时间非齐次仿射过程与仿射市场模型

因为两人之间的罢工-2%和1%的价格适用于软帽，2%和6%的价格适用于软帽。市场价格根据相应的资本/流动数据进行引导。-0.020.000.020.040.062468100.0080.0100.0120.0140.0160.018罢工补偿到期日图3.5：有罢工的年度远期波动的市场和模型隐含波动率-2%至6%，期限为1至10年。市场波动率以透明的蓝色显示，而模型波动率以红色显示。波动性。由此产生的隐含波动率的变化如图3.5所示。这表明，该模型在所有到期日和利率中都能很好地再现隐含波动率，并且该模型能够很好地拟合观察到的市场数据。结论我们引入了一个高度易处理的通货膨胀市场模型，在该模型中，我们能够推导出两种通货膨胀指数掉期的分析公式。此外，可以使用一维傅立叶反演公式计算通货膨胀上限和通货膨胀率以及CPI上限和通货膨胀率。因此，可以快速准确地计算流动交易金融衍生品的价格。此外，所提出的模型能够为经典的利率衍生品定价，如上限和下限。使用这些公式，我们能够根据市场数据校准模型。校准示例表明，该模型可以非常准确地校准到流动市场数据。3.4关于有效流程的附录let X=（Xt）0≤T≤t值为D=Rm的齐次马尔可夫过程≥可测空间上的0×r(Ohm, A） 过滤（英尺）0≤T≤T、 关于X所适应的。当nx=x时，用px和Ex[·]表示相应的概率和期望。

如果X的特征函数具有formEx，则称其为有效过程欧盟·Xt= 经验φt（u）+ψt（u）·x, U∈ iRd，x∈ D、 式中φ：[0，T]×Rd→ C和ψ：[0，T]×Rd→ CdandiRd={u∈ Cd:Re（u）=0}。通过同质性和马尔可夫性，条件特征函数满足欧盟·Xt | Fs= 经验φt-s（u）+ψt-s（u）·Xs. （3.18）因此，对于非齐次马尔可夫过程，也可以定义一个有效过程（见Filipovic[21]）。在本例中，a ffine属性readsEx欧盟·Xt | Fs= 经验φs，t（u）+ψs，t（u）·Xs, U∈ iRd，x∈ D、 带φs，t:iRd→ C和ψs，t:iRd→ CD0≤ s≤ t、 如果X是随机连续的，且setV的内部为：=U∈ Cd:sup0≤s≤特克斯eRe（u）·Xs< ∞ 十、∈ D, （3.19）包含0。在这种情况下，函数φ和ψ对V有连续的扩展，在内部是解析的，因此（3.18）适用于所有u∈ V（见Keller Ressel[33]）。一类有效过程包括布朗运动和更一般的所有L’evy过程。由于L′evy过程具有平稳的独立增量，因此ψt（u）=u，而φt（u）=tκ（u），其中κ是L′evy过程的累积量母函数。Ornstein-Uhlenbeck过程是一个更重要的过程例子。本节末尾描述了本工作中使用的有效流程。Duffee等人[16]是一个有效流程的标准参考。它们给出了一个有效过程的特征，其中φ和ψ被指定为微分方程系统的解。为了激发这一点，请考虑一个有效的流程X。

BYTower属性为所有x∈ 德克斯euXt+s= 前任前任euXt+s | Fs= 前任eφt（u）+ψt（u）·Xs.利用方程（3.18），可以得出φ和ψ满足所谓的半流方程φt+s（u）=φt（u）+φs（ψt（u）），φ（u）=0，ψt+s（u）=ψs（ψt（u）），ψ（u）=u（3.20）V可以描述为（凸）集，其中，对于所有时间t和所有起始值x，定义了XT的扩展力矩生成函数。引理4.2 inKeller-Ressel和Mayerhofer[34]，集V实际上等于看似较小的集NU∈ Cd:十、∈ int（D）：ExeRe（u）·XT< ∞o、 对于随机连续过程X，Keller-Ressel等人[35]表明函数SF（u）：=tφt（u）t=0+，R（u）：=tψt（u）t=0+存在。改写（3.20）中的差异商和→ 我们得到φ和ψ满足广义Riccati方程tφt（u）=F（ψt（u）），φ（u）=0，tψt（u）=R（ψt（u）），φ（u）=u.（3.21）函数F和R具有Levy-Khintchine类型的特定形式，如Du ffee等人[16]所述。这里还表明，对于这种形式的每一个F和R（3.21）都有一个唯一的解。指定函数F和R是指定有效流程的另一种方法。Keller Ressel和Mayerhofer[34]给出了F和R的条件，在该条件下，（3.21）的解定义了一个分析过程。注意，为了计算φ和ψ，我们希望得到系统（3.21）的闭式解，但通常情况并非如此。耦合独立的过程非常容易处理。对于两个独立的过程X和Y以及所有起始值X，Y，一个得到（X，Y）e（uX，uY）·（Xt，Yt）= E（x，y）euX·XteuY·Yt= E（x，y）euX·XtE（x，y）尤伊·伊特.

