时间非齐次仿射过程与仿射市场模型

这允许快速计算这类利率衍生品的隐含效用。由于真实值波动过程的额外灵活性，这类模型能够生成倾斜的隐含波动性曲面以及带有明显微笑的隐含波动性曲面。2.4引理的证明2.3。对于函数f（x），用fe（x）=（f（x）+f表示其奇偶部分(-x） ），fo（x）=（f（x）- f(-x） ）。注意，如果f是单调递增的，那么fo也是如此。那么（2.11）可以写成（x）=eφT-t（u）+ψt-t（u）x+eφt-t(-u） +ψT-t(-u） x= eφeT-t（u）+ψeT-t（u）xcosh（φoT）-t（u）+ψoT-t（u）x）和muit（x）Mut（x）=e（φeT-t（用户界面）-φeT-t（u））+（ψeT-t（用户界面）-ψeT-t（u））xcosh（φoT-t（ui）+ψoT-t（ui）x）cosh（φoT-t（u）+ψoT-t（u）x）。（2.29）如果ui=u，那么（2.29）是常数，对单调性或最大值没有影响。因此，从现在起，假设所有i的u>ui。方程（2.12）的函数g可以写成g（x）=nXi=1ciaeeaixcosh（Bi+bix）cosh（B+bx），其中对于i=0，nAi=（φeT）-t（用户界面）- φeT-t（u）），Bi=φoT-t（ui），ai=（ψeT）-t（用户界面）- ψeT-t（u）），bi=ψoT-t（用户界面）。因为ψ是单调递增的（见引理2.1），所以ψois也是单调递增的。当ψo（0）=0时，bi≥ 0表示所有i。此外，请注意ai<b- Bi等价于ψT-t（ui）<ψt-t（u）和-ai<b- Bi等价于ψT-t(-u） <ψT-t(-用户界面）。自从u>ui≥ ψ的单调性产生|ai |<b- 毕。

（2.30）一个初等计算给出了sg（x）=cosh（B+bx）nXi=1ciaieaixfi（x），其中fi（x）=aicosh（Bi+bix）cosh（B+bx）+bisinh（Bi+bix）cosh（B+bx）- bcosh（Bi+bix）sinh（B+bx）。fiisfi（x）=bicosh（B+bx）的导数aisinh（Bi+bix）+（Bi- b） cosh（Bi+bix）+bcosh（Bi+bix）aisinh（B+bx）+（bi）- b） cosh（b+bx）.（2.31）使用（2.30），（2.31）中每行括号内的术语严格小于|ai |（sgn（ai）sinh（Bj+bjx）- cosh（Bj+bjx））≤ 0，（j=i，0）。最后一个不等式成立，因为cosh（x）±sinh（x）≥ （2.31）中括号外的术语均为正值。因此f≥ 0，且函数单调递减。使用（2.30）一个简单的计算表明→-∞fi（x）=∞ 还有limx→∞fi（x）=-∞. 由于所有i的ci>0，对于pni=1cieaixfi（x）也是如此。因此，g有一个最大值，并且从左到右递减。g（x）≥ 使用（2.30）limx获得0→∞g（x）=limx→-∞g（x）=0。引理2.4的证明。f是连续的，具有紧凑的支撑。因此，扩展的傅里叶变换^f（z）=RRf（x）e-izxdx适用于所有z∈ C是分析型的。因为z 6=0，z 6=-ivk，由^f（z）=zκe给出-izxf（x）dx=izZκe-izxf（x）dx=izxkvk- ize（vk）-iz）κ- e（vk）-iz）κ.自^f（u）-iR）=O（u-2） 对于固定R，它是绝对可积的。通过傅里叶逆变换f（x）=2πZIm（z）=-Reizx^f（z）dz=2πz∞重新e（iu+R）x^f（u）- iR）du，其中最后一个方程来自f是实值且对称性^f（z）=^f的事实(-z） 。真诚的|e（iz+R）Xt|Fs|^f（z）| dz=MXt | Xs（R）R |^f（z）| dz是有界的如果R∈ 五、∩ R、 条件期望和积分可以互换。3.一个单一的通货膨胀市场模型Jarrow和Yildirim首次严格引入了不含通胀的通货膨胀模型[31]。从那时起，人们提出了几种通货膨胀模型。

