时间非齐次仿射过程与仿射市场模型

设<和=为复数的实部和虚部（然后在V+iV上对其进行分量解释）。用∏表示span上的投影（<U） V和∏⊥= idV- π到正交跨度的投影（<U）⊥ 五、也用∏和∏表示⊥将这些投影延伸到V+V，例如∏（u）=∏（<u）+i∏（=u）。修理m∈ N和r>0并定义集合K={u∈ 库克≤ r} 。设p为跨度（<U）的维数。然后存在线性依赖（u，…，up）∈ K∩ <U和线性独立（向上+1，…，ud）∈ Π⊥K.修正s>0。Φ在紧集{（t，t，u）上是连续的：0≤ o（T，u）≤ T≤ T≤s+1，u∈ K} 。因此它是一致连续的。通过引理1.21 iii）Φs，s（u）=1，因此对于每个c>0，δ>0，使得|Φt，t（u）|≥ |Φs，s（u）|- ~c=1- ~c代表所有0≤ s- δ ≤ t、 s≤ T≤ s+δ。选择例如∧c=这给出了一个紧集，其上的chalsoψ是连续的，因此一致连续且有界。因此有 > η>0，每t∈ Is=（s，s+) 和q in（s）- , s+) ∩ [0，t）ψq，t（\'u），…，ψq，t（\'up）以及∏⊥ψq，t（\'up+1），Π⊥ψq，t（`ud）（1.21）对所有kui都是线性独立的- \'uik<η，1≤ 我≤ d和因福∈K |Φq，t（u）|>c和supu∈Kkψq，t（u）k<C引理1.26：设qk→ s和xqkbe是一个值在E中的序列. 对于t=t，我们设置MT，uT:=ehu，XTi。（i） 如果对于勒贝格几乎所有（t，u）∈ 是吗→∞Nt，uqk:=limk→∞ehψqk，t（t，u），xqki∈ C\\{0}，然后也是limk→∞E.（ii）如果存在一些（t，u）∈ 是这样的吗→∞ehψqk，t（，u），xqki=0，然后是limk→∞kxqkk=∞, i、 e.xqk→ . 如果（xqk）是偶数E值序列，那么relint（<U）6= 为了所有的你∈ relint（<U）limk→∞ehu，xqki=0。我们在本节末尾证明了这个引理。利用这个引理，我们得到如下结果。引理1.27:X是对X的修正(Ohm, AP），即P（~Xt=Xt）=1表示所有t≥ 0.证明。

通过引理1.25，我们可以Ohm和P(Ohm) = 1使得对于每个ω∈ Ohm（1.19）是几乎所有（T，u）的c`adl`ag函数。修正这样的ω∈ Ohm. 让qk↑↑ s或qk↓↓ s、 福尔（t，u）∈ 当x K和K大时，它认为Φqk，t（u）6=0。几乎所有人（t，u）∈ 是吗→∞Mt，uqk存在绝对值，并且由于Φqk，T（u）6=0也存在绝对值→∞ehψqk，t（u），Xqk（ω）存在单位值。引理1.26 limk→∞Xqk（ω）∈ E. 这适用于所有人≥ 所以对于每个ω∈ OhmX到Q的左右极限存在于E中和∧Xs（ω）=limqk↓↓sXqk（ω）定义了E中的c`adl`ag函数. 然后Ohm~Ohm 和P（）Ohm) = 1（对于P（）Ohm) 具体来说，我们认为P-完成A）。还有待证明，E-有价值的c`adl`ag过程X是对X的修改。由于X是随机连续的（见定义1.9后的注释），概率收敛意味着几乎可以确定每个t thatlimq沿着子序列收敛↓↓tXqp→ Xt=> 林克→∞对于所有ω，Xqk（ω）=Xt（ω）∈Ohm, 其中P（“”Ohm) = 1.然而，在Ohm 我们有那辆车→∞Xqk（ω）=limq↓↓tXq（ω）=Xt。这就产生了Xt=XtonOhm ∩Ohm. 因为P（）Ohm ∩Ohm) = 这证明了引理。这里X已经被解释为扩展概率空间上的一个过程(Ohm, 美联社）。备注：在单一测量值P下，我们也可以定义X= 在…上Ohm进行修改。但是Ohm取决于P，而Ohm 没有。当考虑马尔可夫过程（X，F，{P（s，X）}）时，这一点很重要，因为在马尔可夫过程中有一系列的概率测度。接下来，我们将展示X a.s.保持在, 只要是 或接近 从左边。请注意，这一点适用于X定义，但不一定适用于X定义:= inf{t>0:~Xt-=  或▽Xt=}.（1.22）引理1.28:X= 在[T]上, ∞) P-a.s。。证据通过定义X，X-=  暗示limq↑↑skXqk=∞ 和▽Xs=暗示limq↓↓skXqk=∞.

