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英文标题：
《Modelling the skew and smile of SPX and DAX index options using the
  Shifted Log-Normal and SABR stochastic models》
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作者：
Jan Kuklinski, Doinita Negru and Pawel Pliszka
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We discuss modelling of SPX and DAX index option prices using the Shifted Log-Normal (SLN) model, (also known as Displaced Diffusion), and the SABR model. We found out that for SPX options, an example of strongly skewed option prices, SLN can produce a quite accurate fit. Moreover, for both types of index options, the SLN model is giving a good fit of near-at-the-forward strikes. Such a near-at-the-money fit allows us to calculate precisely the skew parameter without involving directly the 3rd moment of the related probability distribution. Eventually, we can follow with a procedure in which the skew is calculated using the SLN model and further smile effects are added as a next iteration/perturbation. Furthermore, we point out that the SLN trajectories are exact solutions of the SABR model for rho = +/-1.
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中文摘要：
我们使用移位对数正态（SLN）模型（也称为置换扩散）和SABR模型讨论SPX和DAX指数期权价格的建模。我们发现，对于SPX期权，一个强烈倾斜期权价格的例子，SLN可以产生一个非常精确的拟合。此外，对于这两种类型的指数期权，SLN模型都能很好地拟合近距离正向攻击。这样的近似货币拟合允许我们精确计算倾斜参数，而不直接涉及相关概率分布的第三阶矩。最后，我们可以使用SLN模型计算倾斜，并在下一次迭代/扰动时添加进一步的微笑效果。此外，我们还指出，对于rho=+/-1，SLN轨迹是SABR模型的精确解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Modelling_the_skew_and_smile_of_SPX_and_DAX_index_options_using_the_Shifted_Log-.pdf (879.76 KB)

2022-5-6 03:33:40 上传

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关键词：Mathematical Perturbation distribution Quantitative mathematica

使用移位对数正态和SABR随机模型对SPX和DAX指数期权的倾斜和微笑进行建模詹·库克利ski and Doinita Negrofacultédes Hautes Commerciales（HEC）洛桑大学，CH-1015洛桑，Suissepowel Pliszkasrh Capital Markets，亚特兰大乔治亚州30326，美国。我们使用移位对数正态（SLN）模型（也称为置换扩散）和SABR模型讨论SPX和DAX指数期权价格的建模。我们发现，对于SPX期权（期权价格严重倾斜的一个例子），SLN可以产生相当精确的拟合。此外，对于这两种类型的索引选项，SLN模型都能很好地拟合近距离正向打击。这种近似的货币拟合允许我们精确计算倾斜参数，而不直接涉及相关概率分布的第三阶矩。最后，我们可以使用SLN模型计算倾斜，并在下一次迭代/扰动时添加进一步的微笑效果。此外，我们还指出，SLN轨迹是SABR模型的精确解= 1.日期：2014年4月17日。BACHELIER、BLACK–SCHOLES、移位对数–NORMAL和SABR模型。布朗运动的数学概念及其在期权定价中的应用是L.Bachelier[1]在1900年首次提出的。后来，在1973年，Black-Scholes-Merton[2]重新引入了布朗运动的概念，提出了一个期权定价模型，假设股票价格服从对数正态分布，其动力学遵循几何布朗运动。

1987年股市崩盘后，对数正态分布的不足变得明显，行业采用波动率偏斜作为修正期权定价的方法，同时仍保留Black-Scholes参数化。在早期，局部波动率模型（Dupire模型）和随机波动率模型（Heston模型）尝试了一种能够反映市场行为的自洽概率描述。然而，这些模型被证明不够有效。Black-Scholes（BS）参数化的广泛使用导致了隐含（BS）波动率的概念，这阻碍了概率解释。为此，越来越多的实践者使用Bachelier（B）模型（通常称为NormalModel）作为参数化的基础。尽管存在许多能够拟合观测期权价格的模型，但一个可以用作基本参数化的非常简单模型的实用性具有实际意义，尤其是在涉及其他回报函数的结构化产品的定价和风险管理中。移位对数正态模型，也称为移位扩散局部波动模型[3]，[4]，表示对数正态（Black-Scholes）和正态模型（Bachelier）之间的代数插值。下文中香草期权的买入价如下：=   +(1)1/2=自然对数（2） 这些价格可以很容易地从随机价格轨迹的明确表达中推导出来=   1 +1.（3） 在哪里是单位维纳过程的轨迹。在这种情况下，移位对数正态模型可以用两个参数来描述：modelssigma/波动性参数还有这个参数.

