一种计算高维风险平价投资组合的快速算法

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英文标题：
《A Fast Algorithm for Computing High-dimensional Risk Parity Portfolios》
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作者：
Th\\\'eophile Griveau-Billion, Jean-Charles Richard and Thierry Roncalli
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper we propose a cyclical coordinate descent (CCD) algorithm for solving high dimensional risk parity problems. We show that this algorithm converges and is very fast even with large covariance matrices (n > 500). Comparison with existing algorithms also shows that it is one of the most efficient algorithms.
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中文摘要：
本文提出了一种求解高维风险奇偶性问题的循环坐标下降（CCD）算法。我们证明了该算法的收敛性，并且即使在协方差矩阵较大（n>500）的情况下也非常快。与现有算法的比较也表明它是最有效的算法之一。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> A_Fast_Algorithm_for_Computing_High-dimensional_Risk_Parity_Portfolios.pdf (508.84 KB)

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关键词：投资组合 速算法 Quantitative Optimization Dimensional

一种计算高维风险平价投资组合的快速算法*格里沃亲王定量研究莱克索资产管理公司，巴黎亲王。格里沃-billion@lyxor.comJean-Charles Richard定量研究Lyxor资产管理，巴黎。richard@lyxor.comThierryRoncall定量研究Lyxor资产管理公司，Paristhierry。roncalli@lyxor.comSeptember2013年摘要本文提出了一种循环坐标下降（CCD）算法来解决高维风险奇偶性问题。我们证明了即使在协方差矩阵较大（n>500）的情况下，该算法也收敛且速度非常快。与现有算法的比较也表明，它是最有效的算法之一。关键词：风险平价、风险预算、ERC投资组合、周期坐标下降算法、SQP算法、雅可比算法、牛顿算法、内斯特罗夫算法。JEL分类：G11，C60。1简介在本文中，我们关注风险平价（或风险预算）投资组合。其基本思想是按风险而不是按资本进行分配。在这种情况下，投资组合经理定义一组风险预算，然后计算投资组合的权重，以便风险贡献与风险预算相匹配。从数学角度来看，风险预算（或RB）投资组合定义如下（Roncali，2013）：RCi（x）=biR（x）bi>0xi>0Pni=1bi=1Pni=1xi=1*我们感谢Florin Spinu为我们提供了他关于牛顿-内斯特罗夫算法的代码，并对风险平价优化进行了模拟讨论。计算高维风险平价组合的快速算法，其中xi是资产i的权重，x=（x，…，xn）是组合权重的向量，bi是资产i的风险预算。

R（x）是投资组合x的风险度量，其中SRCI（x）是资产i对投资组合x的风险贡献。解决上述问题的第一个途径是找到投资组合x，即：RCi（x）bi=RCj（x）BJ Maillard等人（2010）在ERC投资组合的情况下探索了这一途径。他们建议使用SQP算法最小化平方差之和。然而，该算法非常耗时，对于高维问题，即当资产数量n大于200时，该算法并不总是收敛。另一个途径是考虑替代优化方案（Roncali，2013）：y？=arg min R（y）（1）u.c。Pni=1ln-yi≥ 赛≥ 其中c是任意常数。那么RB的解是x？=是吗/>Y因为预算限制1>x=1。Chaves等人（2012年）使用第二个公式定义牛顿算法。在最近的一篇论文中，Spinu（2013）注意到目标函数是自协调的，从而改进了算法的收敛性。在这种情况下，可以使用Nesterov（2004）开发的工具。据我们所知，牛顿算法是迄今为止求解高维风险平价投资组合的最佳算法。在本文中，我们提出了另一个竞争算法，注意到优化问题（1）是非常标准的。它是具有对数障碍的二次函数的最小化。这就是为什么我们考虑在机器学习中使用循环坐标下降算法来解决具有不可微分约束的回归问题。似乎该方法非常容易实现，并且非常有效地解决高维风险平价投资组合（n>250）。2循环坐标下降算法循环坐标下降（CCD）算法背后的主要思想是最小化函数f（x。

