时间非齐次仿射过程与仿射市场模型

特别是，设置AkI:=A（Tk，vk，uk），BkI:=B（Tk，vk，uk）和usingI（Tk）=I（Tk，Tk）one hasMQTkln（I（Tk））| Fs（z）：=EQTk[I（Tk）z | Fs]=EQTkhexp扎基+zBkI·XTk|Fsi=expzAkI+Tk-s（ψT）-Tk（英国）+zBkI）- φTk-s（ψT）-Tk（英国））经验ψTk-s（ψT）-Tk（英国）+zBkI）- ψTk-s（ψT）-Tk（英国））· Xs= 经验zφT-Tk（vk）+（1）- z） φT-Tk（英国）经验φTk-szψT-Tk（vk）+（1）- z） ψT-Tk（英国）经验ψTk-szψT-Tk（vk）+（1）- z） ψT-Tk（英国）· Xs/穆克。最后一个等式是使用（3.20）。请注意，如果zψT，这个函数在z中得到了很好的定义和分析-Tk（vk）+（1）- z） ψT-Tk（英国）∈ int（V）。给定ln（I（Tk））的矩母函数，CPI调用和PUT可以使用以下著名的傅里叶逆变换公式计算（参见Eberleinet al.[19]）。如果R∈ (1, ∞) 使MX|F（R）<∞, 那么（例如- K） +|F=KπZ∞重新MX | F（iu+R）K-（iu+R）（iu+R）（iu+R）- 1)杜。（3.12）因此，到期日为Tk，付款期为I（Tk）的远期CPI看涨期权的价格- K） +isCPICall（t，Tk，K）=KP（t，Tk）πZ∞重新MQTkln（I（Tk））|Fs（iu+R）K-（iu+R）（iu+R）（iu+R）- 1)du，其中选择R>1以满足RψT-Tk（vk）+（1）- R） ψT-Tk（英国）∈ int（V）。备注：在第3.1节中提到，ILB通常带有一个包含选项，保证至少赎回原始名义金额。对于在S和到期日发行的anILB，此转换为期权（1-I（Tk）/I（S））+对应于1/I（S）CPI和I（S）罢工。3.2.2远期通货膨胀和通货膨胀小头和通货膨胀市场模型通常无法分析处理远期CPI和远期通货膨胀产品。根据本文介绍的方法，远期通货膨胀率的形式与远期CPI类似。

