时间非齐次仿射过程与仿射市场模型

因此X是一个It^o过程。ηtof（1.49），即ηt（r）=inf{v≥ 0:G（v+r）- G（r）≥ t} 。推论1.48：假设定理1.45的假设成立。时变马尔可夫过程（^Θ，^X），^F，{P（s，X）}）与（^Θ，^X）t（r，ω）=（ΘX）ηt（r）（r，ω），^Ft=~Fη是一个具有不同特征的马尔可夫半鞅，即它是一个it^o过程，不同特征在^X证明中是有效的。按建筑设计 dG（·）。用s7表示密度→ fΘ（s）。那么Θ的特征也可以写成BΘt（r）=RtfΘ（r+s）dGs（r）。根据C,inlar等人[28]中的命题7.13，时变过程（^Θ，^X），^F，{P（s，X）}）是马尔可夫半鞅，半鞅特征的一个版本是由（注意Gηs（r）给出的）- G（r）=s）^Bt=Ztb（^Θv）+B（^Θv，^Xv-) dv，^Ct=Zta（^Θv）+A（^Θv，^Xv）-) dv，^ν（dt，dξ）=m（dξ；^Θt）+m（dξ；^Θt，^Xt）-)dt。推论1.49：假设定理1.45的假设成立。用^Ps，T=PG定义时间非齐次a^ne跃迁算子{^Ps，T}-1（s），G-1（T），即Φs，T（u）=ΦG-1（s），G-1（T）（u），^ψs，T（u）=ψG-1（s），G-1（T）（u）。那么^Ps，这是一个绝对连续的有效过渡函数。证据根据定理1.45，Riccati方程（1.53）适用于Φ和ψ。加上Φ和ψ的定义，得到Φs，T（u）=1+ZG-1（T）G-1（s）Φv，G-1（T）（u）F（v，ψv，G）-1（T）（u））dG（v），=1+ZTsΦG-1（w），G-1（T）（u）F（G）-1（w），ψG-1（w），G-1（T）（u））dw=1+ZTs^Φw，T（u）F（w，^ψw，T（u））dw^ψs，T（u）=u+ZtsR（w，^ψw，T（u））dw，（1.58）注意时变过程（^X，^F，{P（r，X）}）在定义1.6的意义上不再是一个时间非齐次马尔可夫过程。

然而，在每个测度下，P（r，x）^x是（）Ohm,在定义1.3的意义下，由{Pr+ηs（r），r+ηt（r）}0给出一个正则的过渡函数≤s≤t、 2由真实估值过程驱动的伦敦银行同业拆借利率模型市场模型，最著名的例子是伦敦银行同业拆借利率市场模型，在利率建模领域非常流行。如果这些模型产生非负利率，它们通常不会给出基本利率衍生品、上限和互换期权的半解析公式。一个例外是Keller-Ressel等人[36]提出的一类自由基模型。使用非负的有效过程作为驱动过程，有效的伦敦银行同业拆借利率模型保证了非负的远期利率，并导出了上限和互换期权的半解析公式，因此可以校准利率市场数据。在本章中，我们修改了Keller Ressel等人[36]的设置，以允许不一定是非负的有效过程。这种修改仍然会导致上限和互换期权的半分析公式，并保证非负远期利率，但允许更广泛的驱动过程，因此更容易产生利率倾斜和微笑。Fonseca等人[23]还提出了对伦敦银行同业拆借利率模型的修改。在正半限定矩阵空间中，有许多驱动过程是具有值的过程。本文中的方法的优点是，可以用较少的参数生成一类灵活的隐含波动率曲面。本章的结构如下。在第2.1节中，将回顾一个有效的流程及其特性。第2.2节介绍了必要的符号和市场设置，并回顾了有效的伦敦银行同业拆借利率模型。最后对实际实施提出了一些意见。第2.3节是本章的主要章节。