，xn），而经典下降算法则同时考虑所有方向。在这种情况下，我们通过将xjforj 6=i取的值视为固定值，找到了使目标函数最小化的xi值。该过程在每个方向重复，直到达到全局最小值。该方法使用与高斯-赛德尔或雅可比算法相同的原理来求解线性系统。坐标下降法的收敛性要求f（x）严格凸且可微。然而，Tseng（2001）将收敛性扩展到了一类不可微函数：f（x，…，xn）=f（x，…，xn）+mXk=1fk（x，…，xn）（2）当风险预算相同（bi=bj=n）时，ERC（或同等风险贡献）投资组合是风险预算投资组合的特例。一种计算高维风险平价组合的快速算法，其中F是严格凸且可微分的，函数是不可微分的。一些特性使得该算法非常有吸引力。首先，它很容易理解和实现。此外，该方法对于解决大规模问题是有效的。这就是为什么它在机器学习理论中用于计算约束回归或支持向量机问题（Friedman et al.，2010）。另一个优点是，与基于梯度的方法相比，该方法不需要步长下降调整。备注1该算法已用于计算范数约束的均值-方差优化，因为该问题非常接近套索回归（Yen and Yen，2013）。2.1算法的推导让我们在风险度量为投资组合波动率的情况下推导算法。问题（1）的拉格朗日函数由以下公式给出：L（x；λ）=arg min√x> ∑x- λnXi=1biln xi（3）在不丧失一般性的情况下，我们可以fixλ=1。

一阶条件如下： L（x；λ） xi=（σx）iσ（x）-最好的情况下，我们有xiL（x；λ）=0或：xi·（∑x）i- biσ（x）=0由此得出：xiσi+xiσiXj6=ixjρi，jσj- biσ（x）=0根据RB投资组合的定义，我们得出xi>0。我们注意到多项式函数是凸的，因为σi>0。因为根的乘积是负的，所以我们总是得到两个符号相反的解。我们推断解是二次方程的正根：x？我=-σiPj6=ixjρi，jσj+rσiPj6=ixjρi，jσj+ 4biσiσ（x）2σi（4）如果（x，···，xn）的值是严格正的，那么x？绝对肯定。如果起始值为正值，则在每次迭代后获得解的正性。坐标下降算法包括迭代方程（4）直到收敛。注2：由于函数（3）验证了应用Tseng（2001）定理5.1所需的技术假设（B1）-（C2），因此获得了之前算法的收敛性。备注3：我们注意到，如果一些风险预算设置为零，则算法没有得到很好的定义。这加强了风险预算问题的具体化，并对bi进行了严格的正面评估。我们有-biσiσ（x）<0。计算高维风险平价组合的快速算法我们可以提高算法的效率，因为某些数量可能很容易更新。如果我们把等式（4）改写如下：x？我=-（∑x）i+xiσi+q（∑x）i- xiσi）+4σibiσ（x）2σi我们推断，在算法的每次迭代中必须计算∑x和∑（x）。Wenote x=（x，…，xi）-1，xi，xi+1，xn）和∧x=（x，…，xi-1，x？i、 xi+1，xn）更新ithweight xi前后的权重向量。简单代数表明：∑≈x=∑x- Σ.,ixi+∑。，i~xind:σ（~x）=qσ（x）- 2xi∑i，。x+xiσi+2xi∑i，。~x- ~xiσi在∑i处，。和∑。，i是∑的行和列。