SLN模型的优点变得简单明了：不同于Bachelier模型，后者意味着正态对称价格密度，而Black-Scholes模型具有正偏态概率分布函数，SLN可以产生负偏态分布。正如我们将在后面展示的，考虑到PX和DAX指数期权的隐含波动率表面呈现负偏斜模式，这一特征非常明显。歪斜和微笑与扭曲正态分布的两个性质有关：歪斜和峰度。偏度定义为= /哪里是概率分布的第三个中心时刻。因此，峰度出现了= (/ 3). 实用的期权定价会导致定义模糊的偏斜和微笑，这在质量上与偏斜和峰度有关。SLN模型的一个重要特征是，亮度具有简单的代数形式=+  2.1（4a）+  3.（4b）SABR随机模型由Hagan等人于2002年提出[5]。根据它，股票价格和波动过程都是随机驱动的。在SABR模型的解下，欧式期权的价格是通过隐含的Black-Scholes或Bachelier波动率给出的。SABR模型最初由作者提供，后来由追随者改进[6]。

在下文中，我们给出了正常情况下的普通看涨期权价格= 0=   [+NSABR2.]     （5） 在哪里= ()/ (NSABR) 正常模型中使用的SABRimplied波动率如下所示：NSABR, =  1 +2.3.（6） 与= ()/                              (7)() = 日志Y(8)= (1.2.+ +  )/(1  )            （9） 如下文所述，SABR模型能够捕捉SPX和DAX期权波动表面上的倾斜和微笑模式。上面讨论的解决方案涉及到模拟和一些最新的应用，并对其进行了扩展[7]，[8]。此外，如[9]所述，应该提到功能性, =   1和< 3/2，提哈根/奥布洛j SABR模型[5]，[6]的近似解与SLN公式相匹配。另外，SLN轨迹和价格是SABR方程的精确解=   1 [9].二、SPX和DAX数据集分析为了我们的研究目的，我们收集了SPX和DAX指数期权的当日欧洲看跌期权和看涨期权价格的数据。数据集的范围为2012年12月19日至3月31日。在这两种情况下，我们都选择了间隔一年的三个价格日期：10月18日、11月21日和12月19日。作为下一步，SLN和SABR模型被安装到获得的数据集中。我们在这里讨论大纲，详细分析将在[10]中介绍。SPX：分析所有价格日期和不同到期日的SPX现金外（OTM）期权价格及其相应的Black-Scholes波动率，我们观察到一种强烈的负偏斜模式，从2010年到2012年呈上升趋势。对于一些价格数据，可以描绘出温和的微笑模式。

此外，OTMput图揭示了所有价格日期和所有到期日的直线行为。这转化为一条直线波动曲线。DAX：在这种情况下，与SPX数据集相比，我们观察到一种更强烈、占主导地位的微笑模式。同时，歪斜不太明显，只有在分布的中心，靠近ATM点的地方才能捕捉到。与SPX OTMput图不同，在本例中，我们区分了一个复杂的模式，如果不研究买卖价差，就无法对其进行分析。关于拟合DAX和SPX价格的总结：中心结论是，对于60天或60天以上的到期日，SLN准确地将SPX和DAX期权价格定位在ATM点附近。近ATM条件定义为OTM看跌期权价格不低于ATM期权价格的10%，ATM看涨期权价格不低于ATM价格的20%。上述特性使我们能够在不参考尾部的情况下，对期权定价中的偏斜参数进行非常精确和稳定的指示。T-由于askbid利差和deeplyOTM期权的潜在流动性差，无法准确确定远尾。即使是与SLN模型相当匹配的价格，我们通常也会注意到远尾的一些偏转。这相当于第四中心力矩的熟练程度           已经建立的西格玛和倾斜模式。一个潜在的实用方法是建立= 图1价格日期——2011年3月21日。SLN和SABR适用于26、61和180天到期的指数期权。左边 SPX指数期权价格；正当 DAX指数期权价格。图2价格日期：2011年3月21日。

SLN和SABR隐含波动率（IV）适用于到期26天和180天的指数期权。左边 SPX隐含波动率；正当 DAX隐含波动率。0.101.0010.00100.00900 1000 1100 1200 1300 1400市场C/PSABR fitSLN fit0。101.0010.00100.001000.005000 5700 6400 7100 7800市场C/PSABR fitSLN fit0。101.0010.00100.00800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500市场C/PSABR fitSLN fit0。101.0010.00100.001000.005000 5700 6400 7100 7800 8500市场C/PSABR fitSLN fit0。101.0010.00100.00500 650 800 950 1100 1250 1400 1550市场C/PSABR fitSLN fit0。101.0010.00100.001000.002500 3700 4900 6100 7300 8500市场C/PSABR fitSLN fit5%10%15%20%25%30%35%40%45%50%市场IVSABR IVSLN IV5%10%15%20%25%30%35%40%50%市场IVSABR IVSLN IV5%10%15%20%25%30%35%40%45%50%市场IVSABR IVSLN IVSABR IVSLN IV5%10%15%20%25%30%35%40%45%50% 使用在moneyprices附近安装的SLN模型，然后执行SABR fit来确定完整的微笑。详细的迭代过程将在未来的出版物[10]中讨论。SLN适合SPX选项数据集，适用于60天及以上的到期日。拟合精度高到足以说明基于SLN模型的仅倾斜图片可以提供相当精确的建模。为了提高准确性，并包括短到期的建模，需要添加smilepattern。SLN fit-to-DAX指数期权对于短期到期的债券而言效果不佳，模型无法捕捉到预期的微笑模式，但对于长期到期的债券而言，它通常是准确的。除此之外，SLN还提供了ATM点附近价格的良好近似值。