年化通货膨胀率（Tk，Tk-j、 Tk）满意度1+（Tk- Tk-j） FI（Tk，Tk-j、 Tk）=I（Tk）I（Tk-j） =eAkI+BkI·XTk-Ak-冀-Bk-吉·XTk-j=：哎呀。（3.13）下面的引理给出了这类随机变量的矩母函数。引理3.1：让我们≤ R≤ T≤ T和ψT-t（英国）+w∈ V和ψt-r（ψT）-t（英国）+w）- ψT-r（英国）+u∈ V.ThenEQTkeu·Xr+w·Xt | Fs= 经验ψr-s（ψt）-r（ψT）-t（英国）+w）+u）- ψT-s（英国）· Xs经验φt-r（ψT）-t（英国）+w）+φr-s（ψt）-r（ψT）-t（英国）+w）+u）- φt-s（ψT）-t（英国））.（3.14）证据。使用tower属性并应用（3.9）两次，它遵循eqtkheu·Xr+w·XtFsi=EQTkhEQTkew·XtFreu·XrFsi=EQTkhexpφt-r（ψT）-t（英国）+w）- φt-r（ψT）-t（英国））经验ψt-r（ψT）-t（英国）+w）- ψt-r（ψT）-t（英国））+u· XrFsi=expφt-r（ψT）-t（英国）+w）- φt-r（ψT）-t（英国））经验φr-s（ψt）-r（ψT）-t（英国）+w）+u）- φr-s（ψT）-r（英国））经验ψr-s（ψt）-r（ψT）-t（英国）+w）+u）- ψr-s（ψT）-r（英国））· Xs= 经验φt-r（ψT）-t（英国）+w）+φr-s（ψt）-r（ψT）-t（英国）+w）+u）- φt-s（ψT）-t（英国））经验ψr-s（ψt）-r（ψT）-t（英国）+w）+u）- ψT-s（英国）· Xs.在这里，我们使用半流动特性（3.20）来简化表达式。根据引理3.1，在（3.13）中定义的YK的QTk矩母函数为qtkyk | Fs（z）=EQTkhexp扎基+zBkI·XTk- 扎克-冀- zBk-吉·XTk-J|Fsi=exp扎基- 扎克-jI+φTk-Tk-j（ψT）-Tk（英国）+zBkI）经验φTk-J-s（ψTk）-Tk-j（ψT）-Tk（英国）+zBkI）- zBk-（季）- φTk-s（ψT）-Tk（英国））经验ψTk-J-s（ψTk）-Tk-j（ψT）-Tk（英国）+zBkI）- zBk-（季）- ψT-s（英国）· Xs,这是很好定义的ifnψT-Tk（英国）+zBkI，ψTk-Tk-j（ψT）-Tk（英国）+zBkI）- ψT-Tk-j（英国）- zBk-jIo V.（3.15）然后用1+（Tk）表示正向通货膨胀率-Tk-j） FI（t，Tk）-j、 Tk）=MQTkYk | Ft（1）。ψT也是如此-Tk-j（vk）- Bk-冀∈ V它是1+（Tk- Tk-j） FI（t，Tk）-j、 Tk）=expψTk-J-t（ψt）-Tk-j（vk）- Bk-（季）- ψT-t（英国）· Xt经验φT-Tk-j（英国）-j） +φTk-J-t（ψt）-Tk-j（vk）- Bk-jI）+φT-t（英国）.此外，带有K型线的充气帽的收益为（Tk- Tk-j） (FI)(Tk,Tk)-j、 （Tk）- （K）+=我（Tk）我（Tk）-j）-~K+式中，K=1+（Tk- Tk-j） K。

利用傅里叶逆变换公式（3.12），可以计算一个充气帽的价格。特别是，对于R>1In fl Cpl（t，Tk-j、 Tk，K）=KP（t，Tk）πZ∞ReMQTkYk | Ft（iu+R）~K-（iu+R）（iu+R）（iu+R）- 1)!如果ψT-Tk（英国）+RBkI∈ int（V）和ψTk-Tk-j（ψT）-Tk（英国）+RBkI）-ψT-Tk-j（英国）-RBk-冀∈ int（V）.3.2.3相关性到目前为止，我们考虑了典型市场交易期权的定价。另一个重要方面是相关性结构。相关数量Ln1 + kFkn（t）= 自然对数穆克-1千吨= A（t，英国）-1，英国）+B（t，英国-1，英国）Xt，lnIj（t）= 自然对数MvjtMujt= A（t，vj，uj）+B（t，vj，uj）Xt。ln（1+kFI（t，Tk）-j、 Tk=const+ψTk-J-t（ψt）-Tk（vk）- Bk-（季）- ψT-t（英国）· Xt。（3.16）都是Xt的有效变换，以及两个这样的项isCor[At+Bt·Xt，~At+Bt·Xt]=Var的相关性Bt·Xt，~Bt·XtqVarBt·XtqVar~Bt·Xt.对于XT的独立组件，这个简单的toPdi=1BitBitVar退出qPdi=1（位）变量退出qPdi=1（~Bit）变量退出. （3.17）因此相关性强烈依赖于B（t，英国）-1，英国）=ψT-t（英国）-1) - ψT-t（uk）和b（t，vj，uj）=ψt-t（vj）- ψT-t（uj），分别是vkand和uk的结构。准确的相关性取决于所使用的度量（例如QTk，P），但巧妙地选择Vk和Uk，可以保证相关性结构，即相关符号保持不变。下一节将开始具体说明有意义的相关结构。在连续有效过程的情况下，也可以对相应数量的瞬时相关性进行类似观察（总体思路见Grbac等人[25]）。3.3实施示例我们设计有效市场模型的结构时，可以将校准分为对名义市场数据的校准和对之后的通货膨胀市场数据。