在任何一种情况下，如果有一个子序列qkw，其Xqk（ω）=（子序列可能取决于ω），然后通过定义X和, X= 在，∞) 然后▽X= 在[s]上，∞). 因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以限制toE值序列。假设有ω∈ Ohmq→ 她和林克在一起→skXq（ω）k=∞, 这样Xq（ω）∈ 对于所有的q（如果不是，引理已经是真的）。引理1.26 i）正勒贝格测度的is×K有一个子集（T，u），使得limq→sehψq，T（u），Xq（ω）要么为零，要么根本不存在。自ω∈ Ohm根据引理1.25，几乎所有（T，u）的极限值都存在∈ 是×K（记住Φ是连续的，Φ6=0）。因此有T（ω），u（ω）这样的limq→sehψt，t（ω）（u（ω）），Xq（ω）i=0。引理1.26 ii）则产生relint（<U）6= 为了所有的你∈ relint（<U）limq→sehu，Xq（ω）i=0。（1.23）因此我们可以∈ relint（<U）。根据引理1.21Φt，t（u）和ψt，t（u）是重值函数。对于T>0，我们可以选择s<T，使得ψT，T（u）∈ 对于s，relint（<U）和Φt，t（U）>0≤ T≤ T.考虑一下场景Ohms、 T={ω∈ Ohm: s<T（ω） <T}和方程（1.19）中的非负c`adl`ag鞅Ohm满足度MT，ut（ω）=Φt，t（u）ehψt，t（u），~Xt（ω）i∈ Ohms、 T导致（1.23）的考虑因素给出了ψT（ω） ，T（u），~XT（ω） （ω）i=0或ehψT（ω） ，T（u），~XT(ω)-（ω） i=0。根据定理二。78.1在罗杰斯和威廉姆斯[43]中，MT，ut（ω）=0表示所有T(ω) ≤ T≤ 助教。s、 在Ohms、 T.因为ΦT，T（u）>0，那么Xt（ω）= 对于T(ω) ≤ T≤ T.a.s.onOhms、 T.因为T>T（ω） ，通过定义X也就是Xt（ω）= 有一段时间∈ （T）（ω） ，T]。通过定义 X然后Xt（ω）= 在[T]上，∞) 因此，也就是∧Xt（ω）。由于TWA是任意的，所以引理如下。定义流程X:=XI[0，T)+ 我没有,∞).推论1.29：过程X在E中是c`adl`ag, 对X的修改和对已完成过滤概率空间的有效处理(Ohm, AP，FP，P）。证据引理1.27和引理1.28，X是对X的修正。

根据引理1.11，这是一个具有相同过渡函数的有效过程。请注意，“X”适用于toFP，但不一定适用于F。到目前为止，我们使用了一个单一的概率度量P。这证明了在定义1的意义上，对于一个明确的马尔可夫过程存在c`adl`ag修改。3.现在让（X，F，{P（s，X）}）成为定义1.6意义上的一个有效过程。Foreach（s，x）我们可以将推论1.29应用于(Ohm, A、 F，P（s，x））具有连续有效的跃迁函数（Ps+t，s+t）0≤T≤立即得到“X”的版本(Ohm, A（s，x），F（s，x），P（s，x）），其中A（s，x）是完整的σ-代数，F（s，x）t是关于度量P（s，x）的完整过滤。这种情况下的σ-代数仍然依赖于测度P（s，x）。要获得单个过滤定义，a:=\\（s，x）a（s，x），\'Ft:=\\（s，x）F（s，x）t，t∈ [0, ∞]. （1.24）我们现在可以制定本节的最终定理。定理1.30：设（X，F，{P（s，X）}）是一个马尔可夫过程，具有连续的传递函数。然后（\'X，\'F，{P（s，X）}）在(Ohm,\'A）是对具有c`adl`ag路径的A`neprocess（X，F，{P（s，X）}）的修改。证据集合{Xt6=\'\'Xt}对所有（r，x）都有P（r，x）-度量零。