（t）、L（t））。根据（IV.9）浮动更新工资（Ls（t），Ld（t））更新价格。根据（IV.10）1d阵列计算目标（p（t）、Et[x（t）]、S（t）、γ（t））更新工资。根据（IV.1）4d阵列计算预测（p（t），Et[x（t）]，S（t））计算目标。根据（IV.18，IV.17）计算预测，1d阵列计算最佳数量（^γ（t），p（t），经济性）。根据（II.5）4d数组计算最佳数量计算利润平衡（p（t），xe（t），S（t），D（t））。根据（IV.7、IV.8）最终类别2计算利润和余额。伪代码执行时间线的一个步骤在过程2中，我们提供了一个伪代码来执行模型的一个时间步。为了获得完整的动态，在仔细初始化之后，在时间T内循环这个过程。要进行初始化，需要为动力学提供价格pi（t=1）、工资p（t=1）、生产水平γi（t=1）、目标γi（t=2）、库存Iij（t=1）和储蓄S（t=1）的初始值。还需要由住户进行初步规划，以确定E[Cd（t=1）]和Ls（t=1）的值。

整个初始化和循环过程2都封装在一个类dynamics中。此类存储最基本数量（价格、需求矩阵等）的整个历史记录并对所有不可操作的数量（产品、目标、产品等）使用重建方法。这样，算法更快，占用内存更少。最后，程序2与实际实现进行了比较。考虑到复杂性问题，过程2的大多数循环都是通过矩阵乘法在一行中实现的。使用结果(M）ij=伊米贾德（M)ij=jjMijwith 绝热矩阵，可以实现从需求量到交换量asx（t）的过程=闵1，B（t）Pipi（t）Cdi（t）min（1，Si（t）/Di（t））, 1.1.xd（t）闵1，Ls（t）Ld（t）, 闵1，S（t）D（t）, . . . , 闵1，序号（t）DN（t）我们使用约定xd=xe=0。最后，我们用ini（分别为。outi）一号企业的供应商（分别是买方）集合。程序2基本时间步长第1阶段-规划输入：所有企业的Ls（t）、γ（t）、p（t）、i（t）、x（t）← ziγi（t）+Iii（t）^γi（t+1）← 计算目标（p（t），Et[x（t）]，Si（t），γi（t））。根据forecastsbx（t）计算目标← 计算所有公司的最优数量（^γ（t+1）、p（t）、经济性i doxdi0（t）：=`di（t）← bxi0（t）适用于所有j公司∈ inidoxdij（t）← 最大值（0，bxij）- Iij）输出：Si（t）、^γi（t）、bx（t）、xd（t）、d（t）、S（t）第2阶段-交换和更新输入：Si（t）、bx（t）、xd（t）、d（t）、Cdi（t）、Et[B（t）]，适用于所有公司i doxi0:=\'i← `迪明1，Ls（t）Ld（t）. 雇佣工人B（t）← S（t）+Pni=1`ei（t）。为所有公司支付工资i doxd0i:=Cdi（t）← Cdi（t）ν + (1 - ν） 闵1，B（t）Et[B（t）]. 家庭调整其消费需求（本文中的ν=1）Di（t）←Pj∈outixdji（t）。

公司计算所有公司的总需求∈ outidoxji← xdjimin1，Si（t）Di（t）. 交换货物的方式是不公开的（t）← Cdimin1，Si（t）Di（t）闵1，B（t）p（t）·Ce（t）. 家庭按预算消费i（t），Li（t）← pi（t）Pj∈欧提克吉（t），Pj∈inixeij（t）pj（t）S（t+1）← B（t）- p（t）·Ce（t）。家庭为所有公司节省未用资金← xi0（t）。可用于生产的劳动力是所有j公司雇佣的劳动力∈ 伊尼多沙伊（t）← xij（t）+min（bxij（t），Iij（t））。可用商品取决于交易所和当前库存SP（t+1）← 更新日志（Ls（t），Ld（t），ω）。所有公司的工资都会更新（t+1）← 更新价格（Si（t）、Di（t）、Gi（t）、Li（t）、α、α、β、β）。价格更新输出：xe（t）、xp（t）、S（t+1）、B（t）、p（t+1）、Gi（t）、Gi（t）第三阶段-生产输入：S（t+1）、B（t）、p（t+1）、Gi（t）、Gi（t）、Gi（t）、xe（t）、xp（t）、bx（t）、I（t）对于所有我做γI（t+1）的公司← 生产函数[xaij]j∈伊尼. 生产开始（t）← E-σiSi（t）-Pj∈欧提克吉. 如果q=0，公司会为自己的利益更新库存。如果经济不景气，企业除了自己的商品外，还需要储备其他商品吗？← 阿格明杰[xpij]j∈伊尼对于所有j公司∈ 伊尼多谢伊（t）←吉吉吉？xpij？（t） Iij（t+1）=e-σj沙伊（t）- 徐杰（t）对于所有公司，i dopi（t+1）← pi（t+1）/p（t+1）。价格更新为B（t）、S（t+1）、p（t+1）← B（t）/p（t+1），S（t+1）/p（t+1），1。重新调整货币数量CDI（t+1），Ls（t+1）← 计算需要劳动力（S（t），Ls（t），Ld（t），p（t+1），ω，ν）。家庭开始计划产出：B（t）、S（t+1）、p（t+1）=1、pi（t+1）、γi（t+1）、Cdi（t+1）、Ls（t+1）、i（t+1）