因此，更新∑x和∑（x）很简单，只需计算两个向量积。这些操作大大减少了算法的计算时间。2.2基于标准差的风险度量的扩展Calli（2013）考虑了基于标准差的风险度量：R（x）=-u（x）+c·σ（x）=-x> u+c·√x> ∑xIn在这种情况下，循环坐标下降算法的更新步骤变为：x？我=-CσiPj6=ixjρi，jσj+ uiσ（x）+rCσiPj6=ixjρi，jσj- uiσ（x）+ 4cbiσiσ（x）2cσi3性能比较在本节中，我们比较了五种算法的效率：SQP算法与BFGSupdate、雅可比算法、牛顿算法、Nesterov算法和CCDalgorithm。为了获得可比较的结果，我们使用相关矩阵而不是协方差矩阵，并且我们假设每个算法都是用等权投资组合初始化的。我们也使用相同的收敛准则。当归一化风险贡献满足以下不等式时，该算法停止：supi（RC？i- bi）≤ 10-8我们考虑了Cazalet等人（2013）在1989年12月至2012年12月期间对Eurostoxx 50指数和标准普尔500指数的智能测试应用。对于每个资产领域，我们每月计算ERC投资组合。在表1和表2中，我们报告了一些关于收敛性和计算时间的统计数据（以百分之一秒为单位）。关于这些算法的详细信息，请参见附录A，因为根据波动率调整权重可以得到RB投资组合。数值测试使用编程语言Gauss 10、Intel T8400 3 GHz Core2 Duo处理器和3.5 GB RAM完成。计算高维风险平价组合的快速算法表示收敛频率，`T是每次迭代的平均计算时间，而Tmax是计算时间的最大值。

我们注意到，SQP算法是最慢的算法，并且不会在所有重新平衡日期收敛。对于雅可比算法，我们也观察到了同样的收敛问题。因此，在标准普尔500 ERC回溯测试的情况下，它只收敛了70次。就速度而言，雅可比法是最快的方法，在资产数量较少（n=50）时紧随其后的是牛顿算法，在资产数量较多（n=500）时紧随其后的是CCD算法。表1:Eurostoxx 50 ERC回溯测试统计数据SQP Jacobi Newton Nesterov CCDps94的结果。96 92.02 100.00 100.00 100.00 T 2.00 0.04 0.04 0.05 0.12Tmax4。70 1.60 1.60 1.60 1.60表2:S&P 500 ERC回溯测试统计结果Jacobi Newton Nesterov CCDps69。14 100.00 100.00 100.00吨1.15 17.90 38.78 4.33Tmax18。80 21.90 54.70 9.40我们现在考虑第二次申请。利用Davies和Higham（2000）的算法，我们模拟了相关矩阵，使得奇异值是算术分布的。表3给出了不同大小n值的ERC投资组合的计算时间。我们注意到雅可比算法不收敛。我们还观察了牛顿（或内斯特罗夫）算法的计算时间是如何随着线性系统方程导致的宇宙大小而变化的。因此，当资产数量大于250时，CCD算法比牛顿算法效率更高（见图1）。表3：模拟相关矩阵的计算时间n Jacobi Newton Nesterov CCD500 NC 24 37 131000 NC 215 384 451500 NC 790 1575 110备注4之前的数值结果对编程语言和用于计算牛顿步长的算法敏感：xk=xf（xk）-1.xf（xk）。

例如，求解线性系统更好xf（xk）xk=xf（xk）使用Cholesky分解，而不是计算对称正定义矩阵的逆xf（xk）。此外，CCD算法的计算时间取决于编程语言在循环方面的效率。例如，牛顿算法比Matlab和R中的CCD算法更快，因为它们的环路实现较差。如果我们使用逆矩阵，牛顿算法的计算时间是35.40秒，而不是上一个例子中n=1500的7.90秒。计算高维风险奇偶校验组合的快速算法图1：计算时间与大小相反，在本机编程语言（C或Fortran）和高斯中，CCD算法比牛顿算法快。参考文献[1]Bruder B.和Roncalli T.（2012），使用风险预算方法管理风险敞口，SSRN，www.SSRN。com/abstract=2009778。[2] Cazalet Z.，Grison P.和Roncalli T.（2013），智能Beta索引拼图，SSRN，www.SSRN。com/abstract=2294395。[3] Chaves D.B.，Hsu J.C.，Li F.和Shakernia O.（2012），计算风险平价投资组合权重的有效算法，投资杂志，21（3），第150-163页。[4] Davies P.I.和Higham N.J.（2000），《相关矩阵及其因子的数值稳定生成》，比特数值数学，7（2），第163-182页。[5] Friedman J.，Hastine T.和Tibshirani R.（2010），通过坐标下降的广义线性模型的正则化路径，统计软件杂志，33（1），第1-22页。[6] Maillard S.，Roncalli T.和Te"iletche J.（2010），《等权风险贡献投资组合的性质》，投资组合管理杂志，36（4），第60-70页。[7] 内斯特罗夫Y。