用于校准音调市场数据的方法基于Grbac等人[25]的观点。在那里，他们通过使用共同驱动过程Xplus和其他驱动过程X，…，建立了一个多曲线LIBOR市场模型，XM，所有这些都是独立的、有效的和非负的。为了进行校准，他们使用了全年到期的小股，以及期限不到一年的潜在远期。每年使用一个单独的驱动过程，然后可以使用迭代程序来校准市场数据。他们的方法也可用于此设置。特别考虑半年期结构Tk=k/2，k=1，N、 Neven，以及由M+1=N/2+1组分X，X，XM，它们都是独立的解析过程，函数φi和ψi，i=0，然后由（3.23）φt（u）=MXi=0φit（ui）ψt（u）=（ψt（u），ψt（u），ψMt（uM）），其中ui，i=0，M表示u的相应分量∈ RM+1。为了描述一个有效的通货膨胀市场模型，我们还必须指定英国。向量的结构应满足以下几点。在某些技术条件下，一维有效过程的方差为VaR退出=Uu=0（φit（u）+ψit（u）Xi）。三十、 。XMXM+1XM+2。X2Mu)uuu。联合国-10 0···0uuuu。联合国-10 0···0uu0 u。联合国-10 0···0uu0 u。联合国-10 0 ··· 0..............................联合国-2uN-20 0 . . . 联合国-10 0··0 UN-1uN-10 0 . . . 联合国-10 0································。uN0 0··0表3.1：参数结构描述。每一行对应一个向量，列名称表示向量中的位置对应的过程远期利率是非负的。如果为0，则为这种情况≤ 英国≤ 英国-1.o模型与初始利率期限结构相匹配。

这基本上是每个载体uk的一个组成部分通过使用迭代程序，可以对市场数据进行校准该模型具有有意义的相关性结构。这可以通过以下方式选择向量来实现。它们依赖于2N个实参数u≥ ··· ≥ 联合国≥ 0，u≥ ··· ≥ 联合国≥ 0.1分≤ J≤ M set（比较表3.1，暂时忽略最右边的零列）uk=~uke+ukedke+MXl=dke+1u2l-在这里，e，Em表示基向量（1,0，…，0），RM+1的（0，…，0，1）。请注意，通过这种选择，向量（uk）正在减少。考虑到√u，取消进程X，X，XMby引理3.2参数u，未根据当前期限结构确定。也就是说，我们要求P（0，Tk）P（0，T）=EQTeuk·XT= EQThe¨ukXTiEQT“eukXdkeT#MYi=dke+1EQTheu2l-1XlTi，因此参数u，可以使用反向迭代计算unc。此外，全年到期的半年期远期利率取决于u2k-1，U2K和过程X，Xk，XM。因此，如果x和u，■如果尚未指定，则可以在远期利率fn上设置XMto CAPlet，然后反向迭代地在远期利率F2k上设置Xkto CAPlet。因此，如果x和u，■如果不确定，所有剩余参数都可以根据收益率曲线和caplet价格进行校准。如Grbac等人[25]所述，并经我们的数值测试证实，Xanduk的具体选择（在有意义的范围内）对最终的校准质量没有定性影响。此后，Xis被固定为CIR过程（该过程的具体说明见等式（3.24））。到目前为止，我们还没有提到由此产生的相关性。这就是参数的选择，取消在中的注释。