因此，它是“英尺”可测量的，因此是“英尺”可测量的，因此是适应的。根据推论1。29’X是一个马尔可夫过程(Ohm, A（s，x），F（s，x），P（s，x））和自¨Ft F（s，x）t，它也是较小过滤上的马尔可夫过程。因为这适用于所有的P（s，x），这证明了这个定理。注：对于具有连续传递函数的保守马尔可夫过程（见引理1.24），可以通过设置^X=\'xi{T来构造E值c`adl`ag过程= ∞} + XI{T< ∞}. 然后{^Xt6=Xt} {T< ∞}. 对于保守过程P（s，x）（T）< ∞) = 0代表所有（s，x），因此^x也是x的修正。a ffine过程的c`adl`ag版本具有强马尔可夫性。

设置¨X∞:= 还记得f吗() = 定理1.31:c`adl`ag过程（`X，`F，{P（s，X）}）是一个强马尔可夫过程，即对于每个停止时间τ，有界可测F和s≥ 0E（r，x）f（\'Xτ+s）| fτ= E（r+τ，\'Xτ）f（`Xs）= Pr+τ，r+τ+sf（`Xτ）。证据通过引理1.22，函数（s，x）7→ Pt，t+sf（x）是B（R）≥0)  电子测量。此外，（τ，\'Xτ）是\'Fτ/（B（R≥0)  E） -可衡量。所以E（r+τ，\'Xτ）[fu（Xs）]是\'Fτ可测的。对于停止时间τ，定义一个近似的停止时间序列τn（ω）：=（k2-nif（k）- 1)2-N≤ τ（ω）<k2-n、 k∈ N∞ 如果τ（ω）=∞.让∧∈\'Fτ。那么∧n，k:={ω：τn（ω）=k2-n}∩ Λ ∈\'\'Fk2-n、 简单马尔科夫性质yieldsE（r，x）fu（`Xτn+s）I∧=Xk∈NE（r，x）I∧n，kE（r，x）fu（`Xk2）-n+s）| Fk2-N=Xk∈NE（r，x）hI∧n，kΦr+k2-n、 r+k2-n+s（u）ehψr+k2-n、 r+k2-n+s（u），\'Xk2-nii=E（r，x）hI∧Φr+τn，r+τn+s（u）ehψr+τn，r+τn+s（u），\'xτnii。为了你∈ iV由支配收敛、Φ和ψ的连续性和¨XE（r，x）的右连续性决定fu（`Xτ+s）I∧= E（r，x）hI∧Φr+τ，r+τ+s（u）ehψr+τ，r+τ+s（u），\'xτii=E（r，x）I∧Pr+τ，r+τ+sfu（`Xτ）= E（r，x）hI∧E（r+τ，\'xτ）傅（Xs）i、 将引理1.22中的函数单调类定理应用于有界和可测函数f。如果我们假设过滤f是过程X的自然过滤，我们可以证明完成的过滤f（s，X）已经是正确连续的。通过定义“F”权利连续性转移到“F”。定理1.32：让F=FX成为有效过程X和a=FX的自然过滤∞. 那就是正确的连续性。证据为了说明这一点，我们使用Φ和ψ的连续性以及‘X是c`adl`ag这一事实。重复Cuchiero和Teichmann[10]中定理4的证明中的论点，用Φ和ψ的非齐次形式，我们得到了k∈ N、 你，英国∈ iV，t，tk∈ R≥0Ehehu，\'Xti+·huk，\'Xtki | FPti=Ehehu，\'Xti+·huk，\'Xtki | FPt+i。

（1.25）考虑函数SH的向量空间：={有界AP可测Z:EZ | FPt= EZ | FPt+}.这个空间包含常数函数，是一个单调类。集合C:={Qnl=1gl（Xtl），gl∈ Cexp，tl≥ 0，n∈ N} 来自Ohm 到R是在乘法下闭合的，生成FX∞（参见引理1.17）和by（1.25）是H的子集。Hencewe可以应用函数单调类定理（参见Revuz and Yor[42]中的定理0.2.2]）。这就产生了一个新的问题Z | FPt= EZ | FPt+对于有界外汇∞-可测量函数。