无套利市场与赫斯特参数的连续性

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《On the no-arbitrage market and continuity in the Hurst parameter》
---
作者：
Nikolai Dokuchaev
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  We consider a market with fractional Brownian motion with stochastic integrals generated by the Riemann sums. We found that this market is arbitrage free if admissible strategies that are using observations with an arbitrarily small delay. Moreover, we found that this approach eliminates the discontinuity of the stochastic integrals with respect to the Hurst parameter H at H=1/2.
---
中文摘要：
我们考虑一个具有分数布朗运动的市场，其随机积分由黎曼和生成。我们发现，这个市场是无套利的，如果允许策略使用具有任意小延迟的观测值。此外，我们发现，这种方法消除了H=1/2时关于赫斯特参数H的随机积分的不连续性。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> On_the_no-arbitrage_market_and_continuity_in_the_Hurst_parameter.pdf (127.79 KB)

2022-5-9 05:35:06 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：赫斯特 无套利 连续性 Mathematical Quantitative

关于HurstParameter的无套利市场和连续性柯廷大学数学与统计系Nikolai Dokuchaev邮件：N。Dokuchaev@curtin.edu.auMarch2022年2月25日摘要我们考虑一个具有分数布朗运动的市场，其随机积分由黎曼和生成。我们发现，这个市场是无套利的，如果可以接受的策略是以任意小的延迟进行观察的话。此外，我们发现这种方法消除了H=1/2随机积分期望值时赫斯特参数H的不连续性。关键词：市场模型，投资组合选择，分数布朗运动，套利，无套利市场。JEL分类：C52、C53、G11数学主题分类（2010）：91G70、60G22、91G101简介在这篇简短的说明中，我们重新解释了基于分数布朗运动和Hur st参数H的市场模型存在套利机会的问题∈ (1/2, 1).这些模型的统计特性使其对金融应用非常重要；然而，从理论角度来看，套利的存在是一个障碍。对这个问题进行了深入研究；参见，例如[1,3,2,4,6,10,11,13,14,15]。从下面的例子2中可以看出，H存在不连续性→ 对于某些投资组合策略，财富过程的H=1/2点为1/2+0。H=1/2的市场是无套利的，而H=1/2的市场是无套利的∈ （1/2，1）允许套利。关于这个问题的一些可能的解决方案，就是使用不同的随机积分结构，这些结构不是基于黎曼和的，比如威克积分（见[1,4]）。另一种方法是将部分交易成本纳入模型[10,3]。此外，在[6]中提出，对可允许策略的额外限制也可以消除套利。

定理4.3[6]表明，在两个连续交易之间的时间间隔最小的分段常数策略类中，无法实现套利。[2]定理3.21中取消了交易间隔时间的限制。我们提出了另一类策略，可以排除基于分数布朗运动和H的市场套利≥ 1/2，由黎曼和生成的随机积分。我们建议使用不一定是分段常数的可容许策略，并且它们是使用带有任意时间延迟的当前观测值构建的。可以注意到，这是对投资组合策略类别的自然限制；在实践中，信息传递和执行的某些延迟对于投资组合策略的实际实施是不可避免的。我们发现，使用这些策略的简单Bachelier型市场是无套利的（定理1）；这个结果与定理4中分段常数策略的结果相似。3[6]和定理3.21[2]。本文最有趣的结果是，对于我们的类策略（引理2和定理1（ii）），在H=1/2时，与H有关的不连续性似乎消失了。这些证明是基于分数布朗运动BH（t）的一个有用的零均值表示。我们发现，BH（t）的增量可以表示为两个独立的高斯过程之和，其中一个过程是光滑的，在均方意义上是可微分的，导数在有限的时间间隔上是平方可积的。与扩散过程的漂移部分类似，该过程对积分的期望对于适应它的过程来说是非零的。这个过程可以看作是一种类似的提取。