前向利率F2kareB（t，u2k）相关性的相关函数-1，u2k）=（ψT-t（~u2k）-1)-ψT-t（~u2k），0，0，ψkT-t（u2k-1)-ψkT-t（u2k），0，0).除第一部分外，这些函数是“正交”的。因此，根据等式（3.17），相关结构主要取决于序列（~uk）。由于函数ψt（u）是非负的，因此u中的函数ψt（u）在增加（见Keller-Ressel等人[36]）。（~uk）是一个递减序列，这会导致非负相关。为所有k值设置uk=~u将导致零相关性。相关性的大小取决于远期债券价格的方差有多大，可以用ukX来解释。在这里，我们选择因子uk，使EQTe2ukXcT= P（0，Tk）/P（0，T）。这个选择背后的想法是，大约一半的方差应该用公共因子来解释。另一种选择是，如果有关于相关性的额外信息（例如通过市场数据），可以将其纳入英国。对于校准，我们使用了2011年9月29日的市场数据。收益率曲线由伦敦银行同业拆借利率和掉期利率引导，如图3.1所示。6个月远期利率的usedcaplet隐含波动率为1%至6%，期限为1至10年，从cap数据中提取。由此产生的隐含效用如图3.2所示。我们确定了时间范围T=10，并选择公共CIR过程的参数为λ=0.026，θ=0.65，η=0.5，x=3.45。M个单独的驾驶过程被选为具有附加跳跃的CIR过程（见等式（3.25））。用上述递推方法对其参数和UK参数进行了标定。在每个步骤中，选择参数，以使隐含波动率的均方误差最小化。与Grbac等人[25]相矛盾的是，我们无法生产出与他们论文中描述的类似的校准质量。

由此产生的校准可在图3.2中找到。尤其是对于长期的小孢子挥发性，这种明显的偏斜无法重现。尽管如此，该模型提供了一个合理的caplet波动表面，尤其是因为重点是通货膨胀衍生品。尽管为了概念上的简单性，仅对偶数远期利率进行了说明，但对所有远期利率都是如此。只有当序列（~uk）没有减少时，这种设置中的负相关性才可能出现，这意味着远期利率可能变为负。几次要求与作者澄清的请求得到的答复是，他们的结果目前不可共享。0 2 4 6 8 100.000 0.010 0.020 0.030到期利率SCIS利率图3.1：2011年9月29日的收益率曲线和ZCIIS曲线10.010.020.030.040.050.062468100.20.30.40.50.6提前还款期限图3.2：提前还款期限为1%至6%，到期期限为1%至10年的6个月利率的市场和模型caplet隐含波动率。市场波动率以透明的蓝色显示，而模型波动率以红色显示。三十、 。XMXM+1XM+2。X2Mv)vuu。联合国-1v0··0vvuu。联合国-1v0··0vv0 u。联合国-10伏···0伏v0 u。联合国-10 v·0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。越南-2vN-20 0 . . . 联合国-10 0··0vN-1vN-10 0 . . . 联合国-10 0··vN-1vNvN0。uN0 0··Vn表3.2：内流参数结构vk的描述。每行对应一个向量，列名表示向量中的位置对应的过程。请注意，对于年通货膨胀率期权定价，向量vjj奇数并不重要。下一步是将校准扩展到餐饮市场。除此之外，我们还使用了另一个M独立分析过程（每年一个）来驱动与通货膨胀相关的数量。

由于各个过程由（3.23）独立，因此可以通过将UK的附加组件设置为零（见表3.1）来嵌入不受影响的设置。从现在开始，我们假设过程X，X，向量u，尚未修复。流入参数VGF的选择与UK的选择集中在相同的方面，而不受流入率必须为非负的限制。我们再次假设向量vkare由2N个参数v，~vN，v，越南。特别是，我们选择（另见表3.2）vk=~vke+ukedke+MXl=dke+1u2l-1el+vkeM+dke。选择标称组件vik=UIK或i=1，M的优势在于，远期CPI和远期通货膨胀率不依赖于名义过程X，XM。再加上VKW的选择，以及关于流动过程XM+1。x2m这意味着正向CPI（t，T2k）仅取决于x和XM+k。特别是对应于（3.11）中定义的正向CPI（t，T2k）的函数B（t，v2k，u2k）=（ψt）-t（~v2k）- ψT-t（~u2k），0，0，ψM+kT-t（v2k），0，0).实际上，我们只需要N个参数，因为表3.2中的奇数行对考虑的年通货膨胀率没有贡献。为了概念上的简单性，我们仍然考虑2N参数。由此可知，对于不同的远期消费物价指数，除第一部分外，这些函数是“正交”的。此外，除第一个组件外，它们与函数B（t，uj）也“正交”-1，uj）与远期利率相关。因此，相关结构主要取决于UK和vk。由于ψ是单调递增的，因此如果相应的远期CPI应与名义利率正相关，则应选择vk>UK；如果应与名义利率负相关，则应选择vkUK。