现在考虑一下A∈ FPt+。然后是a组∈ Ft+和B，B∈ FP∞, 这样P（B）=P（B）=0和A\\B~A A.∪ B.对于Z=i，这里有一个FPt可测量F，这样IA=fINC+Iain，P（N）=0。由于FPt包含所有空集，因此fINCis FPt是可测量的。P（A）∩ N） =0，所以IainsPt也是可测量的。那么IaFPT是可测量的，A∈ FPt。因此，也就是∈ 这表明FPt=FPt+。如果F=fx且存在移位算子θt（例如，对于规范实现），则强大的马尔可夫性质扩展到`F∞-可测量Z，即对于所有s，t的停止时间τ≥ 0，x∈ E和有界的F∞-可测量ZE（s，x）Zoθτ| Fτ= 集合{Xτ6=}.接下来是Rogersand Williams[43]定理III.8和定理III.9中提出的论点。此外，推论1.23中引入的c`adl`ag属性和过滤结转到时空过程ΘX=（Θ，`X）的可能正确连续性。此外，我们还有（s，x）7的连续性→■Prf（u，u）（s，x）和强马尔可夫属性的证明也转移。然后，扩展的过滤F是C,inlar等人[28]意义上的右连续强马尔可夫过滤，并且可以在C,inlar等人[28]的马尔可夫半鞅设置中嵌入有效过程（另见第1.4节）。即。

如果（X，FX，{P（s，X）}）是转移函数的坐标过程，我们称之为c`adl`ag时间齐次强马尔可夫过程（~X，~F，{P（s，X）}），则连续有效转移函数{Ps，t}的正则时空实现。这里的过滤系数Ft=B（R≥0) “FTI是一种右连续的强马尔可夫过滤。引理的证明1.26本节中的证明严格遵循Cuchiero和Teichman[10]中的证明。引理1.33：设（xk）是一个E值序列，使得limk→∞∏xkexists Fitelly Value and lim supk→∞k∏⊥xkk=∞. 存在一个用againby（xk）表示的子序列（xk）和有限个正交方向gi∈ 跨度（<U）⊥真讨厌→∞xk-Xihxk，giigik，limk→∞hxk，gii=∞, 其中，发散率在某种意义上是不增加的→∞hxk，gi+1ihxk，gii<∞.固定v<T<σ（v，0），考虑集合T:={（s，T）：v≤ s≤ T≤ T}。然后存在连续函数R:T→ R> 0和λi:T→ V.这样对于allu来说∈ BiVR（s，t）：={u∈ iV:kuk<R（s，t）}hψs，t（u），gii=hλi（s，t），ui。（1.26）备注：上述引理表明，如果xkis仅在跨度（<U）内发散⊥,我们可以找到发散方向∈ 跨度（<U）⊥以及在iV中的开集，所以对于所有i，hψs，t（u），gi在u中是线性的∈< <U>⊥和<ψs，t（u）∈ Uhψs，t（u），gii=h∏⊥<ψs，t（u）+i∏⊥=ψs，t（u），gii=ih=∏⊥ψs，t（u），gii，（1.27），并且它有助于显示h=π的线性⊥ψs，t（u），gii。1.33的证据。对于第一部分，我们可以通过归纳选择（xk）的子序列来选择收敛方向，其中gl=limk→∞xk-Pl-1j=1hxk，gjigjkxk-Pl-1j=1hxk，gjigk收敛。例如g=limk→∞xkkxkk。通过构造，眩光是正交的。进一步选择（xk）的子序列，可以安排l中的收敛率不增加。接下来注意Φs，t（0）6=0表示（s，t）∈ T通过Φ的连续性，r>0，因此Φs，t（u）6=0表示u∈ BiVrand（s，t）∈ T