与利率模型类似，人们可以区分短期利率模型和市场模型。Jarrow和Yildirim[31]提出的短期利率模型旨在对不可观测的连续名义和实际短期利率进行建模，而市场模型使用离散可观测利率作为建模的基础（见贝尔格莱德等人[1]，Mercurio[38]）。这些可观察利率是流动交易流动性掉期、零耦合流动性指数掉期和同比流动性指数掉期的基础。虽然这些模型有过几次扩展（例如Mercurio和Moreni[39,40]），但所有这些模型都解决了一个问题，即只有一种类型的掉期存在分析公式，但并非两者都存在。本章中的模型导出了两种类型的闭合公式。根据Keller Ressel等人[36]的观点，可以使用一个有效的过程来描述分析上高度易处理的模型。有效过程是马尔可夫过程，其中特征函数是指数有效形式，即euXt | Xs= eφt-s（u）+ψt-s（u）Xs。一类有效进程包含大量进程，例如，每个L`evyprocess都是有效进程。使用最长期限的名义零息票债券作为数值，我们可以将标准化债券价格建模为关于有效过程X的“指数鞅”。在这类模型中，我们不仅能够对两种类型的流动互换进行定价，还可以推导出基础流动率的看涨期权和看跌期权的半解析公式，另一种流动交易的流动性衍生产品。本章的结构如下。第一部分描述了金融市场和典型的交易衍生品。之后，我们概述了金融市场模型的设置。第二部分介绍了波动市场模型，并推导了波动衍生品的定价公式。

第三部分提供了具体的模型规范，包括对实际市场数据的校准。在第3.4节中，我们收集了本章所需的有效过程的特性。此外，我们还指定了数值部分中使用的有效过程。3.1流动市场记录到期日为t乘以P（t，t）的名义零息债券的时间t价格，并考虑时间t值为I（t）的流动指数。通常，通货膨胀指数是所谓的消费者价格指数（CPI）。为了缩短符号，我们将使用术语CPI作为通货膨胀指数的同义词，不过读者可以想到任意通货膨胀指数。与通货膨胀挂钩的市场中的基本数学工具被称为与通货膨胀挂钩的零息债券（对应于名义利率市场的零息债券）。到期日为T的与通货膨胀挂钩的零息债券是在T时支付债券的I（T）。用PILB（t，t）表示其价格。在实际市场中，ZF发行与通货膨胀挂钩的息票债券。这种债券在一定数量的预定日期以可变基础I（Tk）/I（T）支付固定息票≤ T（通常为每年一次），其中为发布时间。除息票外，这种债券在到期日T赎回，最大值为{I（T）/I（T），1}。因此，这种债券可以被描述为与通胀挂钩的零息票债券加上附带支付期权（1）的组合- I（T）/I（T））+。总的来说，这些债券的到期日为几年，且波动为正值。在这种情况下，包含期权对总价格几乎没有影响，这就是为什么市场实践大多忽略它。

特别是，如果忽略这些选项，就有可能通过与名义数量相同的方法，从实际交易的与通胀挂钩的息票债券中剔除与通胀挂钩的零息票债券价格。考虑quantityPR（t，t）：=PILB（t，t）I（t），（3.1），它被称为实际零息债券的价格。请注意，这不是交易资产的价格，而是一个理论数量。之所以使用“价格”一词，是因为这个数量可以被视为活跃经济体中零息票债券的价格，在这种经济体中，一切都是以通货膨胀指数（t）来衡量的。考虑到实际零息票债券价格，复合实际利率由R（t，t）定义：-ln（PR（t，t））/（t-t） 。因此，我们可以将其与其他名义数量（如远期利率或短期利率）对应。该数量有时被用作浮动期权定价模型的起点（参见Jarrow和Yildirim[31]，Mercurio[38]）。除了与通胀挂钩的债券市场之外，还有几个流动性交易的与通胀挂钩的衍生品。首先考虑通货膨胀指数（forwardCPI）的远期价格，即t时的固定值i（t，t），在t时，该值可以在不增加额外成本的情况下与A（t）交换。由于PILB（t，t）是I（t）的当前价格，到期时间t的远期CPI isI（t，t）：=PILB（t，t）P（t，t）。（3.2）这里我们指的是交易中必须支付的价格。事实上，交易屏幕上引用的基本就是这个数字。