与前一种情况不同，调整微笑是所有过期产品的必备条件。所讨论的一组市场期权价格接下来用SABR模型拟合。对于SPX期权，结论是：A）如果期权价格不低于ATM价格的1%，则左肥尾的短期到期价格是准确的。B） 对于更长的到期日，OTMputs的SABR价格可能会显示低于ATM点75%的罢工的一些差异。在这些情况下，SLN的性能可能会稍好一些。对于DAX选项，符合SABR的结论是：A）对于中期到期，SABR非常适合DAX价格。偶尔，我们可能会发现在OTM呼叫端Sabsmile不够大。B） 对于更长的到期日，SABR可能无法正确定价深OTM看跌期权，也可能无法在OTM看跌期权中捕捉到里程。与SLN相比，SABR模型包含了更多的参数，这最终导致了更好的匹配能力。然而，将单个SABRfits转换为跨到期日的全球匹配通常被证明是非常困难的。因此，如果近似值足够好的话，使用SLN模型在所有大草原上进行全局拟合可能会更容易。对于上面讨论的SPX选项，SLN拟合可以通过以下方式进行插值：() 和()都遵循着这样的权力法则=()和= ().  关于()SPX的幂律指示器范围为0.57至0.68，DAX的幂律指示器范围为0.52至0.60。这个  因子是几乎相反的幂律，最终() = () 具有缓慢变化的模式（请注意= () ).  前向曲线和后向曲线采用多项式拟合(T） 允许我们用相对较少的拟合参数定义一个简单的全可变曲面模型。

我们将此模型称为全局拟合SLNmodel或GSLN。关键是，这种建模方法为轨迹提供了一个封闭的形式表达式，这使得所有定价操作实际上都很简单。即使在需要蒙特卡罗的时候，比如说给可自动调用的产品或奇异的选项定价，这样的蒙特卡罗计算也非常简单。这与SABR模型的拟合正好相反，因为不存在轨迹的封闭形式表达式。三、 结论SSLN在模拟SPX和DAX期权的远期价格方面非常有效。这种匹配允许基于期权价格计算市场偏度，而不涉及高阶矩计算——因此偏度成为非常稳健的数量。在一些严重倾斜的市场上，如SPX期权，SLN模型可以用于更广泛的罢工范围。在这种情况下，OTM putoptions的左长尾通常与SLN匹配良好。对于相同的SPX选项，SABR模型提供了更好的、总体上足够的匹配能力。通过设置相关参数，SLN模型可以精确映射到ABR模型=  1 [9]. 最终，通过将期权价格首先拟合到SLN模型和SABR旁边，我们将得出一个简单的通用模型，用于建模期权价格，其中SLN用于建立市场倾斜，SABR模型用于评估里程（如有必要）。    这种方法也可以在不应用SABR模型的情况下实现[11]。在适用的情况下，单独使用SLN模型有几个优点。SLN模型对随机轨迹有明确的简单表达式，这与Black-Scholes模型非常相似。

在下文中，高级建模是向前推进的，蒙特卡罗模拟的校准是基本的，这与SABR非常需要计算的校准场景相反。最后，值得一提的是，与金融衍生产品定价相关的文献[12]最近大量讨论了随机模型在没有与近似值相关的奇数效应的情况下需要显式解的问题。在这种情况下，利用SLN及其扩展等完全可解模型具有实际意义[11]。[1] L.学士，投机理论（1900）http://www.numdam.org/en/.[2] F.Black和M.Scholes，《政治经济杂志》81637（1973）。[3] M.Rubinstein，《金融杂志》38213（1983）。[4] R.Rebonato，《波动性和相关性：完美的对冲工具和狐狸》（约翰·威利父子有限公司，2004年）。[5] P.S.哈根、D.库马尔、A.S.莱斯尼夫斯基和D.E.伍德沃德，威尔莫特杂志3，84（2002）。[6] J.Obloj，电子打印arXiv:q-fin。CP/0708.0998（2008年）。[7] P.Balland和Q.Tran，风险杂志6，72（2013）。[8] A.安东诺夫、M.科尼科夫和M.斯佩克特，风险杂志8，22（2013）。[9] K.Kuklinski，D.Negro和P.Pliszka（2014），Phys。牧师。E（已提交）。[10] K.库克林斯基、D.内格罗和P.普利什卡（2014），正在准备中。[11] K.Kuklinski和P.Pliszka（2014），InPreparion。[12] P.S.Hagan，D.Kumar，A.Lesniewski和D.Woodward，Wilmott（2014）。