必须注意的是，术语“漂移”通常用于表示工艺ut+BH（t）的up；参见【5】、【12】、【8】，其中对u进行了研究和估算。在[12]中，术语“漂移”也被用于表示通过标准布朗运动过程进行线性积分变换和随机时间变化后的时间漂移常数。我们的代表是BHR本身，也就是说，没有积分变换。2主要结果分数布朗运动与随机积分我们给出了一个标准的概率空间(Ohm, F、 P）在哪里Ohm 是一组基本事件，F是完整的σ-事件代数，P是概率测度。我们假设{BH（t）}t∈Ris是一个分数布朗运动，BH（0）=0，带有赫斯特参数H∈ （1/2,1）如[11,9]所述定义，如BH（t）- BH（s）=cHZts（t- q） H-1/2dB（q）+CHZ-∞h（t）- q） H-1/2- （s）- q） H-1/2idB（q），（1）其中t>s>0，cH=p2HΓ（3/2- H） /[Γ（1/2+H）Γ（2- [2H]），Γ是伽马函数。这里{B（t）}t∈Ris标准布朗运动，使得B（0）=0。设{Gt}为过程B（t）产生的过滤。对于给定的T>s，设a（s，T）是所有过程γ（T），T的集合∈ [s，T]，可对过滤{Gt}进行渐进测量，因此ERTγ（T）dt<+∞.设Aε[s，T]是所有γ的集合∈ 存在一个整数n>0和一组非随机时间T={Tk}nk=1的[s，T] [s，T]，其中n>0是一个整数，T=s，Tn=T，tk+1-Tk≥ ε、 因此γ（t）是可测量的∈ [Tk，Tk+1）。特别是，这一组包括所有γ∈ A[s，T]使得γ（T）是Gt-ε-可测量的所有t∈ [s，T]。让广告[s，T]=∪ε> 0Aε[s，T]。LetbAε所有γ的s et∈ 假设γ（t）是Gt-ε-调整，letbAd=∪ε> 0bAε。引理1。

对于任何γ∈ Ad[s，T]，积分γ（T）dBH（T）收敛为L中相应黎曼和的序列(Ohm, GT，P）。下面的引理建立了L中的连续性(Ohm, 关于H=1/2时赫斯特参数H的随机积分的GT，P）。引理2。对于任何γ∈糟糕，EZTsγ（t）胸径（t）-ZTsγ（t）dB（t）→ 0作为H→ 1/2 + 0. （2） 从下面的例子[14]可以看出，这种连续性不会发生在f或s omeγ上。例1。不管怎样∈ （1/2,1）和T>s（BH（T）- BH（s））=2ZT（BH（t）- BH（s））胸径（t）。积分收敛为相应黎曼和的序列。示例1的结果是EZTsγ（t）dBH（t）9 0=EZTsγ（t）dB（t）as H→ 1/2 + 0.因此，DBHDEPH的随机积分在H中是不连续的→ 1/2+0代表某种意义∈ A[s，T]。通过Lemm a 2，也可以从示例1得出，对于γε（t）=E{g（t）|Gt-ε} ，EZTsγε（t）胸径（t）9 EZTsγ（t）胸径（t）asε→ 0 + .因此，dbhdepd的随机积分与这些gε在ε中是连续的。市场模型——市场上代理人的操作规则——定义了必须解决优化问题的可接受策略类别。设X（0）>0为t=0时的初始财富，X（t）为t>0时的财富。我们假设时间t的财富X（t）∈ [0，T]isX（T）=β（T）b（T）+γ（T）S（T）。（3） 这里β（t）是债券投资组合的数量，γ（t）是股票投资组合的数量，t≥ 0.对（β（·），γ（·））描述了时间t时债券股票证券组合的状态。

每一对都被称为策略。让θ∈ (0, +∞] 被给予；θ=+∞ 不包括注释。让{Ft}t≥-θ是一种过滤，使Ft GT对于所有t.如果过程β（t）和γ（t）相对于过滤{Ft}是渐进可测量的，则称成对（β（·），γ（·））是可接受的策略。特别是，代理人不应该知道未来（即，策略必须适应当前市场信息的流动）。此外，我们还要求β（t）+γ（t）dt<+∞.这一限制使风险得以接受，并与排除双重战略的作用相同；参见[2]中关于加倍策略的示例和讨论。定义1。（i） 设Abe为所有γ的集合，这些γ可通过re spect逐步测量至{Gt}，如上文所述。（ii）设Aε为所有γ的集合∈ 假设存在一组有限的非随机时间t={Tk}nk=1 [0，T]，其中n>0是一个整数，T=0，Tn=T，Tk+1- Tk≥ ε、 因此γ（t）对于t是可测量的∈ [Tk，Tk+1）。（iii）让Ad=∪ε> 0Aε。（iv）LetbAε所有γ的集合∈ 假设γ（t）是Gt-ε-适应。（v） 莱巴德=∪ε> 0bAε。注th atbAε 对于任何ε>0的ε，集合adi比[6]中考虑的分段恒常函数类更宽。假设有一段时间∈ A、 积分rγ（s）dS（s）收敛为相应的黎曼和序列。