然而，如果此类债券进行交易，现金流则为报价数字乘以相应的指数比率。人们可以将I（t）解释为一个数字，但必须小心不要将其用作数学数字，因为I（t）实际上并没有被交易。在零息票流动指数掉期（ZCII）中，双方将实现的流动（T）I（T）与固定金额（1+K）T进行交换-t、 ZCII主要以全年到期日M进行交易。对于t=t+M，这种付款人掉期的价值可以用asP（t，t）表示I（t，t）I（t）- （1+K）M. （3.3）等式（3.3）为零的速率K被称为ZCIIS速率ZCIIS（t；M）。这些ZCIIS利率在市场上有几年的到期日。备注：请注意，ZCII利率和通货膨胀挂钩债券通过（3.2）和（3.3）密切相关。实际上，这种关系并没有得到观察。这在一定程度上是由于债券和掉期市场上交易对手的信用度不同。弗莱肯斯坦等人[22]对这种差异进行了更详细的分析。对于模型校准，one必须选择一个市场，通常是掉期市场。除了ZCII，还有第二种重要的外汇市场掉期，即同比外汇指数掉期（YYII）。这些掉期将年化汇率与固定汇率K进行交换，即考虑年间隔期限结构Tk=t+K，K=0，M.付款人在Tkis（I（Tk）/I（Tk）时的净付款-1) - 1) - K.因此，流动支腿由形式的支付组成- sI（T）I（S）- 1..表示这种支付的远期价值，即年化远期汇率byFI（t，S，t）。然后，到期日为M，行距为K的付款人yyis的值可以表示为asMXk=1P（t，Tk）（FI（t，Tk）-1、Tk）- K） 。yyis rate Y IIS（t；M）是速率K，因此相应的yyis具有零值。

请注意，给定所有年度到期日的YYIIS利率，可以计算年度远期汇率FI（t，Tk-1，Tk），反之亦然。前向CPI I（t，t）和远期通货膨胀率FI（t，S，t）分别是市场交易的ZCII和YYII的数学量。金融市场模型旨在对这些数量进行建模。在现有的流动市场模型中，I（t，t）或FI（t，S，t）可以用解析公式表示，但不能同时用解析公式表示。考虑一个市场，假设价格过程是过滤概率空间上的半鞅(Ohm, A、 （英国《金融时报》，第页）。修正一个T-前向测度QT，即一个等价于P的概率测度，使得用数值P（T，T）标准化的资产价格是QT鞅。然后I（t，t）=EQT[I（t）| Ft]FI（t，S，t）=EQTT- sI（T）I（S）- 1.英尺.计算通货膨胀指数的预期值，以及在两个不同时间内通货膨胀指数的分数证明是困难的。在本章的模型中，二者在潜在的驱动随机过程中都具有指数效应。对于分析过程（见第3.4节），可以计算此类预期，我们可以为许多标准选项（如前向流动率的上限和下限）提供半分析公式。3.1.1流入市场模型我们现在介绍（流入）市场模型的一般设置。考虑atenor结构0<T<··<TN=：T和一个由零耦合债券组成的市场，其期限和价格为P（T，Tk）。价格过程（P（t，Tk））0≤T≤Tkar被认为是过滤概率空间上的正半鞅(Ohm, A、 F，P）（这里F=（英尺）0≤T≤T） ，几乎肯定满足P（Tk，Tk）=1。如果存在一个等价的概率测度qt，使得规范化债券价格过程esp（·，Tk）/P（·，T）是鞅，那么市场是无套利的。

这种设置描述了一类利率市场模型，比如经典的伦敦银行同业拆借利率市场模型（Braceet al.[3]）及其扩展。要将此设置扩展到通货膨胀市场，请考虑通货膨胀指数I，其中我们假设w.l.o.g.即I（0）=1。假设存在与通胀挂钩的零息债券，期限相同，t和价格过程PILB（t，Tk）0≤T≤Tk，所有这些都是正半鞅。如果存在一个等价的概率测度qt，使得所有的标准化价格过程P（t，Tk）P（t，t）0≤T≤Tk，PILB（t，Tk）P（t，t）0≤T≤Tk（3.4）是QT鞅，扩展市场模型是无套利的。对于给定的QT参数，Tk正向测量QTkbyd QTkd QT=P（Tk，T）P（0，T）P（0，Tk）。（3.5）根据QTK远期利率FK（t）：=KP（t，Tk）-1） P（t，Tk）- 1., k:=Tk- Tk-1，我们可以通过设置P（T，Tk）：=P（T，T）P（Tk，T）来将债券价格过程扩展到[0，T]，从而使P（·Tk）/P（·T）是[0，T]上的鞅，当且仅当它是[0，Tk]上的鞅。从经济角度来看，这可以解释为立即将零息债券的收益投资到最长期的零息债券。假设每一个零息票到期日都有一个相同到期日的ILB是为了名义上的方便。通货膨胀指数仅通过债券价格PILB进行描述。也就是说，I（t）的分布只在Tk时给出，在Tk时，I（t）的分布与PILB（Tk，Tk）的分布一致。早期引入的远期CPII（t，Tk）=PILB（t，Tk）P（t，Tk），对于j<k，远期通货膨胀率FI（t，Tj，Tk）由1+（Tk）给出- Tj）FI（t，Tj，Tk）=EQTkI（Tk）I（Tj）|英尺都是鞅。对（其中一些）鞅进行建模是文献中通货膨胀市场模型的起点（见Mercurio[38]）。