第一部分介绍了修改后的伦敦银行同业拆借利率模型，并推导了上限和互换期权的半分析定价公式。第二部分给出了一些数值计算的usablea ffine过程的例子。2.1一个有效的进程let X=（Xt）0≤T≤t值为D=Rm的齐次马尔可夫过程≥在可测空间上实现0×RN(Ohm, A） 过滤（英尺）0≤T≤T、 关于X的改编。当X=X时，用Px[·]和Ex[·]表示相应的概率和期望。如果X的特征函数的形式为欧盟·Xt= 经验φt（u）+ψt（u）·x, U∈ iRd，x∈ D、 （2.1）式中φ：[0，T]×Rd→ C和ψ：[0，T]×Rd→ CdwithiRd={u∈ Cd:Re（u）=0}和·表示Rd中的标量积。通过同质性和马尔可夫性质，条件特征函数满足欧盟·Xt | Fs= 经验φt-s（u）+ψt-s（u）·Xs.因此，对于非齐次马尔可夫过程（见Filipovic[21]），也可以定义一个有效过程，在这种情况下，上述等式为：欧盟·Xt | Fs= 经验φs，t（u）+ψs，t（u）·Xs, U∈ iRd，x∈ D、 带φs，t:iRd→ C和ψs，t:iRd→ CD0≤ s≤ t、 X被称为分析过程（见Keller Ressel[33]），如果X是随机连续的，且setV内部：=U∈ Cd:sup0≤s≤特克斯eRe（u）·Xs< ∞ 十、∈ D, （2.2）包含0。在这种情况下，函数φ和ψ对V有连续的扩展，在内部是解析的，因此（2.1）适用于所有u∈ V.一类有效过程包括布朗运动和更普遍的所有L’evy过程。由于L′evy过程具有平稳的独立增量，在这种情况下，ψt（u）=u和φt（u）=tκ（u），其中κ是L′evy过程的累积量母函数。Ornstein-Uhlenbeck过程是更重要的过程示例。第2.3.2节对其进行了讨论。a ffine过程的标准参考是Du ffe等人【16】。

它们给出了一个有效过程的特征，其中φ和ψ被指定为微分方程系统的解。在所有丰富的有效过程理论中，本章中的方法仅使用矩生成函数的特定形式（2.1）和以下性质。引理2.1：设X为一维解析过程，Re（u）<Re（w），u，w∈ V.然后Re（ψt（u））<ψt（Re（w）），即ψt|V∩Ris在不断增加。证据凯勒·雷塞尔等人[36]中已经包含了D=R+的情况。在caseD=R的情况下，引理来自这样一个事实，即通过Keller-Ressel等人[35]中的命题3.3，对于某些常数β，ψt（u）=eβtu。V可以描述为（凸）集，其中定义了所有时间t的扩展矩母函数≤ T和所有起始值x∈ E.引理4.2 inKeller-Ressel和Mayerhofer[34]实际上，集合V等于看似较小的集合Nu∈ Cd:十、∈ int（D）：ExeRe（u）·XT< ∞o、 这也意味着X是保守的，即Px（Xt∈ D） =1十、∈ D和0≤ T≤ TKeller-Ressel等人[35]和后来的inKeller-Ressel等人[37]以及Cuchiero和Teichmann[10]都证明了这一特征适用于所有随机连续过程的事实。注：如果D=R+，已知ψ和φ都是单调递增的（Keller-Ressel等人[36]）。当D=R时，这对于ψ是正确的，但对于φ则不是，因为确定性过程Xt=x- t秀。2.2利率市场模型Classic market Models考虑了期限结构0<T<···<TN<TN+1=：T和由到期日为T的零息债券组成的市场，TN+1。它们的价格过程（P（t，Tk））为0≤T≤Tkare假设为过滤概率空间上的非负半鞅(Ohm, A、 F，P）（这里F=（英尺）0≤T≤T） ，几乎肯定满足P（Tk，Tk）=1。

如果存在一个等价的概率测度qt，使得规范化债券价格过程P（·，Tk）/P（·，T）是鞅，那么市场是无套利的。在这种情况下，我们可以为数值Esp（t，Tk）定义等价的鞅测度qtk，而不是P（t，t）byd QTkd QT=P（Tk，t）P（0，t）P（0，Tk）。（2.3）特别是在措施QTK下，远期债券价格过程P（·，Tk-1） P（·，Tk）和正向利率过程Fk（·），Fk（t）=KP（t，Tk）-1） P（t，Tk）- 1., k=Tk- Tk-1、（2.4）是鞅。这是本章其余部分使用的基本市场设置。在经典的LIBOR市场模型中，远期利率过程在各自的鞅测度下被建模为连续指数鞅。因此，远期利率为正。使用无漂移几何布朗运动作为驱动过程，caplet价格由Black公式（Black[2]）给出，而互换期权价格无法解析计算。或者，我们可以开始对远期债券价格过程P（·，Tk）进行建模-1） /P（·，Tk）而不是前向利率过程。再次使用指数鞅，比如无漂移布朗运动，就可以解析地计算caplet和swaption价格（参见Eberlein和¨Ozkan[17]）。这种方法的缺点是远期利率为负，概率为正。通过设置P（T，Tk）：=P（T，T）P（Tk，T）表示T>Tk，可以将债券价格过程扩展到[0，T]，因此P（·Tk）/P（·T）是[0，T]上的鞅，当且仅当它是[0，Tk]上的鞅。从经济角度来看，这可以解释为立即将零息债券的收益投资到最长期的零息债券。凯勒·雷塞尔等人。