还要注意的是，两个年度远期CPI与sgn（~vk）正相关- 英国）=sgn（vj）- ~uj）。因此，这为我们提供了一些标准，如何根据相关假设确定参数Uk，从现在起，我们假设参数v，给出了vn。假设还有一个固定的过程XM+kw，我们想从当前的期限结构PILB（0，Tk）/P（0，T）确定vk。我们区分两种情况。首先考虑一个非负有效过程XM+k。在这个例子中，引理3.2存在唯一的vk，因此Mvk=PILB（0，Tk）/P（0，T）。对于vk≈ 这通常会导致vk>0。在这种情况下，[t，Tk]的零息票波动总是正的。为了避免这种情况，或者考虑一个有效的过程，该过程包含正负值。在这种情况下，MVK不一定会增加invk。然而，根据引理3.2，它仍然是vk中的凸函数。这意味着vk最多有两种可能的选择，在这种情况下，我们需要选择一种。对于本章中的结果，我们只使用了一个选项小于零，另一个选项大于零的结果，然后我们选择了这个结果。要确定进程xm+1，x2m通知年度远期汇率FI（t，T2k-2，T2k）仅取决于进程X，XM+k-1，X和FI（t，t，t）只依赖于X，XM+1。通过在FI（T，T，T）上设置浮动选项，可以校准xm+1的参数。然后可以迭代地校准FI（T2k，T2（k））上的XM+kusing flion options的参数-1） ，T2k）。在校准示例中，我们使用了1至10年的ZCIIS比率（见图3.1）和从-2%至6%，价格如图3.4所示。我们选择了带有c的<<vk=<<uk（1+ck）≈ 0.08，所以ck介于1和1.15之间。这意味着相关性与通常观察到的正相关。对于进程XM+1。

X2Mwe使用了带有附加跳跃的Ornstein-Uhlenbeck过程（见等式（3.26））。然后按照所述校准这些过程和序列（vk）的参数。在每一步中，期权价格的均方误差都被最小化。结果如图3.4所示，这表明校准非常准确。我们还想用（偏离对数正态分布的）隐含波动率来显示fit。通常情况下，人们只对ZCIIS利率进行报价，而不是直接转化为正向通货膨胀率。然而，年度远期汇率可以用FI（t，Tk）来近似计算-j、 （Tk）≈ I（t，Tk）/I（t，Tk）-j）-1（参见图3.3）。根据市场惯例，在移位黑公式中使用该值作为远期值来计算近似市场。我们决定仅通过公因子过程引入通货膨胀部分的相关性。我们也可以改变参数来引入相关性。在这种情况下，甚至可以创建更复杂的关联模式。2 4 6 8 100.0000.0050.0100.0150.0200.025图3.3：线性插值的年度远期汇率FI（0，T2（k-1） ，T2k）（黑色）及其近似值I（t，T2k）/I（t，T2（k-1)) - 1（红色虚线）表示1到10年的到期日。-0.020.000.020.040.062468102004060100罢工补偿到期日图3.4：市场和模型caplet/fl-oorlet价格，以罢工的年度远期影响为基点-2%至6%，期限为1至10年。市场价格以透明的蓝色显示，而模型价格以红色显示。