相比之下，westart通过对（3.4）中的标准化债券价格进行建模，并推导出上述数量。3.2金融市场模型（Xt）0≤T≤Twith X=X是一个状态空间为Rm的解析过程≥0×Rn，m>0，n≥ 概率空间上的0(Ohm, A、 F，QT）和定义k=1，NP（t，Tk）P（t，t）：=Mukt，英国∈ （Rm）≥0×{0}n）∩ 五、 PILB（t，Tk）P（t，t）：=Mvkt，vk∈ Rm+n∩ 五、 （3.6）其中mut:=EQT欧盟·XT |英尺= 经验φT-t（u）+ψt-t（u）·Xt, U∈ 五、 （3.7）和（3.19）中定义的V。通过对一个有效过程的定义，这些过程是可变的QT鞅。因此，该模型是无套利的。请注意，在（3.6）中，与X的实值分量相对应的部分被选择为零。对于递增序列u≥ ··· ≥ 联合国≥ 0一个就有了Muk-1t≥ 因此，对于所有k，远期利率Fk（t）保证为非负。与利率相反，浮动利率不要求为非负，这就是我们不限制vkin（3.6）的原因。Uk和Vk的值应进行校准，以确定初始术语结构，即Muk=P（0，Tk）/P（0，t）和Mvk=PILB（0，Tk）/P（0，t）。通过外稃3。2因此，在当前期限结构中采用非负远期利率的参数始终可以选择为递减。对于多维过程来说，这样的序列远非唯一的。如何选择UK和VK的具体规范将在第3.3节中介绍。尽管目前某些国家的利率为负值，但实际持有货币的成本仍然限制了利率。我们可以通过设置P（t，Tk）P（t，t）：=ckMukt来合并与0不同的边界。这种设置的最大优点是（3.5），在本例中为readsd QTkd QT=MukTkMuk=MukexpφT-Tk（uk）+ψT-Tk（英国）·XTk（3.8）在X中呈指数形式。特别是，它很容易检查（见Keller等人。

[36]）对于0≤ s≤ r和ψT-r（英国）+w∈ 维克特克ew·Xr | Fs= 经验φr-s（ψT）-r（英国）+w）- φr-s（ψT）-r（英国））经验ψr-s（ψT）-r（英国）+w）- ψr-s（ψT）-r（英国））· Xs.（3.9）因此，在不同的测量qtk下，X的矩母函数也是已知的。再加上基本量的指数形式，这就是为什么该模型在分析上非常容易处理的原因。例如，远期利率（1+kFk（t））=Muk-1万吨=eA（t，英国）-1，英国）+B（t，英国-1，英国）·Xt，带a（t，v，u）：=φt-t（v）- φT-t（u），B（t，v，u）：=ψt-t（v）- ψT-t（u）。（3.10）因此，ln的QTk扩展力矩生成函数1 + kFk（t）可以使用（3.9）显式计算。然后，使用Fourier反转公式得出一个披肩的价格（见Keller-Restel等人[36]）。还可以处理互换期权（Keller-Ressel等人[36]，Grbac等人[25]），因此可以有效地计算最常见的利率差异。我们可以使用类似的方法来处理金融衍生品。3.2.1远期CPI和CPI期权如前所述，该模型的主要优点是，对于几个重要数量，在所有远期度量QTk下，矩母函数是已知的。首先看一看未来CPII（t，Tk）=PILB（t，Tk）P（t，Tk）=PILB（t，Tk）P（t，t）P（t，t）P（t，t）P（t，Tk）=MvktMukt=eA（t，vk，uk）+B（t，vk，uk）·Xt，（3.11）中定义了A和B。因此，前向CPI是指数形式的，因此可以计算其对数的QTk矩母函数。这也表明，X在QTk下是一个时间不均匀的过程。使用（3.9）。