为了你∈ BivrdefineΘ（u，x）：=Ps，tfu（x）Φs，t（0）ehψs，t（0），πxi=Φs，t（u）ehψs，t（u），xiΦs，t（0）eh∏ψs，t（0），πxi。引理1.21 ii）=Φs，t（0）=ψs，t（0）=0和Φs，t（0）eh∏ψs，t（0），πxi>0。由于非特征函数始终是正定义的，我们得出结论，对于所有x，在Bivr中Θ（·，x）是正定义函数∈ E.自ψs，t（0）∈ <U、 因此∏ψs，t（0）=ψs，t（0）。因此Θ（0，x）=1，由引理3.2得出。在Keller-Ressel等人[35]|Θ（u+v，x）- Θ（u，x）Θ（v，x）|≤ 1，u，v∈ BiVr。（1.28）使用<ψs，t（u）∈ <U 跨距（<U）和∏===one获得sps，tfu（x）=Φs，t（U）| eh∏<ψs，t（U），πxii（arg（Φs，t（U））+h=ψs，t（U），πxi+h=π⊥ψs，t（u），π⊥xi）。定义以下连续函数β（u，v，s，t）：==π⊥ψs，t（u+v）β（u，v，s，t）：==π⊥ψs，t（u）+=π⊥ψs，t（v）r（u，v，x，s，t）：=Φs，t（u+v）Φs，t（0）经验h<π（ψs，t（u+v）- ψs，t（0）），πxir（u，v，x，s，t）：=Φs，t（u）Φs，t（v）Φs，t（0）经验h<π（ψs，t（u）+ψs，t（v）- 2ψs，t（0）），πxiα（u，v，x，s，t）：=argΦs，t（u+v）Φs，t（0）+ h=∏ψs，t（u+v），∏xiα（u，v，x，s，t）：=argΦs，t（u）Φs，t（v）Φs，t（0）+ h=π（ψs，t（u）+ψs，t（v）），πxi。在方程（1.28）中插入（并抑制函数的参数）1≥rei（α+hβ，π）⊥十一）- rei（α+hβ，π）⊥十一）= r+r- 2rrcos（α- α+hβ- β, Π⊥xi）。自从r+r≥ 这是u，v的收益率∈ Bivr和x∈ 犯错误1.- cos（α）- α+hβ- β, Π⊥十一）≤. （1.29）此外，定义（x，s，t）：=supρ ≤r:r（u，v，x，s，t）r（u，v，x，s，t）≥为了你，v∈ BiVρ.R（x，s，t）>0表示x∈ E、 因为r（0，0，x，s，t）=r（0，0，x，s，t）=1并且是连续的。这也给出了R（x，s，t）的连续性。由于limk∏xkexists的值是有限的，因此alsoR（s，t）：=infkR（xk，s，t）>0。现在假设h∏⊥=ψs，t（u），gi对u不是线性的∈ BiVR（s，t）。然后通过β和β的连续性，存在u*, 五、*∈ BiVR（s，t）和开放社区O BiVR（s，t），使得hβ（u，v，s，t）- β（u，v，s，t），gi 6=0，左侧在O上不是常数。α，α在x上是连续的，仅通过∏x依赖于x。

因为∏xkis收敛，而∏⊥XKI在GT方向以最高的发散率发散，存在一些（u，v）∈ O和一些k∈ N、 例如cos（α（u，v，xk，s，t）- α（u，v，xk，s，t）+hβ（u，v，s，t）- β（u，v，s，t），π⊥（xki）≤.加上r（u，v，xk，s，t）r（u，v，xk，s，t）≥这个yieldsrr（1- cos（α）- α+hβ- β, Π⊥xki）≥>,这与方程（1.29）相矛盾。Hencehβ（u，v，s，t）- β（u，v，s，t），gi=0表示所有（u，v）∈ BiVR（s，t）。这给出了h∏的线性度⊥=ψs，t（u），gi代表u∈ BiVR（s，t）。方程（1.27）这相当于hψs，t（u），gi的线性。因为ψs，t（u）是连续的，所以有一个连续函数λ（s，t），使得hψs，t（u），gi=hλ（s，t），ui（1.30）对于所有的u∈ BiVR（s，t）。归纳式的进行给出了断言。1.26 i）的证明。选择（t，u）∈ 是×K，所以limk→∞Nt，uqk∈ C\\{0}。这意味着存在N，使得xqk6= 尽管如此，k≥ N.