（2004），《凸优化入门讲座：基础课程》，应用优化，87年，Kluwer学术出版社。计算高维风险平价投资组合的快速算法[8]Roncalli T.（2013），《风险平价和预算简介》，查普曼和霍尔/CRC金融数学系列。[9] Roncalli T.（2013），《将预期收益引入风险平价投资组合：战术和战略资产配置的新框架》，SSRN，www.SSRN。com/abstract=2321309。[10] Spinu F.（2013），计算风险平价权重的算法，SSRN，www.SSRN。com/abstract=2297383。[11] 曾平（2001），不可微极小化的块坐标下降法的收敛性，最优化理论与应用杂志，109（3），第475-494页。[12] Yen Y.M.和Yen T-S.（2013），通过坐标下降算法解决范数约束的投资组合优化，计算统计和数据分析，即将出版。在下面的一个现有算法中，当风险度量R（x）是投资组合波动率σ（x）时，我们考虑标准风险平价方法。最初的算法是为了计算ERC投资组合而开发的，但RB投资组合的扩展非常简单。A.1 SQP算法Maillard等人（2010）建议通过考虑以下优化问题来计算RB投资组合：x？=arg minnXi=1nXj=1RCi（x）bi-RCj（x）bju、 c.1>x=1和0≤ 十、≤ 1这个凸问题可以用序列二次规划（或SQP）算法来解决。然而，通过考虑对目标函数x？=arg minnXi=1xi（σx）iσ（x）- 毕u、 c.1>x=1和0≤ 十、≤ 在这种情况下，我们可以解析地计算相关的梯度矩阵和Hessian矩阵，以加快计算时间。A.2雅可比算法假设βi（x）是资产i相对于投资组合x的β。

我们有：βi（x）=（∑x）iσ（x）计算高维风险平价投资组合的快速算法在RB投资组合中，β的数量与风险预算成正比：xiβi（x）∝ biChaves等人（2012年）建议使用雅可比幂法来确定定点。它包括迭代前面的公式：xi，k+1=bi/βi（xk）Pnj=1bj/βj（xk），其中k是迭代指数。这里，βi（xk）值是相对于组合xk计算的，并用于计算新的权重xk+1。A.3牛顿-内斯特罗夫算法Chaves等人（2012年）提议将牛顿法应用于问题（1）。然而，该算法可能存在一些难以收敛的问题，尤其是当资产数量较大且相关性之间的差异较大时。Spinu（2013）注意到关联的拉格朗日函数（3）是自协调的，并建议使用Nesterov（2004）开发的理论来提高算法的效率。A.3.1具有自协调函数的牛顿算法Nesterov（2004）考虑了以下优化问题：*= 阿格水貂∈当f（x）是自协调的时，dom ff（x）。让我们将λf（x）定义如下：λf（x）=qxf（x）>[xf（x）]-1.xf（x）Nesterov（2004）证明了当λf（x）<1且Hessian不退化时，问题的解存在且唯一。此外，他还推导了牛顿算法的二次收敛区域，其定义如下：λf（x）<λ*λ在哪里*=3.-√/2.在这种情况下，可以保证λf（xk+1）<λf（xk），其中xk是迭代k时的牛顿解。最后，应用于自协和函数的牛顿算法变为：1。阻尼相位λf（xk）≥ β其中β∈ [0, λ*], 我们应用以下迭代：xk+1=xk-1+λf（xk）xkwherexk=xf（xk）-1.xf（xk）。2。二次相位当λf（xk）<β时，我们采用标准牛顿迭代：xk+1=xk- xkLetφ（x；t）=f（x+tu），其中x∈ domf和u∈ 注册护士。