[36]提出了有效的伦敦银行同业拆借利率模型，其中远期利率为非负，而互换期权和caplet价格仍可通过半解析法计算，即通过数值积分。上述方法对单个远期利率过程（分别是远期债券价格过程）进行建模，并将其与单个测度qtkun联系起来，它们是一个鞅。ContraryKeller-Restel等人[36]对价格过程P（·，Tk）/P（·，T）进行建模，这都是相同概率测度QT下的鞅。备注：请注意，本章中提到的所有模型都没有完全说明整个期限结构，而只是其中的一部分。为了给不包含在特定期限结构内的衍生品定价，有必要指定某种类型的干预方案。任意插值可能会导致套利，但是人们总是可以选择插值方法，这样模型就不会出现套利（Werpachowski[47]）。伦敦银行同业拆借利率模型本节概述了KellerRessel等人[36]提出的伦敦银行同业拆借利率模型。关于过滤概率空间(Ohm, A、 F，QT）考虑一个非负的分析过程X，其起始值X固定∈ 研发部≥0.对于0<T<··<TN<TN+1=：T定义k=1，N和0≤ T≤ TkP（t，Tk）P（t，t）：=EQTeuk·XT | Ft= eφT-t（uk）+ψt-t（英国）·Xt，英国≥ 0，英国∈ 五、 （2.5）式中，等式[·]表示关于概率测量的期望。这些价格过程是鞅，由此产生的模型是无套利的。写p（t，Tk）-1） P（t，Tk）=P（t，Tk-1） P（t，t）（2.4）中的P（t，Tk）P（t，t）（2.6）表明远期利率为非负相当于（2.5）满足P（t，t）P（t，t）的正常化债券价格≥ .. ≥P（t，TN）P（t，t）≥ 1.

（2.7）从x开始≥ （2.7）中的标准化债券价格的单调性满足，只要u≥ . . . 联合国≥ 0.应确定参数ukin（2.5），以便标准化债券价格的起始值P（0，Tk）/P（0，T）=expφT（uk）+ψT（uk）·xfit根据实际市场数据推断的初始期限结构。与第2.1节相反，对于自xis固定以来的大多数有效过程，从现在起，概率度量对马尔可夫过程X的起始值的依赖将被抑制。可以确定结构，对于当前非负远期利率，可以使用递减序列u≥ ··· ≥ 联合国≥ 0（见Keller-Ressel等人[36]）。注：由于X是非负的，第k次标准化债券价格不仅大于等于1，而且由exp给出的时间相关常数从下方限定φT-t（英国）, 严格来说，它大于1。因此，在伦敦银行同业拆借利率模型中，远期利率从下到下被严格的正时间相关常数所限定。伦敦银行同业拆借利率模型导致远期利率非负。此外，由于测量值变化的密度过程在Xt中以指数形式增加，即在给定的（2.3）中插入（2.5）QTkd QT=P（0，T）P（0，Tk）eφT，因此该规范具有吸引力-Tk（uk）+ψT-Tk（英国）·XTk。此外，由于（2.6）的原因，标准化债券价格和远期债券价格也是指数形式。因此，QTkis下标准化债券价格的矩母函数也是指数形式，通过一维傅里叶反演可以计算caplet价格。如果驱动过程的维数为1，也可以通过一维傅里叶反演计算互换期权价格（见Keller-Ressel等人[36]）。