我们传递给qk的子序列，这样qk≤ t和xqk∈ E（这只排除了序列中的许多成员）。财务状况：=lim supk→∞h<ψqk，t（u），xqki，a:=lim infk→∞h<ψqk，t（u），xqki。自从limk→∞Nt，uqkexists具有单位价值，A是有限的，由于极限不消失，A是有限的。因此存在子序列，因此A=limm→∞<阿曼达=liml→∞<式中，Am:=hψqkm，t（u），xqkmi和al:=hψqkl，t（u），xqkli。辛塞尔→∞Nt，uqkexists的绝对价值，我们得到了这个极限→∞e<Amcos=Am=liml→∞e<alcos（=al），limm→∞e<Amsin（=Am）=极限→∞e<alsin（=al）。取平方，用cos（x）+sin（x）=1，得到A=A，并证明A的存在性→∞h<ψqk，t（u），xqki=limk→∞h<ψqk，t（u），πxqki。（1.31）正确选择“u”。“\'upfrom（1.21）给出了→∞πxqk。（1.32）我们现在集中讨论∏⊥xqk。注意∏⊥ψs，t（u）=i∏⊥=ψs，t（u）。（1.32）和（1.31）alsolimk→∞呃∏⊥ψqk，t（u），π⊥xqki∈ C\\{0}（1.33）几乎所有（t，u）∈ 假设Lim supk→∞k∏⊥xqkk=∞.那么我们就处在引理1.33的情况下。

存在qk的方向和顺序，同样用qk表示，比如xqk-Pihgi和Xqkigi融合在一起。Foreach t∈ 在传递到一个子序列之后，使得qk<t集R（t）=infkR（qk，t），其通过R的连续性和严格正性严格大于0。所以对你来说∈ BiVR（t）∩ K和K大∏⊥ψqk，t（u），gii=hλi（qk，t），ui。利用这一点，我们可以将指数写在方程（1.33）（沿子序列）ash∏中⊥ψqk，t（u），xqk-Xihgi，xqkigi+Xihgi，xqkihλi（qk，t），ui。通过引理1.21 iii），ψs，s（u）=u。因此我们可以找到u和gi，这样h∏⊥ψs，s（u），gii6=0。通过ψ的连续性，我们可以找到t∈ 是吗∈ N和一组（开放的）正测度O BiVR（t）∩ 为了所有的人≥ N、 u∈ Ohλi（qk，t），ui=h∏⊥ψqk，t（u），gii6=0。（1.34）此外，O的选择方式可以使→∞ZiVIO（u）eh∏⊥ψqk，t（u），xqk-Pihgi，xqkigiiehPihgi，xqkiλi（qk，t），uidu 6=0。（1.35）fk（u）：=IO（u）eh∏⊥ψqk，t（u），xqk-Pihgi，xqkigi一致收敛于一个有界函数f（u），而lepihgi，xqkiλi（qk，t）发散（1.34），引理1.33。根据黎曼勒贝格引理，（1.35）中的极限为零，这就产生了矛盾。我们结束了晚餐→∞k∏⊥xqkk<∞.Cauchy-Schwarz给出| h∏的一个应用⊥ψqk，t（u），π⊥xqki |=| h=∏⊥ψqk，t（u），π⊥xqki|≤ k=π⊥ψqk，t（u）kk∏⊥xqkk。对于足够大的k∏⊥xqkk以lim supk为界→∞k∏⊥xqkk+1。此外，k=∏⊥ψqk，t（u）k≤ k=π⊥（ψqk，t（u）- u） k+k=π⊥（u） k，其中使用ψ的连续性，可以通过选择u small，k large和t接近s，使这两项任意变小，即存在k，t，u，因此-π<=h∏⊥ψqk，t（u），π⊥xqki<π。由于（1.33）收敛完全且非零值，limk→∞h∏⊥ψqk，t（u），π⊥xqki∈ iR。用这个做d- p正确选择线性无关向量up+1，从（1.21）我们得出结论→∞Π⊥xqkexists受到了绝对的重视。