（3.22）因此（X，Y）是一个有效过程，φ（X，Y）t（uX，uY）=φXt（uX）+φYt（uY），ψ（X，Y）t（uX，uY）=（ψXt（uX），ψYt（uY））。（3.23）第3.3节使用了这一事实以及以下引理。引理3.2：设X为由m+n独立过程组成的分析过程，其中第一个m为非负。对于（u，…，英国，v，英国+1，…，联合国）∈int（V）∩ Rm+nde定义功能FK（v）：=Exe（u，…，英国）-1，v，英国+1，。。。，um+n）·Xt.如果k是单调增加的≤ m和fk对于所有k-证明都是凸的。每x∈ D如果k，期望中的项在v中是凸的，在v中单调增加≤ m、 在接受期望后，这一点也成立。Keller-Ressel等人[37]和Cuchiero and Teichmann[10]中也对具有一般状态空间的有效过程进行了说明。本节最后一部分介绍了本章中使用的有效流程。一个经典的例子是CIR过程，它是XT=-λ（Xt）- θ） dt+2ηpXtdWt，X=X.（3.24）对于这个过程，函数φ和ψ被定义为Re（u）<λ2η（1- E-λt）-1，φt（u）=-λθ2ηln1.-2ηλ(1 - E-λt）u,ψt（u）=e-λtu1-2ηλ(1 - E-λt）u。CIR过程几乎肯定保持非负。如果λθ>η，则为严格正。我们可以通过将复合泊松过程的微分加入到X.dXt=-λ（Xt）- θ） dt+2ηpXtdWt+dLt，X=X.（3.25）如果Lhas指数分布跳跃，期望值α到达速率λβ，则函数φ和ψ为（见Grbac和Papapantoleon[26]）φt（u）=-λθ2ηln1.-2ηλ(1 - E-λt）u-λβλ - 2ηαlnα- uα- UE-λt+（1）- E-λt）λ2ηα!,ψt（u）=e-λtu1-2ηλ(1 - E-λt）u，其中（u）<min（λ2η（1- E-λt）-1, αE-λt+（1）- E-λt）λ2ηα-1, α).因为L只有正跳跃，所以这个过程也保持非负。

作为第三个示例，考虑DXT定义的实值有效流程=-λ（Xt）- θ） dt+σdWt+dLt，X=X，（3.26），其中lti是一个复合泊松过程，具有平均α+到达率λβ+的正跳跃和平均α的负跳跃-到达速率λβ-. 在这种情况下，函数φ和ψ为φt（u）=σu4λ（1）（参见M¨uller和Waldenberger[41]）- E-2λt）+θu（1）- E-λt）+β++β-自然对数(α+- E-λtu）（α-+ E-λtu）（α+- u） （α）-+ u）+β+- β-自然对数(α+- E-λtu）（α-+ u） （α）+- u） （α）-+ E-λtu）,ψt（u）=e-λtu，例如-α-< Re（u）<α+。参考文献[1]纳比尔·贝尔格莱德、埃里克·本哈莫和艾蒂安·科勒。通货膨胀的市场模型。SSRN eLibrary，2004年。[2] 菲舍尔·布莱克。商品合同的定价。《金融经济学杂志》，3（1-2）：167-1791976年。[3] 艾伦·布拉斯、达里乌兹·加塔雷克和马雷克·穆西埃拉。利率动态的市场模型。数学金融，7（2）。ISSN 1467-9965。[4] 达米亚诺·布里戈和法比奥·马库里奥。利率模型——理论与实践：微笑、通货膨胀和信贷（斯普林格金融）。斯普林格，第二版，2006年。[5] 玛丽·法兰西·布鲁。威斯哈特进程。理论概率杂志，4（4）：725-7511991。[6] 比约恩·伯奥彻。费勒进化系统：生成器和近似。《随机与动力学》，14（03）：135002402014。[7] 布基亚尼科。Banach代数、对数和卷积型多项式。数学分析与应用杂志，156（1）：253-2731991。[8] 帕特里克·切里迪托、达米尔·菲利波维奇和马克·约尔。跳跃扩散过程的等效和绝对连续测量变化。安。阿普尔。Probab。，(3):1713–1732, 08 . 内政部：10.1214/105051605000000197。[9] 约翰·C·考克斯、乔纳森·E·英格索尔和斯蒂芬·A·罗斯。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385-4071985。[10] Christa Cuchiero和Josef Teichman。一般状态空间上一类过程的路径性质和正则性。

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