因此，这种方法同时满足非负利率和标准利率市场工具的分析可处理性。如果维度大于1，期权的确切价格只能通过更高维度的积分来计算，其维度是基础掉期的长度。或者，Grbac等人[25]为Swaption提供了近似公式。伦敦银行同业拆借利率模型的实际应用尽管从理论角度来看，该框架很优雅，但实际实施面临着几个难点，本文将对此进行讨论。首先，利率和隐含波动率的校准不能分开。初始期限结构可以使用uk进行拟合，但uk参数也会对隐含波动率产生重大影响。这可以从远期债券价格（Tk）中看出-1，Tk=expφT-t（英国）-1) -φT-t（uk）+（ψt）-t（英国）-1) -ψT-t（英国））·XTk-1., （2.8）这是负责caplet支付的随机变量。驱动过程X通过两个不同的渠道影响该随机变量的分布。首先通过驱动过程本身的参数，然后通过参数suk（取决于X和初始利率期限结构）。因此，对于屈服曲线的变化，需要不同的参数来重现相同的隐含弹性表面。如果X是一个L′evy过程，则如第2.1节所述，ψt（u）=ua，因此（2.8）的分布取决于差异uk+1-这一转变与初始收益率曲线的陡峭度有关。

因此，caplet暗示收益率对初始收益率曲线的陡度特别敏感。第二，该模型的利率和波动率取决于最终的视界T。在使用相同的过程X时改变视界T将导致不同的结果，并且没有通用的方法来重新调整X的参数以抵消这种影响。这相当违反直觉，因为延长模型的范围不应改变较短范围内已包含的数量的结果。第三，在完全可处理的一维情况下，可能的波动曲面的类型相当有限。例如，我们只能产生波动性偏差。这可以通过使用高维非负过程来解决。然而，在多维伦敦银行同业拆借利率模型中，不能再通过傅立叶方法有效地计算互换期权。另一方面，允许任意过程破坏了远期利率的非负性，这是伦敦银行同业拆借利率模型的核心属性。我们提出了一种修正，即在不限制非负有效过程的情况下，保持远期利率的相关性。2.3基于过滤概率空间的修正伦敦银行同业拆借利率模型(Ohm, A、 F，QT）考虑一个具有固定起始值X的一维分析过程X，即（3.19）中定义的集合V在内部包含0。为了你∈ V与-U∈ V考虑鞅Mu，Mut:=EQT[cosh（uXT）| Ft]=eφT-t（u）+ψt-t（u）Xt+eφt-t(-u） +ψT-t(-u） Xt. （2.9）通过双曲余弦的对称性μ=M-u、 因此，我们可以限制乌托邦是非负的。对于给定的基调结构0<T<·TN≤ TN+1=T，第2.2节的市场设置确定了k=1的标准化债券价格，Nand t≤ TkasP（t，Tk）P（t，t）：=Mukt，英国∈ {v∈ V:V≥ 0, -五、∈ 五} 。由于mukt是一个QT鞅，该模型是无套利的。

每x∈ R函数u 7→ 在美国，cosh（ux）正在增加∈ R≥0和满意度（ux）≥ 1所以ifu≥ U≥ ··· ≥ 联合国≥ 0，这与大多数有效流程类似，但最适合L’evy流程。Keller Ressel等人[36]的微笑示例，图9.2，使用Ornstein-Uhlenbeck过程，对于小于0.4的打击，在数值上似乎是不正确的。对于上述初始收益率曲线，基础利率总是大于罢工，这对应于零隐含波动率，破坏了显示的微笑。方程式（2.7）持有和远期利率Fk（t）=K穆克-1千吨- 1., 0≤ T≤ Tk-1.对于所有t-To-fit初始市场数据，都是非负的。我们必须选择序列（uk），以便Muk=P（0，Tk）/P（0，t）。下面的引理给出了有效过程X的条件，在此条件下，给定的初始项结构可以被复制，并表明UK是唯一确定的。引理2.2:IfP（0，T）/P（0，T）<supu∈五：-U∈VEQT[cosh（uXT）| F]，则该模型可以拟合任何非负远期利率的期限结构。此外，还存在一个独特的递减序列u≥ ··· ≥ n，使得P（0，Tk）/P（0，T）=EQT[cosh（ukXT）| F]=Muk。如果远期利率严格为正，则序列严格为递减。证据m（u）=EQT[cosh（uXT）|F]是一个连续函数，它随着u的增加而增加≥ 根据定理的假设，存在u>0，m（u）>P（0，T）/P（0，T）。此外，m（0）=1，这证明了引理。备注：通过设置mut=E“dYl=1cosh，可以将这种方法推广到d维驾驶过程u（l）X（l）T英尺#，u=（u（1），u（d））≥ 0.在这种情况下，可以保证Mut≥ MWTFU≥ w、 这保证了远期利率的非负性。