在这种情况下，一个可容许的p air（β（·），γ（·））被称为一个可容许的自补偿策略ifdX（t）=β（t）db（t）+γ（t）dS（t）=γ（t）dS（t），这意味着X（t）=X（0）+Ztβ（s）db（s）+Ztγ（s）dS（s）=Ztγ（s）dS（s），在这种情况下，过程γ（t）单独定义策略。通过引理1，对于任何γ∈ Ad，积分rtγ（s）dS（s）收敛为L中相应的黎曼级数(Ohm, GT，P）。设A是一组容许γ（我们将考虑A=A，A=Ad，或A=bAd）。对于H∈ [1/2，1），我们用MH（A）表示上述市场模型，其中A是一组可接受的γ。定义2。我们说，如果存在一个策略γ，市场模型MH（A）允许套利∈ A使得积分rtγ（s）dS（s）收敛为相应黎曼和的序列，P（X（T）≥ 0=1，P（X（T）>0）为相应的自我融资策略，时间T时财富X（T）=Rtγ（s）dS（s），初始财富X（0）=0。众所周知，市场模型M1/2（A）不允许套利。另一方面，市场模型MH（A）允许对任何h进行套利∈ (1/2, 1). 这可以从下面的示例1[14]中看到。例2。不管怎样∈ （1/2,1），X（T）=（S（T）- S（0））=2ZT（S（t）- S（0））dS（t）=ZTγ（t）dS（t），（4）是一个可容许策略y的财富f，其中γ（t）被选为2（S（t）- S（0））。在这种情况下，积分rγ（s）dS（s）收敛为相应的黎曼和序列。例2的一个推论是DBHDH的随机积分在H中不连续→ 1/2+0，因为EZTγ（t）胸径（t）不是真的→ 0=EZTγ（t）dB（t）as H→ 1/2 + 0.这是一个不需要的特性；所有进化规律的偏差都会导致财富或战略的巨大变化。此外，这意味着，对于H≈ 1/2.定理1。

（i） 不管怎样∈ [1/2,1]，市场模型MH（Ad）是无套利的。（ii）对于任何情况∈糟糕，EZTγ（t）胸径（t）-ZTγ（t）dB（t）→ 0作为H→ 1/2+0.3 ProofsLet s≥ 0是固定的。通过（1），我们得到了thatBH（t）- BH（s）=WH（t）+RH（t），其中WH（t）=cHZts（t- q） H-1/2dB（q），相对湿度（t）=CHZ-∞f（t，q）dB（q），其中f（t，q）=（t- q） H-1/2- （s）- q） H-1/2.让我们≥ 0和T>s是固定的。对于τ∈ [s，T]和g∈ L（s，T），setGH（τ，s，T，g）=cH（H- 1/2）ZTτ（t- τ）H-3/2g（t）dt。引理3。其中t>s的过程WH（t）和RH（t）是具有零均值的独立高斯{Gt}适应过程，因此下面的公式成立。（i） 对于所有t>s，WH（t）独立于GSO，并在以下意义上与t不同：对于任何t>s，都存在一个函数h（·，s，t）∈ L（s，T）使得任何γ的ztsγ（T）dWH（T）=ZTsGH（τ，s，T，γ）dB（τ）∈ L(Ohm, Gs，P，L（s，T））。（ii）RH（t）对于所有t>s都是可测量的，并且在均方意义下在t>s中是可区分的。更准确地说，存在一个过程drhs，即（a）DRH（t）对于所有t>s是可测量的；（b） 对于任何t>s，EDRH（t）=cHH- 1/2（t）- s） 2小时-2、EZtsDRH（q）dq<+∞;（c） 对于任何t>s，limδ→0ERH（t+δ）- RH（t）δ- DRH（t）= 0.（5）对于s≥ 0，T>s，τ∈ [s，T]，g∈ L（s，T），setGH（τ，s，T，g）=cH（H- 1/2）ZTτ（τ- s） H-3/2g（t）dt。（6） 推论1。设γ（t）是一个过程，使得γ（t）i s Gs对所有t都是可测量的，而ERTsγ（t）dt<+∞ 对于任何T>s，则ZTsγ（T）dBH（T）=ZTsγ（T）dWH（T）+ZTsγ（T）DRH（T）dt=ZTsGH（τ，s，T，γ）dB（τ）+ZTsγ（T）DRH（T）dt，这里的积分收敛于L(Ohm, GT，P）。引理3和推论1的证明可以在[7]中找到。引理1的证明。假设γ∈ Aε（s，T），其中ε>。设Tε={Tk}nk=1是定义ε（s，T）时的集合。根据推论1，积分是-1γ（t）胸径（t）根据所有k的要求收敛。然后证明如下。.引理2的证明。

设Θ表示一个非r的有限集，即dom乘以{Tk}nk=1 [s，T]，其中n>0是一个整数，T=s，Tn=T，Tk+1∈ （Tk，Tk+ε）；这些时间间隔不一定相等。对于δ∈ （0，ε），设Tδ=∪nk=0（Tk，（Tk+δ）∧ T）。设Aε，Θ，δ为所有γ的集合∈ Aε使得t的γ=0∈ Tδ。设Ik=RTk+1Tkγε（t）胸径（t），设Ik=RTk+1Tkγε（t）分贝（t）。例如{1b}T=1b}-1γ（t）胸径（t）=IW，k+IR，k，其中IW，k=ZTkTk-1γ（t）dWH，k（t），IR，k=ZTkTk-1γ（t）dRH，k（t），其中WH，k（t）和RH的定义类似于WHand RH，其中[s，t]替换为[Tk]-1，Tk]。让我们证明γ的定理陈述∈ Aε，δ。必须证明这一点-“Ik|”→ 0作为H→ 1/2+0，k=0，1。。。，n、 让我们来证明。同样，RH，k（t）和DRH，k（t）的定义类似于RH（t）和DRH（t），间隔[s，t]替换为间隔[Tk]-1，Tk]。我们有Ik=IW，k+IR，k，其中IW，kand-IR，kare的定义类似于引理2的证明和区间[Tk]-1，Tk]。显然，EJW，k=0。我们通过引理3和Riemann–Liouville积分的性质得到了kγ-GH（·，Tk）-1，Tk，γ）kL（Tk-1、Tk）→ 0 a.s.作为H→ 1/2 + 0. 此外，还存在c>0的情况，如kgh（·，Tk）-1，Tk，γ）kL（Tk-1、Tk）≤ ckγkL（Tk-1，Tk）所有H的a.s.因此，kγ（t）- GH（t，Tk）-1，Tk，γ）kL（Tk-1、Tk）≤ 2ckγkL（Tk）-1，Tk）a.s.对于所有H.它遵循E | IW，k-\'Ik |=EZTkTk-1 |γ（t）- GH（t，Tk）-1，Tk，γ）|dt→ 0作为H→ 1/2 + 0.对于t∈ [Tk]∧ （Tk）-1+δ），Tk]，我们有引理3 thatEDRH，k（t）≤ cHH- 1/2（Tk）- Tk-1+δ）2H-2=cHH- 1/2δ2H-2.HenceE | IR，k |≤EZTkTk-1γ（t）dt！1/2EZTkTk∧（Tk）-1+δ）DRH（t）dt！1/2→ 0作为H→ 1/2 + 0.因为它适用于所有k，所以定理陈述适用于所有Θ、δ和γε∈ Aε，Θ，δ。Sinceanyγε∈ Aε可以表示为γε=γ（1）+γ（2），其中γ（k）∈ Aε，Θk，δk，κ=1，2，适当选择Θ和δk。这就完成了引理2的证明。定理1（i）的证明。

假设一个策略∈ ε通过相应的财富过程X（t）进行套利，使得X（0）=0。设Ak={RTkTk-1γ（t）dt>0}。让IW，kand IR，kare用区间[Tk]类似于引理2的证明来定义-1，Tk]。根据定义，Ak∈ GTk-1.假设P（An>0）。值IR，nis GTn-1-可测，以及值{WH（t）}t∈[Tn-1，T]独立于GTN-1.由于γ（t）是GTn-1-t可测量∈ [Tn-1，T]和GTn-1. GTn-1，它遵循IW、nand和INB的高斯分布，条件是给定GTn-1.因此在整个时间间隔内都有支撑(-∞, +∞) 给一个。因此P（X（T）<0 | An）>0和P（X（T）<0）=P（X（T）<0 | An）P（An）>0。这与γ提供套利的假设不一致。HenceP（An）=0和X（T）=X（Tn-1). 同样，对于所有的k和X，我们得到P（Ak）=0。这与γ提供套利的假设是一致的。这就完成了定理1的证明。定理1（ii）的证明来自引理2.4的讨论和未来的发展。上述模型代表了一个最简单的可能模型，可以说明在信息处理中具有任意时间延迟的策略的错误机会消失。我们将继续研究开发更全面的模型和详细的分析，如以下内容。（i） 对于在定理4.3[6]和定理3.21[2]中得到的无仲裁结果中提出的分段连续策略，研究在H=1/2时关于H的随机积分的不连续性是否消失可能是有趣的。（ii）将我们的方法扩展到一个更主流的模型上可能会很有趣，该模型的S（t）=exp（ut+σBH（t））。目前尚不清楚在英国《金融时报》的背景下如何做到这一点-ε——可容许策略的可测份额γ（t）。